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Inhaltsverzeichnis

Trigonometrie in der Ebene

Berechnungen in Vierecken und auch Vielecken lassen sich durch Unterteilen und Ergänzen durchführen.
Beispiele für passende geometrische Figuren sind Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze.

Beispiel

Berechnet werden soll der Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD.\)
Dazu wird das Viereck in ein Trapez und Dreieck unterteilt.
\(A_{\text{ABCD}}=A_{\text{EBC}}+A_{\text{AECD}}\)
Über die jeweilige Flächeninhaltsformel können dann die Inhalte der Teilflächen berechnet werden:
Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch Trigonometrie
1. Schritt: Länge von \(e\) berechnen
\(\begin{array}[t]{rll} \sin(58,7^\circ)&=&\dfrac{e}{7\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] \sin(58,7^\circ)\cdot 7\,\text{cm}&=&e\\[5pt] e&=&6\,\text{cm} \end{array}\)
2. Schritt: Länge von \(\overline{EB}\) berechnen
\(\begin{array}[t]{rll} \overline{EB}^2+e^2&=&(7\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;-e^2 \\[5pt] \overline{EB}^2&=&(7\,\text{cm})^2-e^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,}\\[5pt] \overline{EB}&=&\sqrt{(7\,\text{cm})^2-e^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(7\,\text{cm})^2-(6\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{EB}&=&3,6\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}\)
3. Schritt: Länge von \(\overline{AE}\) berechnen
\(\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=&\overline{AB}-\overline{EB}\\[5pt] &=&8,9\,\text{cm}-3,6\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AE}&=&5,3\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}\)
4. Schritt: Flächeninhalte der Teilfächen berechnen
\(\begin{array}[t]{rll} A_{EBC}&=&\frac{1}{2}\cdot \overline{EB}\cdot e \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot 3,6\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] A_{EBC}&=&10,8\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}\)
\(\begin{array}[t]{rll} A_{AECD}&=&\frac{1}{2}\cdot \left(\overline{AD}+ e\right)\cdot \overline{AE} \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \left(4\,\text{cm}+6\,\text{cm}\right)\cdot 5,3\,\text{cm} \\[5pt] A_{AECD}&=& 26,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}\)
5. Schritt: Flächeninhalt von \(ABCD\) berechnen
\(\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ABCD}}&=& A_{\text{EBC}}+A_{\text{AECD}}\\[5pt] &=& 10,8\,\text{cm}^2+26,5\,\text{cm}^2\\[5pt] A_{\text{ABCD}}&=& 37,3\,\text{cm}^2 \end{array}\)