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Lineare Funktionen

Als lineare Funktion bezeichnet man eine Funktion mit der Gleichung \(\boldsymbol{y=m\cdot x+c}.\)
Der Graph einer linearen Funktion nennt sich Gerade. Dabei ist \(\boldsymbol{m}\) die Steigung.
\(\boldsymbol{c}\) beschreibt den \(\boldsymbol{y}\)-Achsenabschnitt, also den Abschnitt, an dem der Graph die \(y\)-Achse im Punkt \(P(0\mid c)\) schneidet.
Formeln zur Berechnung der Steigung \(\boldsymbol{m}\)
Liegen die beiden Punkte \(P_1(x_1\mid y_1)\) und \(P_2(x_2\mid y_2)\) auf der Geraden, so kann die Steigung mit folgender Formel berechnet werden:
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Für parallele Geraden gilt: \(m_1=m_2\)
Für zueinander senkrechte Geraden gilt: \(m_1\cdot m_2=-1\) bzw. \(m_1=-\dfrac{1}{m_2}\)
1
Gib die Gleichung der linearen Funktion an, indem du \(c\) abliest und \(m\) über ein Steigungsdreieck bestimmst.
a)
Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch lineare Funktionen
b)
Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch lineare Funktionen
2
Gegeben sind zwei Punkte \(P_1\) und \(P_2\) auf einer Geraden \(g.\) Gib die Gleichung der Geraden an.
a)
\(P_1(2\mid 3),\) \(P_2(4\mid 6)\)
b)
\(P_1(4\mid 2),\) \(P_2(5\mid 1)\)
c)
\(P_1(-3\mid 6),\) \(P_2(2\mid 2)\)
d)
\(P_1(-2\mid 4),\) \(P_2(3\mid 6)\)

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1
a)
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\(c=0\)
\(m=\dfrac{1}{3}\)
\(g:y=\dfrac{1}{3}x\)
b)
Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch lineare Funktionen
\(c=-1\)
\(m=\dfrac{2}{1}=2\)
\(g:y=2x-1\)
2
a)
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{6-3}{4-2}=\dfrac{3}{2}\)
\(g:y=\dfrac{3}{2}x+c\)
\(P_1\) in \(g:\)
\(\begin{array}[t]{rll} 3&=&\dfrac{3}{2}\cdot 2+c \quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 0&=&c \end{array}\)
\(g:y=\dfrac{3}{2}x\)
b)
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1-2}{5-4}=\dfrac{-1}{1}=-1\)
\(g:y=-x+c\)
\(P_1\) in \(g:\)
\(\begin{array}[t]{rll} 2&=&-1\cdot 4+c \quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 6&=&c \end{array}\)
\(g:y=-x+6\)
c)
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{2-6}{2-(-3)}=\dfrac{-4}{5}\)
\(g:y=-\dfrac{4}{5}x+c\)
\(P_2\) in \(g:\)
\(\begin{array}[t]{rll} 2&=&-\dfrac{4}{5}\cdot 2+c \quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{8}{5}\\[5pt] 2+\dfrac{8}{5}&=&c\\[5pt] \dfrac{10}{5}+\dfrac{8}{5}&=&c\\[5pt] c&=&\dfrac{18}{5}\\[5pt] \end{array}\)
\(g:y=-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{18}{5}\)
d)
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{6-4}{3-(-2)}=\dfrac{2}{5}\)
\(g:y=\dfrac{2}{5}x+c\)
\(P_1\) in \(g:\)
\(\begin{array}[t]{rll} 4&=&\dfrac{2}{5}\cdot (-2) +c \quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{4}{5} \\[5pt] 4+\dfrac{4}{5}&=&c\\[5pt] \dfrac{20}{5}+\dfrac{4}{5}&=&c\\[5pt] c&=&\dfrac{24}{5} \end{array}\)
\(g:y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{24}{5}\)

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