Aufstellen von Funktionsgleichungen

Ist eine Parabel gegeben, die durch eine Funktionsgleichung in der Form $y=x^2+bx+c$ beschrieben werden kann, so kann die Funktionsgleichung rechnerisch bestimmt werden, wenn die Koordinaten zweier Punkte auf dem Graphen der Parabel bekannt sind.

Dabei gibt es drei Möglichkeiten:

Wenn einer der Punkte auf der $y$ -Achse liegt, kann der Koeffizient $c$ direkt bestimmt werden und mit dem anderen Punkt der Koeffizient $b.$
Lineares Gleichungssystem aufstellen.
Schaubild der verschobenen Normalparabel betrachten.

Beispiele

Funktionsterm aufstellen mit einem linearen Gleichungssystem

Auf einer verschobenen Normalparabel liegen die Punkte $P(3\mid 8)$ und $Q(7\mid 4).$

$y=x^2+bx+c$

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}&8&=&3^2 + b\cdot 3+c\\ \text{(2)}&4&=&7^2+b\cdot 7+c\\ \hline \text{(1)-(2)}&4&=&-40-4b\quad\scriptsize\mid\;+4b-4\\ &4b&=&-44\qquad\quad\,\scriptsize\mid\;:4\\ &b&=&-11 \end{array}$

Einsetzen von $b=-11$ in $\text{(1)}:$

$\begin{array}[t]{rll} 8&=&9+(-11)\cdot 3+c \\[5pt] 8&=&-24+c \qquad \scriptsize \mid\;+24 \\[5pt] 32&=&c\\[5pt] c&=&32 \end{array}$

Die Funktionsgleichung lautet demnach $y=x^2-11x+32.$

Funktionsterm aufstellen durch Betrachtung der verschobenen Normalparabel

Sind zwei Punkte gegeben, welche die gleiche $y$ -Koordinate haben, so kann man den Scheitelpunkt mit folgendem Verfahren bestimmen und erhält damit die Funktionsgleichung.

Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch Funktionsgleichungen aufstellen

Der Abstand der Punkte zur Symmetrieachse beträgt 2 LE.

Der Scheitelpunkt $S$ der Parabel liegt $2^2=4\,\text{LE}$ unterhalb der Punkte $P$ und $Q.$ Somit hat $S$ die Koordinaten $S(3\mid-3),$ da die $y$ -Koordinate von $P$ und $Q$ gleich 1 ist.

Daraus folgt die Funktionsgleichung $y=(x-3)^2-3.$