Lerninhalte in Mathe

Prüfungsaufgaben (Realschulabschluss)

Prüfungsaufgaben nach Themen strukturiert (Realschulabschluss)

Digitales Schulbuch (M-Niveau)

Inhaltsverzeichnis

Exponentialgleichung und Logarithmus

Wie lineare Gleichungen der Form $2x=8$ gelöst werden, ist bereits bekannt.

Es gibt aber auch Gleichungen der Form $2^x=8.$ Hier steht die Variable $x$ im Exponenten. Solche Gleichungen werden Exponentialgleichungen genannt.

Drei besondere Exponentialgleichungen wurden bereits behandelt:

Zinseszinsen: $K_n=K_0\cdot q^n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$
Exponentielles Wachstum: $G_n=G_0\cdot q^n=G_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$
Exponentielle Abnahme: $K_n=K_0\cdot q^n=G_0\cdot \left(1-\dfrac{p}{100}\right)^n$

Hier steht die Laufzeit $n$ im Exponenten.

Um Exponentialgleichungen zu lösen, wird der Logarithmus angewendet:

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Man sagt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a, wenn $b\gt0;\,a\gt0$ und $a\neq1.$

Beispiel zum Lösen im Kopf

$\begin{array}[t]{rll} 2^x&=&8 \\[5pt] x&=& \log_2(8) \\[5pt] x&=& 3 \end{array}$

Frage zum Lösen: Mit welcher Zahl muss $2$ potenziert werden, um $8$ zu erhalten?

Die Antwort ist 3, denn: $2^3=8.$

Weiteres Beispiel zum Lösen im Kopf

$\begin{array}[t]{rll} 4^x&=&16 \\[5pt] x&=& \log_4(16) \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$

Frage zum Lösen: Mit welcher Zahl muss $4$ potenziert werden, um $16$ zu erhalten?

Die Antwort ist 2, denn: $4^2=16.$

Beispiel zum Lösen mit dem Taschenrechner
$\begin{array}[t]{rll} 3^x&=&729 \\[5pt] x&=& \log_3(729) \\[5pt] x&=& 6 \end{array}$

Weiteres Beispiel zum Lösen mit dem Taschenrechner
$\begin{array}[t]{rll} 7^x&=&16807 \\[5pt] x&=& \log_7(16807) \\[5pt] x&=& 5 \end{array}$