Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (=LGS) besteht z.B. aus zwei linearen Gleichungen.
Sollen sich z.B. zwei Geraden schneiden, so kann der Schnittpunkt mit einem LGS bestimmt werden.

Es gibt verschiedene Arten, wie man ein LGS mit zwei Variablen lösen kann:

Gleichsetzungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren

Beispiele

Gleichsetzungsverfahren

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}&y&=& 4x+7\\ \text{(2)}&y&=& 2x+1\\ \end{array}$

Gleichsetzen von (1) und (2):

$\begin{array}[t]{rll} 4x+7&=& 2x+1&\quad \scriptsize \mid\;-2x-7\\[5pt] 2x&=& -6&\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] x&=& -3 \end{array}$

Einsetzen von $x=-3$ in (1):

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4\cdot (-3)+7\\[5pt] y&=& -5 \end{array}$

Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:

$L=\{(-3;-5)\}$

Einsetzungsverfahren

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}&2x+y&=&5\\ \text{(2)}&y&=& x-10\\ \end{array}$

Einsetzen von (2) in (1):

$\begin{array}[t]{rll} 2x+(x-10)&=&5\\[5pt] 3x-10&=&5&\quad \scriptsize \mid\;+10\\[5pt] 3x&=&15&\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] x&=&5 \end{array}$

Einsetzen von $x=5$ in (2):

$\begin{array}[t]{rll} y&=&5-10\\[5pt] y&=&-5 \end{array}$

Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:

$L=\{(5;-5)\}$

Additionsverfahren

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}&2x+5y&=&9\\ \text{(2)}&3x-5y&=&6\\ \end{array}$

Addieren von (1) und (2):

$\begin{array}[t]{rll} 2x+3x+5y-5y&=&9+6\\[5pt] 5x&=&15&\quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt] x&=&3 \end{array}$

Einsetzen von $x=3$ in (1):

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 3+5y&=&9&\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt] 5y&=&3&\quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt] y&=&\dfrac{3}{5} \end{array}$

Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:

$L=\left\{\left(3;\dfrac{3}{5}\right)\right\}$

Lineares Gleichungssystem

Beispiele

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