Pyramide
Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einer Grundfläche 
, einer Mantelfläche 
und einer Höhe 
Netz einer Pyramide
Schrägbild einer Pyramide
Oberflächeninhalt einer Pyramide
Volumen einer Pyramide
1
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide.
a)
b)
2
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt der quadratischen Pyramide.
; 
; 
a)
b)
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1
a)
Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot (6\,\text{cm})^2\cdot 6,5\,\text{cm}\\[5pt]
V&=&78\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2a75fbc7f8d279eaacbd78a33a45c5b111d439d661523a4c01c60e71f3c29139?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=& G+M
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6c37e053f29eda000c99ac0d4d18ba51d46acb9c281bb652dbf172bfec1ab8ef?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt von beträgt 
Um den Flächeninhalt von zu berechnen, wird zunächst der Flächeninhalt eines Teildreiecks der Mantelfläche berechnet.
1. Schritt: Länge der Seitenhöhe 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=&(6,5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h_s&=&\sqrt{(6,5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h_s&=& 7,2\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3c518832c1f7ca117ffe355944301fe45fabe2e25f4496284aaf8a1b72177905?color=5a5a5a)
2. Schritt: Flächeninhalt von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M&=& 4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm}\cdot 7,2\,\text{cm} \\[5pt]
M&=& 86,4\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/45ebd8b4efefd281478c929ee088882b16bfb891b00ae8c02f4803c812471199?color=5a5a5a)
3. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=& G+M \\[5pt]
&=& 36\,\text{cm}^2+86,4\,\text{cm}^2\\[5pt]
O&=& 122,4\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4e83830daed7367e2a99144c1c39079b83c376721cb04af10373b5cc8cdb91a5?color=5a5a5a)
b)
Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& \dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2d0948dcc6fb6fabc08f7a1b246bc7cd2063b3aa4169ed80c69adf32349c0bb0?color=5a5a5a)
1. Schritt: Länge der Höhe 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h^2&=&(9\,\text{cm})^2-(3,5\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h&=&\sqrt{(9\,\text{cm})^2-(3,5\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h&=&8,3\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/93d4231e1104af8c3b66e113347d2c19505835469b2f2b4d7e092051aa687aff?color=5a5a5a)
2. Schritt: Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot (7\,\text{cm})^2\cdot 8,3\,\text{cm} \\[5pt]
V&=&135,6\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/227688c27d1c1d89adc7beb6c2e8649ff1a1aea7e742ad8a94e48919b4461c7d?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=&G+M \\[5pt]
&=&(7\,\text{cm})^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot 7\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm}\\[5pt]
O&=&175\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/de26b541394538d79dff965eb65b3e7f7d574a02aa6eb7615c905eef6f81bac8?color=5a5a5a)
2
a)
Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot (2,5\,\text{cm})^2\cdot 7,4\,\text{cm}\\[5pt]
V&=&15,4\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b17f78d8a7f25e2181ba66a3e14e35e4fde86a461a636e70a5cf03c6187c13ba?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt berechnen
1. Schritt: Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=&h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h_s&=&\sqrt{h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(7,4\,\text{cm})^2+\left(\dfrac{2,5\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt]
h_s&=&7,5\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ca9fa344e6d2dc6db4ed9a6b4039fef9dcd3bc428ee3cce341c0908a822adeae?color=5a5a5a)
2. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=&G+M\\[5pt]
&=&(2,5\,\text{cm})^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2,5\,\text{cm}\cdot 7,5\,\text{cm}\\[5pt]
O&=&43,8\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/75ce6da5634e5f374c23b445ae3ad4f103cd4bbea4fbaaa75ef7c37ba017e4b8?color=5a5a5a)
b)
Volumen berechnen
1. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&s^2-h_s^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
\dfrac{a}{2}&=&\sqrt{s^2-h_s^2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\\[5pt]
a&=&2\sqrt{s^2-h_s^2}\\[5pt]
&=&2\sqrt{(15\,\text{cm})^2-(12\,\text{cm})^2}\\[5pt]
a&=&18\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a9e74c1a643b81fc25a65f5ef481471740e218a46de3a615739fe7ab897e4827?color=5a5a5a)
2. Schritt: Höhe berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h^2&=&h_s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h&=&\sqrt{h_s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(12\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h&=&7,9\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7b9a768ee7e971f30204dacabd350a840bc9a4ac0ad84a5a87e027925c8ddcce?color=5a5a5a)
3. Schritt: Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot (18\,\text{cm})^2\cdot 7,9\,\text{cm}\\[5pt]
V&=&853,2\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9e547166882fb0ab57f038732778d8cf2e8300270b1309b17fbb88b68c4ed17b?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=&G+M\\[5pt]
&=&(18\,\text{cm})^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 18\,\text{cm}\cdot 12\,\text{cm}\\[5pt]
O&=&756\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f7493f24f8ad8517e037fce64fea8f3f70da06b8bbe97fd19e7411bb5b890af7?color=5a5a5a)