Die Gerade die -Achse und die Tangente im Schnittpunkt von mit der -Achse für schließen ein Dreieck ein. Skizziere den Sachverhalt in der Abbildung 1. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.

Die Gerade schließt mit zwei Flächenstücke ein. Begründe ohne zu rechnen, dass diese zwei Flächenstücke den gleichen Inhalt haben. Betrachtet werden alle Geraden mit positivem Anstieg, die durch verlaufen. Bestimme diejenigen Anstiege, für welche die zugehörige Gerade mit Flächenstücke einschließt.

Bestimme die Größe der bedeckten Fläche 10 Tage nach Beobachtungsbeginn. Gib denjenigen Zeitpunkt an, zu dem diese Größe wieder erreicht wird.

Untersuche, ob die Größe der bedeckten Fläche in den ersten 5 Tagen nach Beobachtungsbeginn mehr wächst als in den darauffolgenden 5 Tagen. Ermittle denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Größe der bedeckten Fläche am stärksten abnimmt.

Die zeitliche Entwicklung der Größe der bedeckten Fläche soll ab dem 40. Tag nach Beobachtungsbeginn modellhaft durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Der Graph von geht in ohne Knick in den Graphen von über. Ermittle den Zeitpunkt, zu dem entsprechend dieses Modells die Fläche des Sees frei von Wasserpflanzen ist.

An einem Tag werden an unterschiedlichen Stellen des Sees 150 Einzelproben entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens fünf dieser Einzelproben nicht keimfrei sind. Gib ein Ereignis im Sachzusammenhang an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem Term berechnen lässt.

Folgendes Verfahren wird zur Untersuchung von 10 Einzelproben genutzt: Von jeder Einzelprobe wird ein Teil entnommen. Alle diese Teile werden zu einer Mischprobe zusammengeführt. Die Mischprobe wird untersucht. Ist sie keimfrei, so sind auch alle Einzelproben keimfrei und das Verfahren ist beendet. Ist sie nicht keimfrei, werden alle 10 Einzelproben einzeln untersucht. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Mischprobe keimfrei ist. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Untersuchungen bei diesem Verfahren. Begründe, dass nur den Wert 1 oder den Wert 11 annehmen kann. Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von an.

Schnittpunkte mit der -Achse Für Punkte, die auf der -Achse liegen, gilt Es muss also gelten: Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt und Die Schnittpunkte mit der -Achse besitzen somit die Koordinaten und Schnittpunkt mit der -Achse Für Punkte, die auf der -Achse liegen, gilt Somit folgt: Der Schnittpunkt mit der -Achse entspricht somit dem Schnittpunkt

Wendepunkt begründen Die Wendestellen entsprechen den Nullstellen der zweiten Ableitung. Mit jeder Ableitung verliert eine Funktion einen Grad. Da die Funktion den Grad 3 besitzt, folgt der Grad der zweiten Ableitungsfunktion mit 1. Da der Grad einer Funktion der maximalen Anzahl ihrer Nullstellen entspricht, besitzt folglich nur eine Nullstelle und damit nur eine Wendestelle. kann somit keinen weiteren Wendepunkt haben. Koordinaten angeben Die Funktion verschiebt den Graphen um eine Längeneinheit in negative -Richtung und um zwei Einheiten in negative -Richtung. Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von ergeben sich somit aus den Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von zu:

Sachverhalt skizzieren Flächeninhalt bestimmen Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: Die Grundseite liegt auf der -Achse und entspricht somit der Differenz der -Koordinaten der Schnittpunkte von und mit der -Achse. Es gilt also: Die Höhe des Dreiecks entspricht der -Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Tangente Steigung der Tangente berechnen: Einsetzen der Steigung und der Koordinaten von in die allgemeine Tangentengleichung liefert: Eine Tangentengleichung von ist somit gegeben durch Schnittstelle von und bestimmen: -Koordinate durch Einsetzen in bestimmen: Die Gerade schneidet die Tangente somit im Punkt Die Höhe des Dreiecks ist folglich gegeben durch Der Flächeninhalt des Dreiecks folgt also mit:

Flächeninhalte begründen Die Funktion hat den Wendepunkt durch welchen auch die Gerade verläuft. Der Graph von ist symmetrisch bezüglich dieses Wendepunkts. Aufgrund der symmetrischen Eigenschaften um den Wendepunkt sind die Flächen, die durch und eine Gerade durch eingeschlossen werden, auf beiden Seiten von identisch. Anstiege bestimmen Die Gerade mit der Steigung schneidet den Graphen somit in genau einem Punkt, nämlich im Wendepunkt Für alle positiven Anstiege schließt die Gerade durch den Punkt folglich Flächenstücke mit ein.

Größe bestimmen Zeitpunkt angeben Mit dem solve-Befehl des CAS folgt und Während des 36. Tags nach Beobachtungsbeginn wird wieder eine Größe der bedeckten Fläche von wie am 10. Tag erreicht.

Wachstum untersuchen Größe der Fläche zu Beobachtungsbeginn, nach 5 und nach 10 Tagen berechnen: In den ersten 5 Tagen nimmt die Größe der bedeckten Fläche um Quadratmeter zu. In den darauffolgenden 5 Tagen nimmt die Größe der bedeckten Fläche um Quadratmeter zu. Die Größe der bedeckten Fläche wächst somit in den ersten 5 Tagen nach Beobachtungsbeginn mehr als in den darauffolgenden 5 Tagen. Zeitpunkt ermitteln Mit dem CAS ergeben sich die erste und zweite Ableitungsfunktion zu: Notwendige Bedingung für Extremstellen der ersten Ableitung anwenden: Mit dem solve-Befehl des CAS folgt Überprüfen des Vorzeichenwechsels von bei Da an der Stelle von negativ zu positiv wechselt, hat an dieser Stelle ein Minimum. Alternativ kann das Minimum der Ableitungsfunktion auch graphisch mit dem CAS bestimmt werden. Die Größe der von Wasserpflanzen bedeckten Fläche nimmt somit am 40. Tag nach Beobachtungsbeginn am stärksten ab.

-Koordinate an der Stelle berechnen: Steigung an der Stelle bestimmen: Einsetzen der Steigung und der Koordinaten des Punkts in die allgemeine Geradengleichung liefert: Eine Gleichung von ist somit gegeben durch Schnittpunkt mit der -Achse berechnen: Nach diesem Modell ist die Fläche des Sees ab dem 88. Tag nach Beobachtungsbeginn frei von Wasserpflanzen.

Wahrscheinlichkeit berechnen Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Einzelproben, die nicht keimfrei sind, und ist binomialverteilt mit und Mit dem binomcdf-Befehl des CAS folgt: Ereignis angeben Von den 150 Einzelproben sind genau drei Proben nicht keimfrei.

Wahrscheinlichkeit berechnen Die Mischprobe besteht aus 10 Einzelproben, welche jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von keimfrei sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Mischprobe keimfrei ist, ergibt sich also zu: Begründung Ist die Mischprobe keimfrei, so ist das Verfahren beendet, nachdem nur die Mischprobe untersucht wurde. In diesem Fall gibt es also genau eine Untersuchung. Wenn die Mischprobe nicht keimfrei ist, werden zusätzlich zu der Mischprobe alle 10 Einzelproben einzeln untersucht, was insgesamt 11 Untersuchungen ergibt. Wahrscheinlichkeitsverteilung ermitteln Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine einzelne Probe keimfrei ist, beträgt Da die Proben unabhängig sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 Einzelproben keimfrei sind, somit Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mischprobe keimfrei ist, beträgt also Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mischprobe nicht keimfrei ist, also mindestens eine der Einzelproben nicht keimfrei ist, beträgt somit Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ist somit gegeben durch:

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Erwartungswert berechnen