Teil B1

Ermittle die Länge der Strecke
Zeige, dass der Punkt auf den Graphen der Funktionen und liegt.
Gib eine Gleichung der Geraden an, auf der die Punkte und liegen.

Berechne die Größe des Winkels, unter dem die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung in die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung übergeht. r

Der Krähbergtunnel ist Meter langund verläuft geradlinig sowie senkrecht zur Portalöffnung. Die Deckenfläche und die Seitenflächen im Inneren des Tunnels sollen saniert werden.
Die Deckenfläche schließt sich an die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung an. Die Seitenflächen schließen sich an die rechte und linke Begrenzungslinie der Portalöffnung an.
An jeder Stelle des Tunnels ist die Querschnittsfläche des Tunnels kongruent zur Fläche der Portalöffnung.
Die Länge der oberen Begrenzungslinie der Portalöffnung zwischen den Punkten und beträgt Meter.
Bestimme den Inhalt der zu sanierenden Fläche im Inneren des Krähbergtunnels.

Die Frontfläche des Tunnelportals soll ebenfalls saniert werden. Berechne den Flächeninhalt der Frontfläche des Tunnelportals.

Die Firma liefert zunächst Sandsteinplatten für die Sanierung des Tunnelportals.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Ereignis Es sind mindestens Sandstandplatten, jedoch höchstens Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet.
Ereignis Es sind mehr Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet als zu erwarten ist.

Für die Sanierung des Tunnelportals werden Sandsteinplatten benötigt.
Ermittle die Anzahl der zu liefernden Sandsteinplatten, damit mit eienr Wahrscheinlichkeit von mindestens die Anzahl der gelieferten Sandsteinplatten für die Sanierung ausreicht.

  Länge der Strecke ermitteln Da die untere Begrenzungslinie der Portalöffnung auf der -Achse liegt und die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung auf dem Graphen von liegt, ist der Schnittpunkt des Graphen von mit der -Achse.
entspricht der Spiegelung von an der -Achse und liegt daher ebenfalls auf der -Achse. Die Länge der Strecke ergibt sich daher über den doppelten Betrag der -Koordinate von Die Koordinaten der Punkte lauten also und Die Länge der Strecke beträgt   Zeigen, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt Der Punkt liegt auf beiden Graphen, wenn seine Koordinaten die beiden Funktionsgleichungen von und erfüllt. Einsetzen der Koordinaten von in die Funktionsgleichungen von und liefert: Der Punkt liegt damit auf den Graphen beider Funktionen und   Geradengleichung angeben Die beiden Punkte und liegen auf dem Graphen der Funktion Da die Frontfläche des Tunnelportals achsensymmetrisch ist, entsteht die gesuchte Gerade durch die Punkte und durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies: Die Punkte und liegen auf der Geraden mit der Gleichung

  Größe des Winkels angeben Die entsprechenden Begrenzungslinien liegen auf den Graphen von und . Gesucht ist also der größere der beiden Winkel, die von diesen beiden Graphen gebildet werden.
Es wurde bereits gezeigt, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt, also der Schnittpunkt dieser ist. Die Größe des Schnittwinkels kann daher anhand der Steigungen und der beiden Graphen in diesem Punkt mit dem Tangens berechnet werden. Der gesuchte Winkel ist der Gegenwinkel von Die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung trifft in einem Winkel der Größe auf die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung.

  Inhalt der zu sanierenden Fläche berechnen Die zu sanierende Fläche setzt sich zusammen aus den beiden Seitenwänden, also den beiden Rechtecken mit den Seitenlängen und , und der Deckenfläche, bei der es sich um ein gewölbtes Rechteck mit den Seitenlängen und der Länge der Begrenzungslinie der Portalöffnung zwischen und mit handelt. Für den Inhalt der beiden Seitenflächen ergibt sich also: Für die Deckenfläche folgt: Die gesamte zu sanierende Fläche besitzt also einen Inhalt der Größe:

  Flächeninhalt der Frontfläche berechnen 1. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen Die beiden Rechtecke bilden gemeinsam ein Rechteck, mit der Höhe der Frontfläche als einer Seitenlänge . Die zweite Seitenlänge ergibt sich über die Breite der Frontfläche wie folgt: Für den Flächeninhalt ergibt sich daher: 2. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen Das rechte Dreieck wird beispielsweise von den Punkten und gebildet. Bei besitzt das Dreieck einen rechten Winkel. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu: 3. Schritt: Inhalt der Fläche oberhalb der oberen Begrenzungslinie berechnen Die Frontfläche ist Meter hoch. Die Frontfläche wird nach oben hin also durch die Gerade mit der Gleichung begrenzt. Der noch fehlende Flächeninhalt entspricht also dem Inhalt der Fläche zwischen dieser Gerade und dem Graphen von für also 4. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen Der Flächeninhalt der Frontfläche des Tunnelportals beträgt ca.

  Verkehrsraum ermitteln Da die gesamte Portalöffnung achsensymmetrisch ist, ist auch das zum Verkehrsraum gehörende Rechteck achsensymmetrisch. Die unteren beiden Eckpunkte des Rechtecks liegen auf der -Achse und sind nach links und rechts durch die seitlichen Begrenzungslinien der Portalöffnungen, also durch die Punkte und begrenzt. Sie haben daher die Koordinaten und mit Für die Koordinaten der oberen beiden Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen sollen, gilt daher: und Die Höhe des Rechtecks ist die Breite In Abhängigkeit von ergibt sich für den Flächeninhalt des Rechtecks daher: Gesucht ist nun das Maximum von für Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen ergibt sich mit dem solve-Befehl des CAS: Das hinreichende Kriterium liefert: Der Verkehrsraum besitzt eine Größe von ca.

  Wahrscheinlichkeiten berechnen Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, unter gelieferten Sandsteinplatten beschreibt.
Unabhängig von den übrigen Sandsteinplatten ist eine zufällig ausgewählte Sandsteinplatte mit einer Wahrscheinlichkeit von für die Sanierung geeignet. Es wird nur zwischen „für die Sanierung geeignet“ und „nicht für die Sanierung geeignet“ unterschieden. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass von den gelieferten Sandsteinplatten mindestens aber höchstens für die Sanierung geeignet sind, beträgt ca. Die erwartete Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, entspricht dem Erwartungswert von Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass von den gelieferten Sandsteinplatten mehr Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind als zu erwarten ist, beträgt ca.

  Anzahl der Sandsteinplatten ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der für die Sanierung geeigneten Sandsteinplatten in einer Lieferung von Sandsteinplatten beschreibt. Diese kann wie als binomialverteilt mit unbekanntem und angenommen werden. Gesucht ist sodass Durch Ausprobieren mit dem CAS folgt: Es müssen mindestens Sandsteinplatten geliefert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindesteens genug Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind.

  Länge der Strecke ermitteln Da die untere Begrenzungslinie der Portalöffnung auf der -Achse liegt und die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung auf dem Graphen von liegt, ist der Schnittpunkt des Graphen von mit der -Achse.
entspricht der Spiegelung von an der -Achse und liegt daher ebenfalls auf der -Achse. Die Länge der Strecke ergibt sich daher über den doppelten Betrag der -Koordinate von Die Koordinaten der Punkte lauten also und Die Länge der Strecke beträgt   Zeigen, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt Der Punkt liegt auf beiden Graphen, wenn seine Koordinaten die beiden Funktionsgleichungen von und erfüllt. Einsetzen der Koordinaten von in die Funktionsgleichungen von und liefert: Der Punkt liegt damit auf den Graphen beider Funktionen und   Geradengleichung angeben Die beiden Punkte und liegen auf dem Graphen der Funktion Da die Frontfläche des Tunnelportals achsensymmetrisch ist, entsteht die gesuchte Gerade durch die Punkte und durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies: Die Punkte und liegen auf der Geraden mit der Gleichung

  Größe des Winkels angeben Die entsprechenden Begrenzungslinien liegen auf den Graphen von und . Gesucht ist also der größere der beiden Winkel, die von diesen beiden Graphen gebildet werden.
Es wurde bereits gezeigt, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt, also der Schnittpunkt dieser ist. Die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung trifft in einem Winkel der Größe auf die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung.

  Inhalt der zu sanierenden Fläche berechnen Die zu sanierende Fläche setzt sich zusammen aus den beiden Seitenwänden, also den beiden Rechtecken mit den Seitenlängen und , und der Deckenfläche, bei der es sich um ein gewölbtes Rechteck mit den Seitenlängen und der Länge der Begrenzungslinie der Portalöffnung zwischen und mit handelt. Für den Inhalt der beiden Seitenflächen ergibt sich also: Für die Deckenfläche folgt: Die gesamte zu sanierende Fläche besitzt also einen Inhalt der Größe:

  Flächeninhalt der Frontfläche berechnen 1. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen Die beiden Rechtecke bilden gemeinsam ein Rechteck, mit der Höhe der Frontfläche als einer Seitenlänge . Die zweite Seitenlänge ergibt sich über die Breite der Frontfläche wie folgt: Für den Flächeninhalt ergibt sich daher: 2. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen Das rechte Dreieck wird beispielsweise von den Punkten und gebildet. Bei besitzt das Dreieck einen rechten Winkel. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu: 3. Schritt: Inhalt der Fläche oberhalb der oberen Begrenzungslinie berechnen Die Frontfläche ist Meter hoch. Die Frontfläche wird nach oben hin also durch die Gerade mit der Gleichung begrenzt. Der noch fehlende Flächeninhalt entspricht also dem Inhalt der Fläche zwischen dieser Gerade und dem Graphen von für also 4. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen Der Flächeninhalt der Frontfläche des Tunnelportals beträgt ca.

  Verkehrsraum ermitteln Da die gesamte Portalöffnung achsensymmetrisch ist, ist auch das zum Verkehrsraum gehörende Rechteck achsensymmetrisch. Die unteren beiden Eckpunkte des Rechtecks liegen auf der -Achse und sind nach links und rechts durch die seitlichen Begrenzungslinien der Portalöffnungen, also durch die Punkte und begrenzt. Sie haben daher die Koordinaten und mit Für die Koordinaten der oberen beiden Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen sollen, gilt daher: und Die Höhe des Rechtecks ist die Breite In Abhängigkeit von ergibt sich für den Flächeninhalt des Rechtecks daher: Gesucht ist nun das Maximum von für Der Verkehrsraum besitzt eine Größe von ca.

  Wahrscheinlichkeiten berechnen Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, unter gelieferten Sandsteinplatten beschreibt.
Unabhängig von den übrigen Sandsteinplatten ist eine zufällig ausgewählte Sandsteinplatte mit einer Wahrscheinlichkeit von für die Sanierung geeignet. Es wird nur zwischen „für die Sanierung geeignet“ und „nicht für die Sanierung geeignet“ unterschieden. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass von den gelieferten Sandsteinplatten mindestens aber höchstens für die Sanierung geeignet sind, beträgt ca. Die erwartete Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, entspricht dem Erwartungswert von Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis also dafür, dass von den gelieferten Sandsteinplatten mehr Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind als zu erwarten ist, beträgt ca.

  Anzahl der Sandsteinplatten ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der für die Sanierung geeigneten Sandsteinplatten in einer Lieferung von Sandsteinplatten beschreibt. Diese kann wie als binomialverteilt mit unbekanntem und angenommen werden. Gesucht ist sodass Es müssen mindestens Sandsteinplatten geliefert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindesteens genug Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind.