Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Für $x\in\mathbb{R} \, (x\neq 0)$ ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{2}{x^3}$ gegeben.
Welche Gleichung beschreibt die Stammfunktion von $f?$

	$F(x)=-\dfrac{1}{x^2}+1\,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
	$F(x)= \dfrac{1}{x^2}+1 \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
	$F(x)= \dfrac{2}{x^2} \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
	$F(x)=- \dfrac{6}{x^4} \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
	$F(x)= -\dfrac{1}{2\cdot x^4}+1 \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$

1.2

Für die in $\mathbb{R}$ definierte Funkton $f$ mit $f(x)=\mathrm e^{x+1}$ ist folgende Aussage wahr:

	Die Funktion $f$ hat eine Nullstelle.
	Es gilt: $\(f$
	Der Graph von $f$ ist symmetrisch.
	Der Graph von $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0.$
	Der Graph von $f$ besitzt einen Wendepunkt.

1.3

Die Gerade $g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\4\\5} + t\cdot \pmatrix{2\\1\\-1} \,$ $(t\in\mathbb{R})$ schneidet die $x$ - $y$ -Ebene im Punkt:

	$(0\mid 0 \mid 0)$
	$(-7 \mid -1 \mid 0)$
	$( 13 \mid 9 \mid 0)$
	$(11\mid 0 \mid 1)$
	$(-5 \mid 0 \mid 9)$

1.4

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt der Ebene $E$ in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung $O.$

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die Ebene $E$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

	$E:x+y+z=0$
	$E:x+y+z=1$
	$E:x+y+z=3$
	$E:y+z=1$
	$E:x=1$

1.5

Beim Wurf einer verbeulten Münze fällt Wappen mit der Wahrscheinlichkeit $p.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim 10-maligen Werfen dieser Münze genau zweimal Wappen fällt, lässt sich mit folgendem Term berechnen:

	$p^2\cdot (1-p)^8$
	$2\cdot p^2\cdot (1-p)^8$
	$\pmatrix{10\\2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^8$
	$p^8 \cdot (1-p)^2$
	$\pmatrix{10\\2} \cdot p^8 \cdot (1-p)^2$

Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 05

Der Inhalt einer Fläche wird durch den Term

$\displaystyle\int_{0}^{3}(x+1)\;\mathrm dx$

berechnet.

2.1

Stelle diese Fläche in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.2

Ermittle den Wert des Terms.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Die Geraden

$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\1\\3} + t\cdot \pmatrix{2\\0\\2} \,$ $(t\in \mathbb{R})$

und

$h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\6} + r\cdot \pmatrix{-1\\1\\1}\,$ $(r\in \mathbb{R})$

schneiden sich im Punkt $S$ .

3.1

Bestimme die Koordinaten von $S$ .

Erreichbare BE-Anzahl: 02

3.2

Untersuche, ob $g$ und $h$ orthogonal zueinander verlaufen.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Ein Vater kann mit einem seiner drei Söhne ein Fußballspiel besuchen. Alle drei Söhne möchten gern mitkommen. Um zu einer Entscheidung zu kommen, fertigt der Vater drei äußerlich nicht unterscheidbare Lose an. Darunter befindet sich genau ein Los, welches den Besuch des Fußballspiels ermöglicht. Die drei Söhne ziehen nacheinander ohne Zurücklegen ein Los zufällig. Erst nachdem alle drei Söhne gezogen haben, werden die Lose geöffnet.
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für den Besuch des Fußballspiels für jeden Sohn gleich ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

1.1

$f(x) = \dfrac{2}{x^3}= 2\cdot x^{-3}$

$F(x)= \dfrac{2}{-2}\cdot x^{-2}= -\dfrac{1}{x^2}$

Alle Funktionen der Form $F_c(x) = -\dfrac{1}{x^2} +c$ sind also Stammfunktionen von $f.$

Mit $c=1$ folgt, dass die erste Antwortmöglichkeit richtig ist.

1.2

Es gilt $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm e^{x+1}=0.$ Also hat $f$ eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y=0.$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist also richtig.

1.3

Alle Punkte in der $xy$ -Ebene besitzen die $z$ -Koordinate Null. Dies muss daher auch für den Schnittpunkt mit der Geraden $g$ gelten. Gleichsetzen der letzten Koordinate der Geradengleichung mit Null liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 5 + t\cdot (-1) \quad \scriptsize \mid\;+t \\[5pt] t&=& 5 \end{array}$

Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung liefert:

$\pmatrix{3\\4\\5} + 5\cdot \pmatrix{2\\1\\-1} = \pmatrix{13\\ 9\\0}$

Die dritte Antwortmöglichkeit $(13\mid 9\mid 0)$ ist also die richtige Antwort.

1.4

Aus der Abbildung können die Koordinaten der Spurpunkte von $E$ ablesen werden:

$S_x(1\mid 0 \mid 0),$ $S_y(0\mid 1\mid 0)$ und $S_z(0\mid 0\mid 1).$

Die Koordinaten dieser Punkte müssen die gesuchte Ebenengleichung erfüllen.

Die zweite Antwortmöglichkeit ist die richtige.

1.5

Bei dem zehnmaligen Werfen der Münze handelt es sich um eine Bernoullikette. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann also mit der Formel von Bernoulli für $n=10$ und $k=2$ Treffer berrechnet werden:

$P(X=2)= \pmatrix{10\\2}\cdot p^2 \cdot (1-p)^{10-2}$ $=\pmatrix{10\\2}\cdot p^2 \cdot (1-p)^8$

Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

2.1

Das Integral beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph von $x+1$ im Bereich $0\leq x \leq 3$ mit der $x$ -Achse begrenzt.

2.2

$\begin{array}[t]{rll} &\displaystyle\int_{0}^{3}(x+1)\\ & =\left[\dfrac{1}{2}x^2 +x \right]_0^3\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\cdot 3^2 +3 - \left(\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 +0 \right)\\[5pt] &= \dfrac{15}{2} \\[5pt] \end{array}$

3.1

Gleichsetzen der Geradengleichungen ergibt folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 2t &= 1-r \\ \text{II}\quad& 1 &= 2+r \\ \text{III}\quad& 3+2t &= 6+r \\ \end{array}$

Aus $\text{II}$ folgt sofort $r=-1.$

Da sich die beiden Geraden $g$ und $h$ nach Aufgabenstellung schneiden, kann $r$ direkt in die Gleichung von $h$ eingesetzt werden:

$\pmatrix{1\\2\\6} -1\cdot \pmatrix{-1\\1\\1} = \pmatrix{2\\1\\5}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ lauten $S(2\mid 1\mid 5).$

3.2

Die beiden Geraden $g$ und $h$ sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander sind. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.

$\begin{array}[t]{rll} & \pmatrix{2\\0\\2}\circ \pmatrix{-1\\1\\1}\\ &= 2\cdot (-1) + 0\cdot 1 +2\cdot 1 \\[5pt] &=0 \end{array}$

Die beiden Geraden $g$ und $h$ verlaufen also orthogonal zueinander.

Treffer T: Besuch des Fußballspiels
Niete N: kein Besuch des Fußballspiels

Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für die Söhne, das Fußballspiel zu besuchen:

Sohn 1: $P(T)=\dfrac{1}{3}$

Sohn 2: $P(NT)=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$

Sohn 3: $P(NNT)=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1=\dfrac{1}{3}$

baumdiagramm, wahrscheinlichkeiten berechnen, pfadregeln, teil a

Jeder Sohn zieht also jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ das Los für den Besuch des Fußballspiels.

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