Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot x\cdot (x+4)^2$ $(x\in \mathbb{R}).$
Welche Nullstellen besitzt $f?$

	$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& -2\\[5pt] x_3&=& 4\\[5pt] \end{array}$
	$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 \\[5pt] x_2&=& 0\\[5pt] x_3&=& 2\\[5pt] \end{array}$
	$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 4\\[5pt] \end{array}$
	$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 0\\[5pt] \end{array}$
	$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 4\\[5pt] \end{array}$

1.2

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f,$ $g$ und $h.$
Welche Aussage ist wahr?

	$f$ ist eine Stammfunktion von $g.$
	$f$ ist eine Stammfunktion von $h.$
	$g$ ist eine Stammfunktion von $f.$
	$g$ ist eine Stammfunktion von $h.$
	$h$ ist eine Stammfunktion von $g.$

Abb. 1

1.3

Welcher Punkt liegt in der Ebene $E$ mit $E:\quad -4\cdot x +2\cdot y -2\cdot z = 8?$

	$P_1(-1\mid-1\mid-1)$
	$P_2(-1\mid1\mid-1)$
	$P_3(-1\mid 1\mid 1)$
	$P_4(1\mid-1\mid-1)$
	$P_5(1\mid 1\mid 1)$

1.4

Für welchen Wert von $a$ verläuft der Vektor $\pmatrix{-2\\a\\1}$ senkrecht zum Vektor $\pmatrix{1\\-2\\4}?$

	$a=-1$
	$a=0$
	$a=0,5$
	$a=1$
	$a=2$

1.5

In einem Gefäß befinden sich Kugeln, $12$ davon sind rot. Der Anteil der roten Kugeln an der Gesamtzahl der Kugeln im Gefäß beträgt $60\,\%.$
Wie groß ist die Gesamtanzahl der Kugeln in dem Gefäß?

	$8$
	$18$
	$20$
	$30$
	$40$

Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 5

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6\cdot x^2 +11\cdot x -6$ $(x\in \mathbb{R}).$ Der Graph der Funktion $f$ besitzt genau einen Wendepunkt.
Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt.

(4 BE)

Für jedes $m\in \mathbb{R}$ ist eine Gerade $g$ mit $g: \quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{11\\m\\10}+r\cdot \pmatrix{4\\-2\\2}$ $(r\in \mathbb{R})$ gegeben.

Für jedes $n\in \mathbb{R}$ ist eine Gerade $h$ mit $h: \quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{-1\\2\\4}+s\cdot \pmatrix{n\\-3\\3}$ $(s\in \mathbb{R})$ gegeben.

Bestimme $m$ und $n$ so, dass $g$ und $h$ identisch sind.

(3 BE)

Ein idealer Würfel mit den Augenzahlen $1$ bis $6$ wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die Augenzahl $1$ auftritt.
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X.$

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1

Wegen des Satzes vom Nullprodukt besitzt $f$ die Nullstelle $x=0.$ Weitere Nullstellen ergeben sich aus den Nullstellen von $(x+4)^2,$ also $x=-4.$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.2

Dem Schaubild kann Folgendes entnommen werden:

Extremstellen von $g$ sind Nullstellen von $h$
Wendestelle von $g$ ist Extremstelle von $h$

Daraus folgt, dass $g$ eine Stammfunktion von $h$ ist und somit die vierte Antwortmöglichkeit die richtige ist.

1.3

Einsetzen der Koordinaten von $P_2(-1\mid 1 \mid -1)$ in $E$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -4 \cdot (-1)+2\cdot 1-2\cdot (-1)&=& 8 \\[5pt] 4+2+2&=& 8 \\[5pt] 8&=& 8 \end{array}$

Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.4

Zwei Vektoren verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2\\a\\1}\circ \pmatrix{1\\-2\\4}&=& 0 \\[5pt] -2\cdot 1 +a\cdot (-2) +1\cdot 4 &=& 0 \\[5pt] 2-2a&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -2a&=& -2 \quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] a&=& 1 \end{array}$

Die vierte Antwort ist richtig.

1.5

Die $12$ roten Kugeln machen einen Anteil von $60\,\%$ aus:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12}{x}&=& \dfrac{6}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] 12&=& \dfrac{6}{10} \cdot x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{10}{6} \\[5pt] 20&=& x \end{array}$

Die dritte Antwort ist richtig.

1. Schritt: Wendestelle bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6\cdot x^2 +11\cdot x - 6 \\[5pt] f‘(x)&=& 3x^2-12x +11 \\[5pt] f‘‘(x)&=& 6x-12 \\[10pt] f‘‘(x)&=& 0 \\[5pt] 6x-12&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] 6x&=& 12\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$

Da der Graph von $f$ laut Aufgabenstellung genau einen Wendepunkt besitzt, liegt dieser an der Stelle $x_W=2.$

2. Schritt: Steigung und $\boldsymbol{y}$ -Koordinaten bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f‘(2)&=& 3\cdot 2^2-12\cdot 2 +11 \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] f(2)&=& 2^3-6\cdot 2^2 +11\cdot 2 -6 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Die Steigung der Tangente beträgt also $m_t = f‘(2)=-1.$ Mit einer Punktprobe kann noch der $y$ -Achsenabschnitt bestimmt werden.

$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& m_t\cdot x +b \\[5pt] y&=& -1\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W(2\mid 0) \\[5pt] 0&=& -1\cdot 2 +b &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 2&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt lautet:

$t:\quad y = -x+2$

Damit die beiden Geraden identisch sind, muss $n$ so gewählt werden, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Es muss also ein $a\in \mathbb{R}$ geben mit:

$\pmatrix{4\\-2\\2} = a\cdot \pmatrix{n\\-3\\3}$

Die zweite und dritte Zeile sind für $a= \frac{2}{3}$ erfüllt. Für die erste Zeile folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} 4&=& \frac{2}{3}\cdot n &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{2}{3} \\[5pt] 6&=& n \end{array}$

$m$ muss nun so bestimmt werden, dass der Stützpunkt $(11\mid m \mid 10)$ von $g$ auch auf $h$ liegt:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{12\\m-2\\6}= s\cdot \pmatrix{6\\-3\\3}$

Die erste und dritte Zeile sind für $s=2$ erfüllt. Für die zweite Zeile folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} m-2&=& 2\cdot (-3) \quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] m&=& -4 \end{array}$

Für $m=-4$ und $n=6$ sind $g$ und $h$ identisch.

$X$ kann als binomialverteilt mit $n=2$ und $p=\frac{1}{6}$ angenommen werden. Der Erwartungswert ergibt sich daher zu $E(X) = 2\cdot \dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{3}.$
Der Erwartungswert von $X$ beträgt $\dfrac{1}{3}.$