Teil B2

Ein Eckpunkt des Überhangs besitzt die geringste Höhe über dem Hallenboden. Weise nach, dass diese geringste Höhe beträgt.

Bestimme den Neigungswinkel des Überhangs gegenüber dem Hallenboden.

Vom Punkt verläuft ein geradliniges Spannseil senkrecht zum Überhang.
Dieses Spannseil ist im Punkt des Überhangs befestigt. Ermittle die Koordinaten des Punktes Gib die Länge des Spannseils zwischen den Punkten und an.

Der dreieckige Überhang soll ausgetauscht werden. Die Materialkosten betragen pro Quadratmeter ohne Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer beträgt
Ermittle die Materialkosten einschließlich Mehrwertsteuer für den Austausch des dreieckigen Überhangs.

Es gibt Kletterrouten, die entlang der beiden zum Hallenboden senkrechten Kletterwände vom Punkt über einen Punkt auf der -Achse zum Punkt verlaufen. Unter diesen Kletterrouten gibt es eine kürzeste Route.
Bestimme die Koordinaten des Punktes für diese kürzeste Route.

Ermittle die Anzahl der zu erwartenden Abstürze bei gewählten Kletterrouten.

Eine Kletterroute der Kategorie wurde gewählt.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass dabei ein Absturz erfolgt. Eine Kletterroute der Kategorie wurde gewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei kein Absturz erfolgt.

  Geringste Höhe nachweisen Die Höhe der beiden Eckpunkte, die nicht auf der -Achse liegen ist mit Metern angegeben. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse. Alle Punkte auf der -Achse haben die Koordinaten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Der Eckpunkt des Überhangs, der auf der -Achse liegt hat die Koordinaten und damit eine Höhe von Metern über dem Hallenboden. Die anderen beiden Eckpunkte des dreieckigen Überhangs befinden sich Meter über dem Hallenboden. Damit ist Meter die geringste Höhe über dem Hallenboden.

  Neigungswinkel bestimmen Der Neigungswinkel des Überhangs gegenüber dem Hallenboden entspricht dem Neigungswinkel der Ebene gegenüber der --Ebene. Dessen Größe kann mithilfe eines Normalenvektors von , beispielsweise aus der Ebenengleichung , und einem Normalenvektor der --Ebene, beispielsweise wie folgt berechnet werden: Der Überhang ist gegenüber dem Hallenboden um ca. geneigt.

  Koordinaten ermitteln Der Punkt ist der Schnittpunkt des Überhangs und des Seils, also der Schnittpunkt der Ebene und der Geraden , die senkrecht zum Überhang durch den Punkt verläuft.
Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Einsetzen in die Geradengleichung von liefert den Ortsvektor von Der Punkt hat die Koordinaten   Länge des Seils bestimmen Das Seil zwischen den Punkten und ist ca. lang.

  Materialkosten berechnen 1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte berechnen Der erste Eckpunkt des dreieckigen Überhangs hat die Koordinaten Die übrigen beiden befinden sich an den beiden Kletterwänden jeweils in einer Höhe von Metern über dem Hallenboden. Beide haben also die -Koordinate Einer von ihnen befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinaten der zweite befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinate Beide Punkte müssen auf der Ebene liegen: Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten 2. Schritt: Flächeninhalt des Überhangs berechnen Der Überhang ist ca. groß. 3. Schritt: Kosten berechnen Einschließlich Mehrwertsteuer betragen die Materialkosten für den Austausch des Überhangs ca.

  Koordinaten berechnen Der Punkt liegt auf der -Achse und hat demnach folgende Koordinaten: Die Länge der Kletterroute kann in Abhängigkeit von dargestellt werden: Bei handelt es sich also um eine lokale Minimalstelle von Da dies das einzige Extremum von ist, ist dies die Stelle mit dem kleinsten Funktionswert von .
Der Punkt hat für die kürzeste Route die Koordinaten

  Anzahl der zu erwartenden Abstürze berechnen aller gewählten Kletterrouten werden ohne Absturz bewältigt. Von Kletterrouten sind also Kletterrouten ohne Absturz erwartet. Bei den übrigen wird ein Absturz erwartet. Bei gewählten Kletterrouten werden also Abstürze erwartet.

  Wahrscheinlichkeit für einen Absturz berechnen Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kletterroute ohne Absturz bei einer Kletterroute der Kategorie beträgt. Wir bezeichnen mit das Ereignis, dass bei einer Kletterroute ein Absturz erfolgt, mit das Ereignis, dass es sich bei einer Kletterroute um eine Kletterroute der Kategorie handelt. Alle Kletterrouten, die nicht ohne Absturz bewältigt werden, führen zu einem Absturz. Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, bzw. dem Gegenereignis, folgt daher: Mit einer Wahrscheinlichkeit von erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie ein Absturz.   Wahrscheinlichkeit für keinen Absturz berechnen Mit den Pfadregeln setzt sich wie folgt zusammen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie kein Absturz.

  Geringste Höhe nachweisen Die Höhe der beiden Eckpunkte, die nicht auf der -Achse liegen ist mit Metern angegeben. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse. Alle Punkte auf der -Achse haben die Koordinaten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Der Eckpunkt des Überhangs, der auf der -Achse liegt hat die Koordinaten und damit eine Höhe von Metern über dem Hallenboden. Die anderen beiden Eckpunkte des dreieckigen Überhangs befinden sich Meter über dem Hallenboden. Damit ist Meter die geringste Höhe über dem Hallenboden.

  Neigungswinkel bestimmen Der Neigungswinkel des Überhangs gegenüber dem Hallenboden entspricht dem Neigungswinkel der Ebene gegenüber der --Ebene. Dessen Größe kann mithilfe eines Normalenvektors von , beispielsweise aus der Ebenengleichung , und einem Normalenvektor der --Ebene, beispielsweise wie folgt berechnet werden: Der Überhang ist gegenüber dem Hallenboden um ca. geneigt.

  Koordinaten ermitteln Der Punkt ist der Schnittpunkt des Überhangs und des Seils, also der Schnittpunkt der Ebene und der Geraden , die senkrecht zum Überhang durch den Punkt verläuft.
Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Einsetzen in die Geradengleichung von liefert den Ortsvektor von Der Punkt hat die Koordinaten   Länge des Seils bestimmen Das Seil zwischen den Punkten und ist ca. lang.

  Materialkosten berechnen 1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte berechnen Der erste Eckpunkt des dreieckigen Überhangs hat die Koordinaten Die übrigen beiden befinden sich an den beiden Kletterwänden jeweils in einer Höhe von Metern über dem Hallenboden. Beide haben also die -Koordinate Einer von ihnen befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinaten der zweite befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinate Beide Punkte müssen auf der Ebene liegen: Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten 2. Schritt: Flächeninhalt des Überhangs berechnen Der Überhang ist ca. groß. 3. Schritt: Kosten berechnen Einschließlich Mehrwertsteuer betragen die Materialkosten für den Austausch des Überhangs ca.

  Koordinaten berechnen Der Punkt liegt auf der -Achse und hat demnach folgende Koordinaten: Die Länge der Kletterroute kann in Abhängigkeit von dargestellt werden: Bei handelt es sich also um eine lokale Minimalstelle von Da dies das einzige Extremum von ist, ist dies die Stelle mit dem kleinsten Funktionswert von .
Der Punkt hat für die kürzeste Route die Koordinaten

  Anzahl der zu erwartenden Abstürze berechnen aller gewählten Kletterrouten werden ohne Absturz bewältigt. Von Kletterrouten sind also Kletterrouten ohne Absturz erwartet. Bei den übrigen wird ein Absturz erwartet. Bei gewählten Kletterrouten werden also Abstürze erwartet.

  Wahrscheinlichkeit für einen Absturz berechnen Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kletterroute ohne Absturz bei einer Kletterroute der Kategorie beträgt. Wir bezeichnen mit das Ereignis, dass bei einer Kletterroute ein Absturz erfolgt, mit das Ereignis, dass es sich bei einer Kletterroute um eine Kletterroute der Kategorie handelt. Alle Kletterrouten, die nicht ohne Absturz bewältigt werden, führen zu einem Absturz. Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, bzw. dem Gegenereignis, folgt daher: Mit einer Wahrscheinlichkeit von erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie ein Absturz.   Wahrscheinlichkeit für keinen Absturz berechnen Mit den Pfadregeln setzt sich wie folgt zusammen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie kein Absturz.