Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot{e}^x$ $(x\in\mathbb{R})$ .
Die erste Ableitungsfunktion $f‘$ von $f$ kann beschrieben werden durch:

	$f‘(x)=e^x$ $(x\in\mathbb{R})$
	$f‘(x)=e^{x-1}$ $(x\in\mathbb{R})$
	$f‘(x)=x\cdot{e}^{x}$ $(x\in\mathbb{R})$
	$f‘(x)=e^{x}\cdot\left({1+x}\right)$ $(x\in\mathbb{R})$
	$f‘(x)=x\cdot(e^x+1)$ $(x\in\mathbb{R})$

1.2

Der Graph der Funktion $f$ mit $y=f(x)=\dfrac{2\cdot{x^2}-3\cdot{x}+4}{-6\cdot{x^2}}$ $(x\in\mathbb{R}; x\neq0)$ besitzt eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung:

	▢ $y=-3$
	▢ $y=-\dfrac{1}{3}$
	$y=0$
	$y=\dfrac{1}{3}$
	$y=3$

1.3

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=(2\cdot{x}-4)^3$ $(x\in\mathbb{R})$ .
Eine mögliche Stammfunktion $G$ von $g$ kann beschrieben werden durch:

	$G(x)=\dfrac{1}{6}\cdot(2\cdot{x}-4)^2$ $(x\in\mathbb{R})$
	$G(x)=\dfrac{1}{3}\cdot(2\cdot{x}-4)^2$ $(x\in\mathbb{R})$
	$G(x)=\dfrac{1}{8}\cdot(2\cdot{x}-4)^4$ $(x\in\mathbb{R})$
	$G(x)=\dfrac{1}{4}\cdot(2\cdot{x}-4)^4$ $(x\in\mathbb{R})$
	$G(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(2\cdot{x}-4)^4$ $(x\in\mathbb{R})$

1.4

In einem kartesischen Koordinatensystem verläuft eine Gerade $g$ senkrecht zur $y$ - $z$ -Koordinatenebene.
Eine mögliche Gleichung der Geraden $g$ ist:

	$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}}$ $(t\in\mathbb{R})$
	$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}}$ $(t\in\mathbb{R})$
	$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}}$ $(t\in\mathbb{R})$
	$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}}$ $(t\in\mathbb{R})$
	$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 0\\-1\\-1 \end{pmatrix}}$ $(t\in\mathbb{R})$

1.5

In einer Urne befinden sich $3$ grüne und $5$ rote Kugeln.
Der Urne wird eine Kugel zufällig entnommen. Nach Feststellung ihrer Farbe wird die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt.
Dieser Vorgang wird insgesamt dreimal durchgeführt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der dabei gezogenen grünen Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$ kann mit folgendem Term berechnet werden:

	$2\cdot{\dfrac{3}{8}}\cdot{\dfrac{5}{7}}$
	$3\cdot{\dfrac{3}{8}}\cdot{\dfrac{2}{7}}\cdot{\dfrac{5}{6}}$
	$\left(\dfrac{3}{8}\right)^2\cdot{\dfrac{5}{8}}$
	$3\cdot{\left(\dfrac{3}{8}\right)^2}\cdot{\dfrac{5}{8}}$
	$3\cdot{\dfrac{3}{8}}\cdot{\left(\dfrac{5}{8}\right)^2}$

(5P)

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot{x}^3-6\cdot{x^2}$ $(x\in\mathbb{R})$ besitzt genau einen Wendepunkt $W$ .
Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f$ in diesem Wendepunkt $W$ .

(5P)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade $g$ mit $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 3\\3\\2 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}}$ $(t\in\mathbb{R})$ und für jeden Wert von $a(a\in\mathbb{R})$ der Punkt $P_a(2\;|\;a\;|\;0)$ gegeben.
Es existiert ein Wert von $a$ , sodass der Punkt $P_a$ auf der Geraden $g$ liegt.
Berechne diesen Wert von $a$ .

(2P)

Gegeben ist die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$ .

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,25$	$0,4$	$P(X=2)$	$0,2$

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ .

(3P)

1.1

$\blacktriangleright$ Erste Ableitung bilden

Du sollst die erste Ableitungsfunktion von $f$ mit $f(x)= x\cdot \mathrm e^x$ aus den Vorschlägen auswählen. Bestimme dazu die korrekte Ableitungsfunktion, indem du $f$ mit Hilfe der Produktregel ableitest.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&u(x)\cdot v(x) \\[5pt] f‘(x)&=&... \end{array}$

Vollständige Formel anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x\cdot \mathrm e^x \\[10pt] f‘(x)&=&1\cdot \mathrm e^x+ x\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& \mathrm e^x \cdot (1+x) \\[5pt] \end{array}$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig: Die erste Ableitungsfunktion von $f$ kann durch $f‘(x)= \mathrm e^x\cdot (1+x)$ $\,(x\in \mathbb{R})$ beschrieben werden.

1.2

$\blacktriangleright$ Gleichung der waagerechten Asymptote bestimmen

Bei der Funktion $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion, also einer Funktion folgender Form:

$f(x)= \dfrac{a_n\cdot x^n +... + a_0\cdot x^0}{b_m\cdot x^m +...+ b_0\cdot x^0}$

Besitzt der Graph von $f$ eine waagerechte Asymptote, kannst du die zugehörige Funktionsgleichung wie folgt bestimmen:

Ist $\color{#87c800}{n< m}$ , dann ist die $x$ -Achse mit $y = 0$ die waagerechte Asymptote.

Ist $\color{#87c800}{n=m}$ , dann ergibt sich die Gleichung der waagerechten Asymptote als Quotient aus den beiden Leitkoeffizienten $y = \dfrac{a_n}{b_m}$ .

In diesem Fall ist sowohl der Grad des Zählers als auch der des Nenners zwei. Betrachte also den zweiten Fall und setze ein.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{a_2}{b_2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{-6}\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{3} \end{array}$

Der Graph von $f$ besitzt also eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y =-\dfrac{1}{3}$ . Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.3

$\blacktriangleright$ Stammfunktion angeben

Gesucht ist eine mögliche Stammfunktion von $g$ . Um die richtige auszuwählen, kannst du eine Stammfunktion mit Hilfe der linearen Substitution bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&u(v(x)) \\[5pt] F_c(x)&=& ... \end{array}$

Vollständige Formel anzeigen

In diesem Fall ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (2\cdot x-4)^3 \\[10pt] G(x)_c&=& ... \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit $c=0$ ist also $G(x)=(2\cdot x-4)^4 \cdot \dfrac{1}{8}$ eine mögliche Stammfunktion von $g$ . Die dritte Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.4

$\blacktriangleright$ Mögliche Geradengleichung angeben

Die Gerade $g$ soll senkrecht zur $y$ - $z$ -Koordinatenebene verlaufen. Senkrecht zu dieser Ebene verläuft gerade die $x$ -Achse. Alle Geraden, die senkrecht zu der Ebene verlaufen sollen, müssen parallel zur $x$ -Achse verlaufen. Ihr Richtungsvektor muss also ein Vielfaches eines Richtungsvektors der $x$ -Achse sein. Letzteres ist zum Beispiel $\overrightarrow{s} = \pmatrix{1\\0\\0}$ .

Betrachtest du die Richtungsvektoren der vorgeschlagenen Geradengleichungen, dann sollte dir folgendes auffallen:

$\pmatrix{-1\\0\\0}= -1\cdot \overrightarrow{s}$

Der Richtungsvektor der vierten Geraden ist also ein möglicher Richtungsvektor der $x$ -Achse und damit senkrecht zur $y$ - $z$ -Ebene. Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

1.5

$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit aufstellen

Du sollst hier einen Term für die Wahrscheinlichkeit für zwei gezogene grüne Kugeln bestimmen. Bei dem Experiment handelt es sich um „Ziehen ohne Zurücklegen“. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, eine grüne Kugel zu ziehen, in jedem Durchgang gleich bleibt. Die angegebene Zufallsvariable $X$ ist also binomialverteilt. Insgesamt befinden sich unter den $8$ Kugeln $3$ grüne und es wird dreimal gezogen. Es gilt also $p =\frac{3}{8}$ und $n = 3$ . Für die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$ kannst du die Formel für die Binomialverteilung verwenden:

$P(X=k)=...$

Vollständige Formel anzeigen

Hier ergibt sich damit:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=&\binom{3}{2} \cdot \frac{3}{8}^2\cdot \frac{5}{8}^{1} \\[5pt] &=& 3\cdot \frac{3}{8}^2\cdot \frac{5}{8}\\[5pt] \end{array}$

Tipp: Den Binomialkoeffizienten $\binom{3}{2}$ kannst du bestimmen, indem du dir klar machst, dass dieser die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, zwei Plätze von dreien zu besetzen. Hierfür gibt es genau drei Möglichkeiten, bei denen jeweils ein anderer Platz frei bleibt.

Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.

$\blacktriangleright$ Gleichung der Wendetangente ermitteln

Du sollst eine Gleichung der Tangente $t_W$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W$ bestimmen. Eine Tangente an den Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P$ ist eine Gerade $t(x) =mx+b$ mit den folgenden Eigenschaften:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $P$ : $\quad m = f‘(x_P)$
$t$ verläuft ebenfalls durch den Punkt $P$ : $\quad t(x_P)=y_P$

Du musst also zunächst die Koordinaten von $W$ und die Steigung $m$ von $f$ im Punkt $W$ ermitteln. Dann kannst du diese Informationen in die Tangentengleichung einsetzen und so auch den anderen Koeffizienten $b$ berechnen. Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es zwei Bedingungen:

Notwendiges Kriterium: $f‘‘(x_W)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f‘‘‘(x_W)\neq 0$

In der Aufgabenstellung ist vorgegeben, dass es genau einen Wendepunkt gibt, also brauchst du das hinreichende Kriterium nicht zu überprüfen. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f$ und setze $f‘‘(x)=0$ , um mögliche Wendestellen zu berechnen. Berechne anschließend $m= f‘(x_W)$ und $y_W=f(x_W)$ , um dann die Geradengleichung aufzustellen.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&2x^3-6x^2 \\[10pt] f‘(x)&=&2\cdot 3\cdot x^2-6\cdot 2\cdot x \\[5pt] &=& 6x^2-12x\\[10pt] f‘‘(x)&=& 6\cdot 2\cdot x-12 \\[5pt] &=&12x-12 \end{array}$

Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x)&=&0 \\[5pt] 12x-12&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] 12x&=& 12&\quad \scriptsize \mid\;:12 \\[5pt] x&=& 1 \\[5pt] \end{array}$

Du erhältst nur eine Lösung, also ist $x_W=1$ die gesuchte Wendestelle.

2. Schritt: Funktionswert und Steigung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y_W&=&f(x_W) \\[5pt] &=& f(1) \\[5pt] &=& 2\cdot 1^3-6\cdot 1^2\\[5pt] &=& -4 \\[10pt] m&=&f‘(x_W) \\[5pt] &=& f‘(1) \\[5pt] &=& 6\cdot 1^2-12\cdot 1 \\[5pt] &=&-6 \end{array}$

Die Koordinaten des Wendepunkts lauten also $W(1\mid -4)$ . Im Wendepunkt besitzt der Graph die Steigung $m=-6$ .

3. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Du kennst nun bereits die Steigung $m$ der Tangente. Also besitzt die Tangentengleichung folgende Form:

$t(x)=-6\cdot x +b$

Das $b$ kannst du nun berechnen, indem du die Koordinaten von $W$ einsetzt und dann nach $b$ auflöst.

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&-6x+b \\[5pt] -4&=&-6\cdot 1+b &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 2&=&b \\[5pt] \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W$ lautet:

$t(x)= -6x+2$

$\blacktriangleright$ Parameterwert berechnen

Gegeben ist eine Gerade $g$ und die Koordinaten des Punkts $P_a$ . Letztere hängen vom Parameter $a$ ab, den du nun so bestimmen sollst, dass $P_a$ auf der Geraden $g$ liegt. Führe dazu eine Punktprobe durch, indem du den Ortsvektor von $P_a$ in die Geradengleichung einsetzt und überprüfst, ob es ein $t$ gibt, welches diese Gleichung erfüllt.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{3\\3\\2} +t\cdot \pmatrix{1\\-1\\2} \\[5pt] \pmatrix{2\\a\\0}&=& \pmatrix{3\\3\\2} +t\cdot \pmatrix{1\\-1\\2} \\[5pt] \end{array}$

Betrachte nun die erste Zeile dieser Gleichung und berechne daraus einen Wert für $t$ . Diesen kannst du dann in die zweite Zeile einsetzen und diese wiederum nach $a$ auflösen.

$\begin{array}[t]{rll} 2&=&3+t\cdot 1 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] -1&=& t \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in die zweite Zeile liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a&=&3-1\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; t=-1 \\[5pt] a&=& 4 \\[5pt] \end{array}$

Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass ein Wert für $a$ exisitert, sodass der Punkt auf der Geraden liegt, musst du die dritte Zeile nicht mehr überprüfen.

Für $a =4$ liegt $P_a$ auf der Geraden $g$ .

$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen

Du sollst den Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ berechnen. Den Erwartungswert kannst du allgemein über folgende Formel berechnen:

$E(X)= \sum\limits^{n}_{i=0}P(X=x_i)\cdot x_i$

Du benötigst dazu noch die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$ . Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Tabelle die vollständige Verteilung von $X$ enthält, muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten insgesamt $1$ ergeben. Darüber kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen und anschließend in die Formel für den Erwartungswert einsetzen.

$P(X=2)=0,15$

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Einsetzen in die Formel für den Erwartungswert liefert:

$E(X)= 1,3$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ ergibt sich zu $E(X)= 1,3$ .