Teil B1

Braunkohle wird im Tagebau abgebaut.
Die Profillinie eines Tagebauabschnittes kann in einem kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ modellhaft dargestellt werden (siehe Abbildung 1). Im Modell besteht diese Profillinie aus den Strecken $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{DE}$ und $\overline{EF}.$

Abb. 1: nicht maßstäblich

Die Punkte $A$ und $D$ besitzen die Koordinaten $A(0,0\mid 0,0)$ bzw. $D(225,0\mid -63,0).$
Die Strecke $\overline{AB}$ wird durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=-\frac{3}{5}\cdot x$ $(x\in \mathbb{R}; 0,0\leq x\leq 45,0)$ beschrieben. Die Strecke $\overline{BC}$ verläuft parallel zur $x$ -Achse. Die jeweilige Tiefe des Tagebauabschnittes entspricht dem Abstand des jeweiligen Punktes der Profillinie zur $x$ -Achse.

1.1

Der Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $B(45,0\mid g(45,0)).$
Weise nach, dass im Punkt $B$ die Tiefe des Tagebauabschnittes $27,0\,\text{m}$ beträgt.
Zeige, dass der Punkt $D$ auf dem Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=-\frac{9}{40}\cdot x -\frac{99}{8}$ $(x\in \mathbb{R})$ liegt.
Der Punkt $C$ liegt ebenfalls auf dem Graphen von $h$ .
Ermittle die Koordinaten von $C.$

(5 BE)

Ein Tagebau wurde nach seiner Schließung rekultiviert, wobei das Gelände des Tagebaus ausgeglichen wurde.
Jede Ebene, welche einen $5.000,0\,\text{m}$ langen Geländeabschnitt dieses rekultivierten Tagebaus senkrecht zu sienem Verlauf schneidet, erzeigt die gleiche Profillinie des Geländes.
Diese Profillinie kann in einem kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ modellhaft durch den Graphen der Funktion $f$ mit

$f(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$(x\in \mathbb{R};0,0\leq x\leq 299,3)$

dargestellt werden (siehe Abbildung 2).
Die jeweilige Tiefe des Geländes entspricht dem Abstand des jeweiligen Punktes des Graphen von $f$ zur $x$ -Achse.

Abb. 2: nicht maßstäblich

1.2

Zeige, dass die maximale Tiefe dieses Geländes $89,7\,\text{m}$ beträgt.

(2 BE)

1.3

Ein Raupenfahrzeug kann Steigungen bis zu $75\,\%$ bewältigen. Es soll entlang der Profillinie dieses Geländes vom Punkt $R(44,9\mid f(44,9))$ zum Punkt $S(138,3\mid f(138,3))$ fahren.
Untersuche, ob das Raupenfahrzeug jede Steigung auf dieser Fahrt bewältigen kann.

(3 BE)

Der Geländeabschnitt wurde zur Schaffung eines Biotops geflutet.

1.4

Bei der Flutung nahm das Wasservolumen in diesem $5.000,0\,\text{m}$ langen Geländeabschnitt durchschnittlich um $42\,\text{m}^3$ pro Minute zu. Zu Beginn der Flutung befand sich kein Wasser im Geländeabschnitt. Bei vollständiger Flutung verläuft die Profillinie der Wasseroberfläche im Modell entlang der $x$ -Achse.
Ermittle die Anzahl der Tage bis zur vollständigen Flutung.

(6 BE)

1.5

Ein Tauchroboter untersucht nach der Flutung den Boden des Geländeabschnittes. Zu Beginn des Tauchgangs befindet sich der Tauchroboter an einem Ort, welcher im Modell die Koordinaten $T(60,0\mid -10,0)$ besitzt. Der Tauchroboter soll auf kürzestem Weg zur Profillinie des Geländes gesteuert werden.
Bestimme die Länge dieses kürzesten Weges.

(3 BE)

1.6

Zur Schaffung eines Fischbestandes in diesem Biotop wurden ausschließlich Karpfen, Barben und Schleien ausgesetzt. Das Umweltamt untersucht die Entwicklung des Fischbestandes. Zu diesem Zweck wurden $100$ Fische zufällig gefangen und wieder ausgesetzt. Unter den $100$ Fischen befanden sich $48$ Karpfen und $36$ Barben. Das Umweltamt schließt von dieser Zufallsstichprobe auf die Grundgesamtheit.
Begründe, dass aufgrund dieser Schlussfolgerung die Wahrscheinlichkeit, eine Schleie zu fangen, $16\,\%$ beträgt.
Es werden drei Fische aus dem Biotop zufällig gefangen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den drei gefangenen Fischen ein Karpfen, eine Barbe und eine Schleie befinden.

(4 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

1.1

Tiefe nachweisen

Da die Tiefe des Tagebauabschnittes dem Abstand des jeweiligen Punktes zur $x$ -Achse entspricht, wird die Tiefe im Punkt $B$ durch den Betrag der $y$ -Koordinate angegeben.

$\begin{array}[t]{rll} g(45,0)&=& -\frac{3}{5}\cdot 45,0 \\[5pt] &=& -27,0 \end{array}$

Die Tiefe des Tagebauabschnittes beträgt im Punkt $B$ also $27,0\,\text{m}.$

Lage von $\boldsymbol{D}$ auf dem Graphen nachweisen

Die Koordinaten von $D$ sind mit $D(225,0\mid -63,0)$ gegeben. Es muss also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} h(225,0)&=& -63,0& \\[5pt] -\dfrac{9}{40}\cdot 225,0 -\dfrac{99}{8}&=& -63,0& \\[5pt] -63,0 &=& -63,0 \end{array}$

$D$ liegt also auf dem Graphen von $h.$

Koordinaten von C ermitteln

Da die Strecke $\overline{BC}$ parallel zur $x$ -Achse verläuft, besitzt der Punkt $C$ die gleiche $y$ -Koordinate wie $B,$ also $y_C= -27,0.$

Die $x$ -Koordinate muss nun so gewählt werden, dass die Koordinaten die Funktionsgleichung von $h$ erfüllen, da $C$ ebenfalls auf dem Graphen von $h$ liegen soll.

$h(x_C)=-27,0$

Der solve-Befehl des CAS liefert $x_C=65,0.$

Die Koordinaten von $C$ lauten $C(65,0\mid -27,0).$

1.2

Die Tiefpunkte von $f$ können mit dem CAS berechnet werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

Der Taschenrechner liefert die beiden Tiefpunkte $T_1(44,9\mid -62,2)$ und $T_2(249,8\mid -89,7).$ $T_2$ ist der tiefste Punkt des Modells. Der Betrag seines $y$ -Wertes in Metern entspricht der Tiefe des Geländes an diesem Punkt. Die maximale Tiefe des Geländes beträgt also ca. $89,7\,\text{m}.$

1.3

Es muss die maximale Steigung auf der betrachteten Strecke bestimmt werden. Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $\(f$ beschrieben.

Funktion anzeigen

$\( f$

Die Hochpunkte von $\(f$ können mit dem CAS bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der Taschenrechner liefert den Hochpunkt $H(85,121\mid 0,746).$ Für die Intervallränder gilt:

$f‘(44,9)\approx 0,0$ und $f‘(138,3) \approx 0,0$

Die maximale Steigung auf dem Stück der Profilline, auf dem sich das Raupenfahrzeug bewegen soll, beträgt also ca. $0,746 =74,5\,\%$ und liegt damit gerade noch unter $75\,\%,$ sodass das Raupenfahrzeug jede Steigung auf der vorgesehenen Strecke bewältigen kann.

1.4

1. Schritt: Größe der Querschnittsfläche berechnen

Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Geländeabschnitts kann mithilfe eines Integrals der Funktion $f$ mit dem CAS bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& \left|\displaystyle\int_{0,0}^{299,3}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &\approx& 14\,221,0 \\[5pt] \end{array}$

Die Querschnittsfläche ist also ca. $14\,221\,\text{m}^2$ groß.

2. Schritt: Volumen berechnen

Die Länge des Abschnitts beträgt $5\,000,0\,\text{m}.$ Das Volumen des Geländeabschnitts ergibt sich also analog zu dem eines Prismas zu:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& 14\,221,0\,\text{m}^2 \cdot 5\,000,0\,\text{m} \\[5pt] &=& 71\,105\,000\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Geflutete Menge pro Tag berechnen

Pro Minute steigt das Volumen des Wasser im Schnitt um $42\,\text{m}^3.$
Pro Stunde steigt es um $42\,\text{m}^3 \cdot 60 = 2\,520\,\text{m}^3.$
Pro Tag steigt es um $2.520\,\text{m}^3 \cdot 24 = 60\,480\,\text{m}^3.$

4. Schritt: Anzahl der Tage berechnen

$\dfrac{71\,105\,000\,\text{m}^3}{60\,480 \dfrac{\text{m}^3}{\text{Tag}}} \approx 1\,176 \,\text{Tage}$

Bis zur vollständigen Flutung werden ca. $1\,176$ Tage benötigt.

1.5

Der Abstand des Punktes $T(60,0\mid -10,0)$ und einem Punkt $P(x_P \mid f(x_P))$ auf dem Graphen von $f$ wird durch die folgende Funktion beschrieben:

Funktion anzeigen

$d(x_P)=\, ...$

Der CAS liefert die beiden Tiefpunkte $T_3(12,5\mid 52,8)$ und $T_4(84,2\mid 40,4)$ von $d.$

Die Länge des kürzesten Weges beträgt also ca. $40,4\,\text{m}.$

1.6

Wahrscheinlichkeit für eine Schleie begründen

Von den $100$ gefangenen Fischen waren $48$ Karpfen und $36$ Barben. Da ausschließlich Karpfen, Barben und Schleien ausgesetzt wurden, müssen die restlichen gefangenen Fische Schleien gewesen sein:

$100 -48-36 = 16$

$16$ der $100$ gefangenen Fische waren also Schleien und damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Schleie aufgrund der Schlussfolgerung $16\,\%.$

Wahrscheinlichkeit berechnen

Insgesamt gibt es $3!=6$ verschiedene Möglichkeiten, bei drei Fängen von jeder Fischart ein Fisch zu fangen. Alle Möglichkeiten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Damit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 6\cdot \dfrac{48}{100}\cdot \dfrac{36}{100}\cdot \dfrac{16}{100}&=& 0,166 \\[5pt] &\approx& 16,6\,\% \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $16,6\,\%$ befinden sich unter den drei gefangenen Fischen ein Karpfen, eine Barbe und eine Schleie.