Teil B2

An einer Wetterstation in Deutschland werden kontinuierlich Temperaturen gemessen.
In der Abbildung ist der Temperaturverlauf für die ersten $18$ Stunden nach Mitternacht an einem Tag im Juli dargestellt.
Der Temperaturverlauf kann in dem gegebenen Koordinatensystem näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=-0,00178\cdot{x}^4+0,05\cdot{x}^3-0,33\cdot{x}^2+0,37\cdot{x}+16$ ( $x\in\mathbb{R}; 0,00\leq{x}\leq18,00$ )
beschrieben werden.

Dabei gilt:
$x$ ...Zeitpunkt nach Mitternacht (in Stunden)
$f(x)$ ...Temperatur (in Grad Celsius) zum Zeitpunkt $x$

Graph einer Funktion f in einem Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Abb. 1 Abbildung (nicht maßstäblich)

2.1

Zeige, dass $10,00$ Stunden nach Mitternacht die Temperatur von $18,9^{\circ}\text{C}$ erreicht wurde.
Ermittle, zu welcher Uhrzeit die niedrigste Temperatur im angegebenen Zeitraum gemessen wurde.

(4P)

2.2

Bestimme für den angegebenen Zeitraum den Zeitpunkt nach Mitternacht, an dem der Anstieg des Temperaturverlaufs am größten war.

(3P)

2.3

Ermittle für den angegebenen Zeitraum die Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25,0^{\circ}\text{C}$ betrug.

(2P)

2.4

An einem anderen Tag wurden um $07:00$ Uhr die Temperatur von $18,0^{\circ}\text{C}$ und um $12:00$ Uhr die Temperatur von $27^{\circ}\text{C}$ gemessen. Die Tageshöchsttemperatur von $30^{\circ}\text{C}$ wurde um $15:00$ Uhr erreicht. Der Temperaturverlauf kann für diesen Tag im Zeitraum von $07:00$ Uhr bis $18:00$ Uhr annähernd durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades beschrieben werden.
Ermittle eine Gleichung der Funktion $g$ .

(4P)

Die Funktion $h$ mit $h(x)=-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}$ ( $x\in{D_h}$ ) beschreibt näherungsweise die Leistung pro Fläche, die an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird.
Dabei gilt:
$x$ ...Zeitpunkt nach Sonnenaufgang (in Stunden)
$h(x)$ ...Leistung pro Fläche (in Kilowatt pro Quadratmeter) zum Zeitpunkt $x$
Zu den Zeitpunkten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs beträgt die Leistung pro Fläche null Kilowatt pro Quadratmeter.
Die Energie pro Fläche, die in einem Zeitintervall an die Erdoberfläche übertragen wird, kann durch die Integration der Leistung pro Fläche über die zeit bestimmt werden.

2.5

Ermittle die Energie pro Fläche (in Kilowattstunden pro Quadratmeter), die an diesem Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird.

(3P)

2.6

Bestimme, bis zu welchem Zeitpunkt $x=a$ ( $a\in\mathbb{R}, 0\lt a\lt 16$ ) nach Sonnenaufgang eine Energie von $7,2$ Kilowattstunden an einen Quadratmeter der Erdoberfläche abgegeben wird.

(2P)

2.7

Der Deutsche Wetterdienst gibt die Niederschlagswahrscheinlichkeit für drei aufeinander folgende Tage mit jeweils $30\;%$ an.
Ermittle unter Verwendung dieser Angabe die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A$

$B$

(4P)

2.8

Die Güte einer Wettervorhersage gibt Aufschluss darüber, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen dieser Wettervorhersage ist.
Erfahrungsgemäß beträgt die Güte einer Wettervorhersage für den kommenden Tag $90\;%$ . Es besteht die Vermutung, dass die Güte einer Wettervorhersage für den kommenden Tag gestiegen ist.
In einem Test mit $120$ zufällig ausgewählten Wettervorhersagen für den jeweils kommenden Tag soll die Nullhypothese „Die Güte einer Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt höchstens bei $90\;%$ .“ auf einem Signifikanzniveau von $5\;%$ getestet werden.
Bestimme den Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

Teil B2

2.1

$\blacktriangleright$ Temperatur $\boldsymbol{10}$ Stunden nach Mitternacht überprüfen

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $f(x)$ entnehmen, welche die Temperatur in Abhängigkeit der Stunden nach Mitternacht angibt:

$f(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst zeigen, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt. Da du die Funktion in der weiteren Aufgabe noch öfters brauchen wirst, kannst du $f(x)$ schon hier als Funktion $Y_1$ in den Taschenrechner eingeben. Anschließend kannst du dir die Wertetabelle anzeigen lassen:

Diagramm einer mathematischen Funktion mit grafischer Darstellung und Wertetabelle.

Abb. 1: Tabelle

Aus der Tabelle kannst du ablesen, dass die Funktion an der Stelle $10$ den Wert $18,9$ hat. Du kennst also den Funktionswert:

$f(10)=18,9$

Das bedeutet, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Uhrzeit, bei der die niedrigste Temperatur gemessen wurde ermitteln

In diesem Augabenteil hilft dir dein Taschenrechner. Die niedrigste Temperatur entspricht dem Tiefpunkt der Funktion $f(x)$ im Intervall $[0,18]$ . Um den Teifpunkt zu bestimmen gehst du wie folgt vor:

menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 2: Minimum

wähle zuerst eine untere und dann eine obere Schranke.

Graph einer mathematischen Funktion mit einer gekennzeichneten Stelle und einer Gleichung.

Abb. Zahl: Minimum bestimmen mit dem Taschenrechner

Mit dem Taschenrechner findest du den Tiefpunkt $T(5,22 \mid 14,73 )$ .

Die niedrigste Temperatur wurde also $5,22$ Stunden nach Mitternacht gemessen. Da $0,22$ Stunden ungefähr $13$ Minuten sind, wurde die tiefste Temperatur um $5:13$ Uhr gemessen.

2.2

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt des größten Temperaturanstiegs bestimmen

Der Zeitpunkt, an dem die Temperatur am meisten steigt entspricht der Stelle von $f$ mit der größten Steigung. Diese Stelle ist die Wendestelle von $f(x)$ . Du kannst zur Bestimmung der Wendestelle deinen Taschenrechner verwenden. Berechne zuerst die Ableitung $f‘(x)$ und bestimme anschließend mit dem GTR das Maximum von $f‘(x)$ .

Schritt 1: Bestimmen der Ableitung von $\boldsymbol{f(x)}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist:

$f‘(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Schritt 2: Bestimmen des Maximums von $\boldsymbol{f‘(x)}$

Gebe $f‘(x)$ als weitere Funktion in den Taschenrechner ein und lasse dir die Funktion mit GRAPH anzeigen. Gehe dann wie folgt vor:

menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 3:maximum

wähle wieder eine untere und eine obere Schranke.

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsen und Koordinaten.

Abb. 3: Maximum bestimmen mit dem Taschenrechner

Mit dem Taschenrechner findest du das Maximum von $H(11,31 \mid 1,79)$ . Der Anstieg des Temperaturverlaufs ist $11,31$ Stunden oder $11$ Stunden und $18,6$ Minuten nach Mitternacht am größten.

2.3

$\blacktriangleright$ Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25,0°C$ betrug ermitteln

Um die Zeitdauer zu bestimmen, in der die Temperatur über $25°C$ betrug, lässt du dir von deinem GTR $f(x)$ zusammen mit der Funktion $h(x)=25$ zeichnen. Der Bereich zwischen den Schnittpunkten der beiden Funktionen, entspricht der Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25°C$ betrug.

Graph einer Funktion mit mehreren Kurven und einer horizontalen Linie. Achsen sind beschriftet.

Abb. 4: Schnittpunkte zwischen $f(x)$ und $h(x)$

Die beiden Schnittpunkte sind $P_1(13,785 \mid 25)$ und $P_2(16,46 \mid 25)$ . Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ist

$16,46 - 13,785 =2,67$

Da die Zeitangabe in Stunden nach Mitternacht ist, beträgt die Temperatur $2,67$ Stunden oder $2$ Stunden und $40,2$ Minuten mindestens $25,0°C$ .

2.4

$\blacktriangleright$ Ermitteln der Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$

In diesem Aufgabenteil sollst du eine Gleichung einer Funktion dritten Grades $g(x)$ ermitteln, welche folgende Eigenschaften erfüllen soll:

Um $07:00$ Uhr beträgt die Temperatur $18°C$ .
Um $12:00$ Uhr beträgt die Temperatur $27,0°C$ .
Um $15:00$ Uhr beträgt die Temperatur $30,0°C$ .
Um $15:00$ wurde die Tageshöchsttemperatur erreicht.

Da der Temperaturverlauf im Zeitraum von $07:00$ Uhr bis $18:00$ Uhr angenähert werden soll,kannst du $x$ als Zeitpunkt nach $07:00$ Uhr und $g(x)$ als Temperatur zum Zeitpunkt $x$ wählen. Du kannst die vier Eigenschaften also wie folgt mathematisch ausdrücken:

$g(0)=18$
$g(5)=27$
$g(8)=30$
Die vierte Eigenschaft bedeutet, dass $g(x)$ bei $x=8$ ein Maximum besitzt. Deswegen ist $g‘(8)=0$

Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades ist:

$g(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2+ c \cdot x + d$

Du musst jetzt mit den vier Eigenschaften die Unbekannten $a, b, c$ und $d$ bestimmen. Für die vierte Eigenschaft benötigts du die Ableitung $g‘(x)$ :

$g‘(x)=3 \cdot a \cdot x^2+2\cdot b \cdot x+ c$

Mit den Eigenschaften erhältst du folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(0)&=& ...\\ \text{II}\quad&g(5)&=& ...\\ \text{III}\quad&g(8)&=& ...\\ \text{IV}\quad& g‘(8)&=& ...\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dieses Gleichungssystem kannst du vereinfachen und mithilfe deines Taschenrechners lösen:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& d\\ \text{II}\quad&27&=&a \cdot 125 +...\\ \text{III}\quad&30&=& a \cdot 512 +...\\ \text{IV}\quad& 0&=& 192\cdot a +... \\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Um dieses Gleichungssystem mit dem Taschenrechner zu lösen, verwendest du das Calculate Menü:

menu $\rightarrow$ 3: Algebra $\rightarrow$ 7: Gleichungssystem $\rightarrow$ 1: Gleichungssystem

In das Fenster gibst du die Anzahl der Unbekannten und deren Bezeichnung ein. Anschließend gibst du die Gleichungen aus deinem linearen Gleichungssystem ein:

Mathematische Gleichungen und Lösungen auf einem digitalen Bildschirm.

Abb. 5: Eingabe des LGSs

Die unbekannten Werte sind also:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& -\dfrac{7}{240}\\ b&=&\dfrac{67}{240}\\ c &=& \dfrac{17}{15} \\ d&=& 18 \end{array}$

Jetzt kannst du eine Gleichung für $g(x)$ angeben:

$g(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Das ist allerdings nicht die einzige Lösung. Wenn du zum Beispiel $x$ in Stunden nach Mitternacht angibst, kommst du zu einem anderen Gleichungssystem und damit auch zu einer anderen Lösung. Diese Lösung ist:

$g_2(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

2.5

$\blacktriangleright$ Energie pro Fläche ermitteln

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $h(x)$ für die Leistung pro Fläche entnehmen:

$h(x)=-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}$ .

Außerdem kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen, dass du die Energie pro Fläche durch Integration der Leistung pro Fläche über die Zeit bestimmen kannst. Deine untere Integrationsgrenze ist der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs und die obere Integrationsgrenze der Zeitpunkt des Sonnenunergangs. Diese zwei Zeitpunkte musst du bestimmen bevor du das Integral bilden kannst.

Schritt 1: Zeitpunkt des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs bestimmen

Da die Leistund pro Fläche zu den Zeitpunkten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs null beträgt, musst du die Nullstellen von $h(x)$ bestimmen um die gesuchten Zeitpunkte zu erhalten.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \cdot (-80)\; \\[5pt] x^2-16 \cdot x&=&0 \\ x \cdot ( x -16) &=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz von Nullprodukt weißt du, dass die erste Nullstell bei $x=0$ ist. Die zweite Nullste findest du, indem du den Ausdruck in der Klammer mit null gleichsetzt:

$\begin{array}[t]{rll} x-16&=&0 &\quad \scriptsize \mid\ 16; \\[5pt] x&=&16 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Mit dem GTR

Alternativ kannst du $h(x)$ als Funktion in den Taschenrechner eingeben und dann die Nullstellen bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:

menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 1: Nullstelle

Anschließend wählst du eine untere und eine obere Schranke und erhältet die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=16$ .

Graf einer mathematischen Funktion mit blauem Bereich und Achsen. Formeln und Werte sind sichtbar.

Abb. 6: Nullstellen bestimmen mit dem Taschenrechner

Du hast jetzt die beiden Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=16$ . Für die Aufgabe bedeutet das, dass die Sonne zum Zeitpunkt $x_1=0$ aufgeht und zum Zeitpunkt $x_2=16$ untergeht. Damit hast du die Integrationsgrenzen gefunden.

Schritt 2: Integral berechnen

Das Integral berechnest du am einfachsten mit dem Taschenrechner. Gehe wie folgt vor:

menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral

Wähle als untere Schranke die untere Integrationsgrenze $x_1=0$ und als obere Schranke die obere Integrationsgrenze $x_2=16$ .

Grafik eines Integrals mit blauer Fläche unter einer Kurve und mathematischen Berechnungen.

Abb. 7: Integralberechnung mit dem Taschenrechner

Der GTR liefert dir als Lösung:

$\displaystyle\int_{0}^{16}\; f(x) \mathrm dx = 8,53$

Die Energie pro Fläche die an diesem Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird berträgt also $8,53$ Kilowattstunden pro Quadratmeter.

2.6

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt nach dem $7,2$ kWh pro Quadratmeter abgegeben wurden

Wie du bereits aus dem letzten Aufgabenteil weißt, berechnest du die Energie pro Fläche mit dem Integral über die Leistung pro Fläche. Die untere Integrationsgrenze entspricht auch hier dem Zeitpunkt des Sonnenaufgangs $x_1=0$ . Jetzt sollst du den Zeitpunkt $x=a$ finden, zu dem die Energie pro Fläche $7,2$ Kilowattstunden beträgt. Gehe wie folgt vor:

Bestimme die Integralfunktion $\text{I}_0(a)$ .
Setze die Integralfunktion mit $7,2$ gleich und löse nach $a$ auf.

Schritt 1: Integralfunktion bestimmen

Die Integralfunktion ist eine Funktion, die den orientierten Flächeninhalt zwischen deiner Funktion $h$ und der x-Achse von $0$ bis $a$ angibt. Du berechnest die Integralfunktion indem du das Integral über $h(x)$ mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $a$ bestimmst.

$\begin{array}[t]{rll} \text{I}_0(a)&=& \displaystyle\int_{0}^{a}\;-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}\mathrm dx\\[5pt] &=&\Big[-\dfrac{x^3}{3 \cdot 80} +\dfrac{x^2}{2 \cdot 5}\Big]_0^a \\ &=&-\dfrac{a^3}{3 \cdot 80} +\dfrac{a^2}{2 \cdot 5} \\ &=& -\dfrac{a^3}{240} +\dfrac{a^2}{10} \\ \end{array}$

Jetzt hast du die Integralfunktion in Abhängigkeit von $a$ und kannst diese mit $7,2$ gleichsetzen.

Schritt 2: Berechnen von a

Um $a$ zu bestimmen, gibst du die Integralfunktion in den Taschenrechhner ein. Außerdem gibst du 7,2 als weitere Funktion in deinen Taschenrechner ein.

Die Schnittstelle der beiden Funktionen entspricht dem Wert $a$ . Also den Zeitpunkt, zu dem genau $7,2$ Kilowattstunden pro Fläche an die Erdoberfläche abgegeben wurden. Nachdem du die beiden Funktionen in den Taschenrechner eingetragen hast, gehst du wie folgt vor:

menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 4:Schnittstelle

Du musst jetzt nur noch eine untere und eine obere Schranke wählen und bekommst dann den Schnittpunkt $a=12$ .

Grafik einer mathematischen Funktion mit einer Kurve und einer horizontalen Linie.

Abb. 8: Schnittstelle mit dem Taschenrechner bestimmen

Für die Aufgabe bedeutet das, dass $12$ Stunden nach Sonnenaufgang eine Energie von $7,2$ Kilowattstunden pro Quadratmeter Erdoberfläche ebgegeben wurde.

2.7

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{A}$ berechnen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Niederschlagswahrscheinlichkeit für jeden Tag $30 \%$ beträgt. Zuerst kannst du dir die folgenden Ereignisse definieren:

$N_1:=$ $„ \text{An Tag 1 gibt es Niederschlag}“$ ,

$N_2:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$ und

$N_3:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$

Dann ist

$P(N_1)=P(N_2) =P(N_3)=0,3$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnest du dann durch:

$P(A)=0,343$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an allen drei Tagen kein Niederschlag fällt beträgt also $35,3 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{B}$ berechnen

Du sollst die Wahscheinlichkeit dafür berechnen, dass an höchstens einem der drei Tage Niederschlag fällt. Im Folgenden ist $P(\overline{N_1})=0,7$ das Gegenereignis von $N_1$ also das Ereignis, dass an Tag $1$ kein Niederschlag fällt. Es soll an höchstens einem Tag Niederschlag geben. Die Wahrscheinlichkeit für $B$ setzt sich aus vier Teilen zusammen. Die ersten drei Teile entsprechen den Wahrscheinlichkeiten, dass es an einem bestimmten der drei Tage regnet und der letzte Teil der Wahrscheinlichkeit dafür, dass es an keinem der Tage regnet.

$P(B)$

Vollständige Lösung anzeigen

Da die Wahrscheinlichkeiten für Regen an jedem Tag gleich sind, kannst du vereinfachen:

$P(B)=0,784$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an höchstens einem der drei Tage Niederschlag fällt $78,4\%$ .

2.8

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich der Nullhypothese berechnen

Stelle zuerst die Nullhypothese und die Alternative auf:

$H_0$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt höchstens bei $90\%$

$H_1$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt über $90\%$

Du kannst Nullhypothes und Alternative auch kürzer formulieren. Dafür definierst du dir $p$ als die Güte der Wettervorhersage:

$H_0 \le 0,9$

$H_1 \gt 0,9$

Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Das Signifikanzniveau von $\alpha= 0,05$ kannst du der Aufgabe entnehmen.

Du betrachtest jetzt die Zufallsvariable $X$ , welche dir die Anzahl der Tage unter den $120$ zufällig ausgewählten Tagen angibt, an den die Wettervorhersage zutreffend für den kommenden Tag war. Diese Zufallsvariable kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=120$ und $p=0,9$ angesehen werden. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für große Werte abgelehnt. Der Ablehungsbereich hat darum die Form:

$\overline{K}=[k,120]$

Du musst also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:

$P(X \ge k) \leq 0,05$

Um deinen Taschenrechner zu verwenden, musst du diese Wahrscheinlichkeit umformen:

$P(X \ge k) \le 0,05$

Vollständige Lösung anzeigen

Das entspricht:

$P(X \le k-1) \ge 0,95$

Du sollst den Wert $k$ bestimmen, sodass die Ungleichung von oben erfüllt ist. Dazu erstellst du dir mit deinem Taschenrechner eine Tabelle, welche in einer Spalte alle Werte für $k$ von $0$ bis $n$ enthält und in einer zweiten Spalte die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Wähle das List and Spreadsheet Menü gebe in die erste Spalte folgendes ein:

seq(i,i,0,120)

und in die zweite Spalte:

binomcdf(120,0.9,A)

Damit erhältst du eine Tabelle mit folgenden Werten:

Tabelle mit Berechnungen und Formeln in einer Tabellenkalkulationssoftware.

Abb. 9: Eingabe der Daten für die Binomialverteilung

Die linke Spalte zeigt dir die Werte für $k$ und die Rechte die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Wähle aus dieser Tabelle das kleinste ganzzahlige $k$ , sodass die Wahrscheinlichkeit gerade noch größer oder gleich $0,95$ ist. Der kleinste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit gerade noch größer als $0,95$ ist, ist $113$ . Die Ungleichung von der du ausgegangen bis, ist

$P(X \le k-1) \ge 0,95$ .

Außerdem hast du mithilfe der Tabelle folgendes herausgefunden:

$P(X \le 113) \ge 0,95$

Im letzten Schritt musst du beachten, dass $113$ nicht $k$ sondern $k-1$ entspricht. Damit kannst du $k$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} k-1&=&113 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] k&=&114 \end{array}$

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also

$\overline{K}=[114,120]$

In Worten ausgedrückt bedeutet das, dass die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=0,05$ verworfen wird, wenn die Wettervorhersage für den kommenden Tag an mindestens 114 Tagen zutrifft.

Bildnachweise [nach oben]

Teil B2

2.1

$\blacktriangleright$ Temperatur $\boldsymbol{10}$ Stunden nach Mitternacht überprüfen

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $f(x)$ entnehmen, welche die Temperatur in Abhängigkeit der Stunden nach Mitternacht angibt:

$f(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst zeigen, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt. Da du die Funktion in der weiteren Aufgabe noch öfters brauchen wirst, kannst du $f(x)$ schon hier als Funktion $Y_1$ in den GTR eingeben. Anschließend kannst du dir die Wertetabelle anzeigen lassen:

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit zugehörigen Werten und Diagramm.

Abb. 1: Tabelle

Aus der Tabelle kannst du ablesen, dass die Funktion an der Stelle $10$ den Wert $18,9$ hat. Du kennst also den Funktionswert:

$f(10)=18,9$

Das bedeutet, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Uhrzeit, bei der die niedrigste Temperatur gemessen wurde ermitteln

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Datenpunkten und einer Kurve.

Abb. Zahl: Minimum bestimmen mit dem GTR

Mit dem Taschenrechner findest du den Tiefpunkt $T(5,22 \mid 14,73 )$ .

Die niedrigste Temperatur wurde also $5,22$ Stunden nach Mitternacht gemessen. Da $0,22$ Stunden ungefähr $13$ Minuten sind, wurde die tiefste Temperatur um $5:13$ Uhr gemessen.

2.2

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt des größten Temperaturanstiegs bestimmen

Der Zeitpunkt, an dem die Temperatur am meisten steigt entspricht der Stelle von $f$ mit der größten Steigung. Diese Stelle ist die Wendestelle von $f(x)$ . Du kannst zur Bestimmung der Wendestelle deinen GTR verwenden. Berechne zuerst die Ableitung $f‘(x)$ und bestimme anschließend mit dem GTR das Maximum von $f‘(x)$ .

Schritt 1: Bestimmen der Ableitung von $\boldsymbol{f(x)}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist:

$f‘(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Schritt 2: Bestimmen des Maximums von $\boldsymbol{f‘(x)}$

Gebe $f‘(x)$ als weitere Funktion in den Taschenrechner ein und lasse dir die Funktion anzeigen. Bestimme dann mit der Option MAX das Maximum:

Diagramm einer mathematischen Funktion mit grafischer Analyse und Wertdarstellung.

Abb. 3: Maximum bestimmen mit dem GTR

Mit dem Taschenrechner findest du das Maximum von $H(11,31 \mid 1,79)$ . Der Anstieg des Temperaturverlaufs ist $11,31$ Stunden oder $11$ Stunden und $18,6$ Minuten nach Mitternacht am größten.

2.3

$\blacktriangleright$ Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25,0°C$ betrug ermitteln

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Schnittpunkten und Analysewerkzeugen.

Abb. 4: Schnittpunkte zwischen $f(x)$ und $h(x)$

Die beiden Schnittpunkte sind $P_1(13,785 \mid 25)$ und $P_2(16,46 \mid 25)$ . Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ist

$16,46 - 13,785 =2,67$

Da die Zeitangabe in Stunden nach Mitternacht ist, beträgt die Temperatur $2,67$ Stunden oder $2$ Stunden und $40,2$ Minuten mindestens $25,0°C$ .

2.4

$\blacktriangleright$ Ermitteln der Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$

In diesem Aufgabenteil sollst du eine Gleichung einer Funktion dritten Grades $g(x)$ ermitteln, welche folgende Eigenschaften erfüllen soll:

Um $07:00$ Uhr beträgt die Temperatur $18°C$ .
Um $12:00$ Uhr beträgt die Temperatur $27,0°C$ .
Um $15:00$ Uhr beträgt die Temperatur $30,0°C$ .
Um $15:00$ wurde die Tageshöchsttemperatur erreicht.

$g(0)=18$
$g(5)=27$
$g(8)=30$
Die vierte Eigenschaft bedeutet, dass $g(x)$ bei $x=8$ ein Maximum besitzt. Deswegen ist $g‘(8)=0$

Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades ist:

$g(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2+ c \cdot x + d$

Du musst jetzt mit den vier Eigenschaften die Unbekannten $a, b, c$ und $d$ bestimmen. Für die vierte Eigenschaft benötigts du die Ableitung $g‘(x)$ :

$g‘(x)=3 \cdot a \cdot x^2+2\cdot b \cdot x+ c$

Mit den Eigenschaften erhältst du folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(0)&=& ...\\ \text{II}\quad&g(5)&=& ...\\ \text{III}\quad&g(8)&=& ...\\ \text{IV}\quad& g‘(8)&=& ...\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dieses Gleichungssystem kannst du vereinfachen und mithilfe deines Taschenrechners lösen:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& d\\ \text{II}\quad&27&=&a \cdot 125 +...\\ \text{III}\quad&30&=& a \cdot 512 +...\\ \text{IV}\quad& 0&=& 192\cdot a +... \\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Um dieses Gleichungssystem mit dem Taschenrechner zu lösen, verwendest du das Calculate Menü:

keyboard $\rightarrow$ Math1

In das Fenster gibst du die Anzahl der Unbekannten und deren Bezeichnung ein. Anschließend gibst du die Gleichungen aus deinem linearen Gleichungssystem ein:

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem interaktiven Programm.

Abb. 5: Eingabe des LGSs

Die unbekannten Werte sind also:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& -\dfrac{7}{240}\\ b&=&\dfrac{67}{240}\\ c &=& \dfrac{17}{15} \\ d&=& 18 \end{array}$

Jetzt kannst du eine Gleichung für $g(x)$ angeben:

$g(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$g_2(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

2.5

$\blacktriangleright$ Energie pro Fläche ermitteln

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $h(x)$ für die Leistung pro Fläche entnehmen:

$h(x)=-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}$ .

Schritt 1: Zeitpunkt des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs bestimmen

Da die Leistund pro Fläche zu den Zeitpunkten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs null beträgt, musst du die Nullstellen von $h(x)$ bestimmen um die gesuchten Zeitpunkte zu erhalten.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \cdot (-80)\; \\[5pt] x^2-16 \cdot x&=&0 \\ x \cdot ( x -16) &=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz von Nullprodukt weißt du, dass die erste Nullstell bei $x=0$ ist. Die zweite Nullste findest du, indem du den Ausdruck in der Klammer mit null gleichsetzt:

$\begin{array}[t]{rll} x-16&=&0 &\quad \scriptsize \mid\ 16; \\[5pt] x&=&16 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Mit dem GTR

Alternativ kannst du $h(x)$ als Funktion in den GTR eingeben und dann die Nullstellen bestimmen. Gib dazu die Funktion $h$ in deinen Taschenrechner ein und verwende die Option $Y=0$ .

Damit erhältst du die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=16$ .

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Koordinaten.

Abb. 6: Nullstellen bestimmen mit dem GTR

Schritt 2: Integral berechnen

Das Integral berechnest du am einfachsten mit dem Taschenrechner. Gehe wie folgt vor:

Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\int dx$

Wähle als untere Schranke die untere Integrationsgrenze $x_1=0$ und als obere Schranke die obere Integrationsgrenze $x_2=16$ .

Diagramm einer Funktion mit beschrifteten Achsen und einem hervorgehobenen Bereich.

Abb. 7: Integralberechnung mit dem Taschenrechner

Der GTR liefert dir als Lösung:

$\displaystyle\int_{0}^{16}\; f(x) \mathrm dx = 8,53$

Die Energie pro Fläche die an diesem Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird berträgt also $8,53$ Kilowattstunden pro Quadratmeter.

2.6

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt nach dem $7,2$ kWh pro Quadratmeter abgegeben wurden

Bestimme die Integralfunktion $\text{I}_0(a)$ .
Setze die Integralfunktion mit $7,2$ gleich und löse nach $a$ auf.

Schritt 1: Integralfunktion bestimmen

Jetzt hast du die Integralfunktion in Abhängigkeit von $a$ und kannst diese mit $7,2$ gleichsetzen.

Schritt 2: Berechnen von a

Um $a$ zu bestimmen, gibst du die Integralfunktion in den Taschenrechhner ein. Außerdem gibst du 7,2 als weitere Funktion in deinen Taschenrechner ein.

Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Intersection

Der Schnittpunkt liegt bei $a=12$ .

Graphische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Achsen und einem Schnittpunkt.

Abb. 8: Schnittstelle mit dem Taschenrechner bestimmen

Für die Aufgabe bedeutet das, dass $12$ Stunden nach Sonnenaufgang eine Energie von $7,2$ Kilowattstunden pro Quadratmeter Erdoberfläche ebgegeben wurde.

2.7

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{A}$ berechnen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Niederschlagswahrscheinlichkeit für jeden Tag $30 \%$ beträgt. Zuerst kannst du dir die folgenden Ereignisse definieren:

$N_1:=$ $„ \text{An Tag 1 gibt es Niederschlag}“$ ,

$N_2:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$ und

$N_3:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$

Dann ist

$P(N_1)=P(N_2) =P(N_3)=0,3$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnest du dann durch:

$P(A)=0,343$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an allen drei Tagen kein Niederschlag fällt beträgt also $35,3 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{B}$ berechnen

$P(B)$

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Da die Wahrscheinlichkeiten für Regen an jedem Tag gleich sind, kannst du vereinfachen:

$P(B)=0,784$

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Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an höchstens einem der drei Tage Niederschlag fällt $78,4\%$ .

2.8

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich der Nullhypothese berechnen

Stelle zuerst die Nullhypothese und die Alternative auf:

$H_0$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt höchstens bei $90\%$

$H_1$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt über $90\%$

Du kannst Nullhypothes und Alternative auch kürzer formulieren. Dafür definierst du dir $p$ als die Güte der Wettervorhersage:

$H_0 \le 0,9$

$H_1 \gt 0,9$

Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Das Signifikanzniveau von $\alpha= 0,05$ kannst du der Aufgabe entnehmen.

$\overline{K}=[k,120]$

$P(X \ge k) \leq 0,05$

Um deinen Taschenrechner zu verwenden, musst du diese Wahrscheinlichkeit umformen:

$P(X \ge k) \le 0,05$

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Das entspricht:

$P(X \le k-1) \ge 0,95$

Du sollst den Wert $k$ bestimmen, sodass die Ungleichung von oben erfüllt ist. Wähle dafür das Spreadsheet Menü deines Taschenrechnert und gehe dann wie folgt vor:

Calc $\rightarrow$ Distribution $\rightarrow$ Inv. Distribution $\rightarrow$ Inverse Binomial CD $\rightarrow$ Next

Im nächsten Schritt musst du die Werte aus der Aufgabe eingeben:

Eingabemaske mit Werten für Wahrscheinlichkeit, Anzahl der Versuche und positiver Wert. Schaltflächen für Navigation.

Abb. 9: Eingabe der Werte

Dein Taschenrechner liefert die folgende Werte:

Eingabefeld mit Werten für xlnv, prob, Numtrial und pos in einer Softwareanwendung.

Abb. 10: Ausgabe des Taschenrechners

Der kleinste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit gerade noch größer als $0,95$ ist, ist $113$ . Die Ungleichung von der du ausgegangen bis, ist

$P(X \le k-1) \ge 0,95$ .

Außerdem hast du mithilfe der Tabelle folgendes herausgefunden:

$P(X \le 113) \ge 0,95$

Im letzten Schritt musst du beachten, dass $113$ nicht $k$ sondern $k-1$ entspricht. Damit kannst du $k$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} k-1&=&113 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] k&=&114 \end{array}$

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also

$\overline{K}=[114,120]$

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