Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Welchen Anstieg besitzt der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\cdot x+4} (x\in \mathbb{R})$ an der Stelle $x=0?$

	$2\cdot \mathrm{e}^4$
	$\mathrm{e}^4$
	$\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^4$
	$2 \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$
	$\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^\frac{1}{2}$

1.2

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f.$
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

Grafik eines Funktionsverlaufs im Koordinatensystem mit Achsen und einem Verlauf.

1.3

Für welchen Wert von $a$ ist der Vektor $\pmatrix{a\\3\\4}$ senkrecht zum Vektor $\pmatrix{2\\-a\\1}$ ?

	$a =-4$
	$a=- \dfrac{4}{5}$
	$a=0$
	$a= \dfrac{5}{4}$
	$a=4$

1.4

Welche Ebene $E$ teilt die dargestellte quadratische Pyramide in zwei volumengleiche Teile?

	$E: x=2,5$
	$E: y= 2,5$
	$E: z=1,5$
	$E: x-z=0$
	$E: x-y=0$

Grafik eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit den Achsen x, y und z. Punkte und Linien sind dargestellt.

1.5

In einer Tüte befinden sich $10$ Gummibärchen: $5$ orange, $3$ gelbe und $2$ rote. Es werden nacheinander $2$ Gummibärchen ohne Zurücklegen zufällig entnommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Gummibärchen die gleiche Farbe besitzen, kann mit folgendem Term berechnet werden:

	$\left(\displaystyle \frac{5}{10}\right)^{2}+\left(\displaystyle\frac{3}{10}\right)^{2}+\left(\displaystyle\frac{2}{10}\right)^{2}$
	$\displaystyle \frac{5}{10}.\frac{4}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}$
	$\displaystyle \frac{5}{10}.\frac{4}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{9}+\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}$
	$\displaystyle \frac{5}{10}.\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}$
	$\pmatrix{10\\2}\cdot\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{10}$

Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 05

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}-12\cdot x+16.$

2.1

Zeige, dass $-2$ und $2$ die Extremstellen von $f$ sind.

(3 BE)

2.2

Begründe, dass die $x$ -Achse den Graphen von $f$ in genau einem Punkt berührt.

(2 BE)

Der Graph einer quadratischen Funktion $f$ verläuft durch den Koordinatenursprung.

Die Tangente an diesen Graphen im Punkt $(2\mid f(2))$ hat die Gleichung $y=4\cdot x-2.$

Bestimme eine Funktionsgleichung von $f.$

(5 BE)

ln einem kartesischen Koordinatensystem ist die Gerade

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\2}+k\cdot\pmatrix{0\\1\\1}$ mit $k\in \mathbb{R}$ gegeben.

4.1

Beschreibe die besondere Lage von $g$ in diesem Koordinatensystem.

(1 BE)

4.2

Ermittle eine Gleichung der Ebene, die den Punkt $P(1\mid -3\mid 5)$ enthält und die Gerade $g$ senkrecht schneidet.

(2 BE)

4.3

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ mit der $x-z-$ Ebene.

(2 BE)

Betrachtet werden die binomialverteilten Zufallsgrößen $X_{1}$ und $X_{2}.$

5.1

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X_{1}$ hat die Parameter $n_{1}=4$ und $p_{1}$ sowie den Erwartungswert $2$ .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(X_{1}=4)$ .

(2 BE)

5.2

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X_{2}$ hat die Parameter $n_{2}$ und $p_2 =0,2.$
Formuliere dazu eine Aufgabenstellung, die sich mithilfe des Ansatzes $1-0,8^{n_{2}}\gt 0,9$ lösen lässt.

(3 BE)

Lösung 1

1.1

Der Anstieg des Graphen von $f$ wird durch die erste Ableitung $\(f$ beschrieben. Mit der Kettenregel folgt:

$\(f$

Einsetzen von $x=0$ liefert:

$\(f$

Die dritte Antwortauswahl ist somit die richtige.

1.2

Die erste Ableitungsfunktion $\(f$ beschreibt den Anstieg des Graphen von $f.$

$\(f$ ist die richtige Antwort, da der Graph von $f$ an der Stelle $x=1$ ansteigt und an der Stelle $x=2$ einen Hochpunkt besitzt, sodass hier die Steigung $0$ beträgt.

1.3

Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist, d.h.

$\pmatrix{a\\3\\4} \circ \pmatrix{2\\-a\\1} \, = 0$ .

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2a-3a+4 &=& 0 \\[5pt] -a +4 & = & 0 & \quad \scriptsize \mid \; +a\\[5pt] 4&=& a \end{array}$

Für $a=4$ stehen die Vektoren senkrecht zueinander.

1.4

Die Ebene mit der Gleichung $E: x-y =0$ teilt die Pyramide in der grün markierten Fläche.

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Die letzte Antwort $E: \; x-y=0$ ist also richtig.

1.5

Mit den Pfadregeln ergibt sich folgender Term:

$P(2\text{ mal orange}) + P(2\text{ mal gelb})$ $+ P(2\text{ mal rot})$ $= \dfrac{5}{10}\cdot \dfrac{4}{9} + \dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{9}$

Die zweite Antwortmöglichkeit ist also richtig.

Lösung 2

2.1

Bilden der ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f:$

$\(f$

Anwenden des notwendigen Kriteriums für Extremstellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Überprüfen des hinreichenden Kriteriums für Extremstellen:

$\(f$

$-2$ und $2$ sind die einzigen Stellen, die sowohl das notwendige Kriterium, als auch das hinreichende Kriterium für Extremstellen erfüllen. Sie sind also die Extremstellen von $f.$

2.2

Die x-Achse kann den Graphen von $f$ nur in Extrempunkten berühren. Andernfalls würde sie den Graphen schneiden. Wegen Aufgabe 2.1 besitzt der Graph von $f$ genau zwei Extrempunkte.
Für die y-Koordinaten gilt:

$f(-2)= (-2)^3 -12\cdot (-2) +16 = 32$

$f(2)= 2^3 -12\cdot 2 +16 = 0$

Die x-Achse berührt den Graphen von $f$ also nur im Punkt $(2\mid 0).$

Lösung 3

Die Gleichung einer quadratischen Funktion hat die Form $f(x)=ax^2 +bx+c.$

Da $f$ durch den Koordinatenursprung verläuft, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0 & \\[5pt] a \cdot 0^2 +b \cdot 0+c&=& 0& \\[5pt] c&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

Aus der Tangentengleichung am Punkt $(2\mid f(2))$ ergeben sich folgende Bedingungen:

$\text{I}\; : \; \; f(2)=4\cdot 2 -2=6$

$\(\text{II}: \;f$

Erste Ableitung von $f$ bilden:

$\(f$

Einsetzen von $\text{II}$ in die Ableitungsfunktion liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Durch Einsetzen von $b$ in $\text{I}$ folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& 6 & \\[5pt] a\cdot 2^2 +b\cdot 2&=& 6& \quad \scriptsize \mid\; b= 4-4a \\[5pt] 4a +2\cdot (4-4a) &=& 6 \\[5pt] 4a +8 -8a &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] -4a &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Für $b$ ergibt sich damit:

$b = 4-4\cdot \dfrac{1}{2} = 2$

Eine Funktionsgleichung von $f$ lautet also:

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2 +2x$

Lösung 4

4.1

Da der Richtungsvektor $\pmatrix{0\\1\\1}$ die $x$ -Koordinate $0$ besitzt, verläuft die Gerade $g$ parallel zur yz-Ebene.

4.2

Damit die Ebene $E$ die Gerade $g$ senkrecht schneidet, kann der Richtungsvektor von $g$ als Normalenvektor der Ebene gewählt werden: $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\1\\1}.$ Damit gilt:

$E:\, y +z = d$

Durch Einsetzen des Punktes $P$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ lässt sich $d$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} y+ z &=& d &\; \scriptsize \mid\; P(1\mid -3 \mid 5) \\[5pt] -3 +5 &=& d \\[5pt] 2 &=& d \end{array}$

Eine Gleichung der Ebene $E,$ die $g$ senkrecht schneidet und $P$ enthält, lautet:

$E:\, y+z = 2$

4.3

Eine Gleichung der $x$ - $z$ -Ebene lautet $y=0.$
Für die $y$ -Koordinate von $g$ gilt $y = 1+k.$ Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 1+k &=& 0 &\; \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] k &=& -1 \end{array}$

Einsetzen von $k = -1$ in die Geradengleichung liefert die Koordinaten des gesuchten Schnittpunkts $S:$

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{1\\ 1 \\2} -1 \cdot \pmatrix{0\\1\\1} = \pmatrix{1\\0\\1}$

Die Gerade $g$ schneidet die $x$ - $z$ -Ebene also im Punkt $S(1\mid 0\mid 1).$

Lösung 5

5.1

Für $X_1$ gilt $n_1 = 4$ und $E(X_1)=2.$
Mit der Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich $p_1$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} E(X_1)&=&n_1 \cdot p_1 \\[5pt] 2&=& 4 \cdot p_1 &\quad \scriptsize \mid :4\; \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&p_1 \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit folgt mithilfe der Formel für Binomialverteilung:

$P(X_1=4) = \pmatrix{4 \\ 4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{2} \right)^{4-4}$ $= 1 \cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^4 \cdot 1$ $= \dfrac{1}{16}$

5.2

$0,8$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $p_2= 0,2.$
Daher gilt $0,8^{n_2} = P(X_2 = 0)$ und $1-0,8^{n_2} = P(X_2 \geq 1).$

Für den Ansatz $1-0,8^{n_2}\gt 0,9$ kann eine mögliche Aufgabenstellung wie folgt lauten:

Bestimme den kleinsten Wert für $n_2,$ für den die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Treffer zu erzielen, größer als 90 % ist.