Teil B2

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(5\mid0\mid0),$ $C(5\mid4\mid 0),$ $D(0\mid4\mid 0),$ $E(0\mid0\mid 4),$ $F(5\mid0\mid 4),$ $G(5\mid3\mid 3)$ und $H(0\mid3\mid 3)$ beschrieben.

Das Viereck $EFGH$ stellt das Glasdach dar, das Viereck $ABFE$ eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die $xy$ -Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Sachsen Mathe Abi 2023 Glasdach Gebaeude Prisma

(nicht maßstäblich)

2.1

Begründe, dass das Viereck $BCGF$ ein Drachenviereck ist.

Ermittle das Verhältnis der Längen der beiden Diagonalen im Viereck $BCGF.$

Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind Innenwinkel des Drachenvierecks. Die Seiten $\overline{G C}$ und $\overline{G F}$ schließen den Winkel $\alpha$ , die Seiten $\overline{B C}$ und $\overline{G C}$ den Winkel $\beta$ ein.

Begründe, ohne die Größen von $\alpha$ und $\beta$ zu berechnen, dass gilt: $\; \beta=\dfrac{270^{\circ}-\alpha}{2}$ .

(8 BE)

2.2

Die Ebene $L,$ in der die Punkte $A,B$ und $G$ liegen, kann durch eine Gleichung der Form $r \cdot y+s \cdot z=t$ dargestellt werden.

Bestimme passende Werte für $r,s$ und $t.$

Begründe, dass die Ebene $L$ eine Symmetrieebene des Körpers $A B C D E F G H$ ist.

(6 BE)

2.3

Die Seiten des Anbaus, die aus Glas bestehen und senkrecht zum Untergrund verlaufen, sollen gereinigt werden. Die Kosten betragen $2\,€$ pro Quadratmeter zu reinigender Fläche.

Berechne die Kosten für die beidseitige Reinigung dieser Seiten.

(4 BE)

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich die Unterkante des Rollos innerhalb einer Minute gleichförmig von der oberen Kante des Daches, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Daches.

2.4

Während des Herablassens liegt die Unterkante des Rollos im Modell zu jedem Zeitpunkt auf einer Gerade.

Ermittle eine Gleichung dieser Gerade 20 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

(4 BE)

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\pmatrix{1\\-1\\-2}$ beschrieben werden.

2.5

Berechne die Größe des Winkels, unter dem das Sonnenlicht auf den Untergrund trifft.

(3 BE)

2.6

Die geschlossene Wand sowie der Schatten, den das vollständig herabgelassene Rollo auf dieser Wand erzeugt, sollen - in Form einer gesonderten zweidimensionalen Zeichnung - in der $xz$ -Ebene graphisch dargestellt werden.

Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:

$\pmatrix{x\\0\\z}=\pmatrix{0\\3\\3}+ \mu \cdot \pmatrix{1\\-1\\-2}$ liefert $\mu =3$ und damit $(3\mid0\mid-3).$

Beschreibe die Bedeutung dieses Lösungsschritts und fertige die angestrebte Zeichnung an.

(5 BE)

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2.1

Drachenviereck nachweisen

$\mid\overline{BC}\mid=\left| \pmatrix{0\\4\\0} \right|=4$

$\mid\overline{BF}\mid=\left| \pmatrix{0\\0\\4} \right|=4$

$\mid\overline{GC}\mid=\left| \pmatrix{0\\1\\-3} \right|=\sqrt{10}$

$\mid\overline{GF}\mid=\left| \pmatrix{0\\-3\\1} \right|=\sqrt{10}$

Da $\mid\overline{BC}\mid=\mid\overline{BF}\mid$ und $\mid\overline{GC}\mid=\mid\overline{GC}\mid$ gilt, ist das Viereck $BCGF$ somit ein Drachenviereck.

Verhältnis ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} \mid\overline{BG}\mid&=& \left| \pmatrix{0\\3\\3} \right|& \\[5pt] &=& \sqrt{18}& \\[5pt] &=& 3\cdot \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid\overline{CF}\mid&=& \left| \pmatrix{0\\-4\\4} \right|&\\[5pt] &=& \sqrt{32}&\\[5pt] &=& 4 \cdot \sqrt{2} \end{array}$

Das Verhältnis der Längen der beiden Diagonalen folgt also mit $\dfrac{\mid\overline{BG}\mid}{\mid\overline{CF}\mid}=\dfrac{3}{4}.$

Formel begründen

Da $\overline{BG}$ auf der Symmetrieachse des Drachenvierecks liegt und die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{BF}$ èinen rechten Winkel einschließen, folgt:

Rechenweg anzeigen

$\beta = \dfrac{270^{\circ}- \alpha}{2}$

Hilfsskizze Winkel Glashaus Drachenviereck

2.2

Werte bestimmen

Einsetzen der Koordinaten von $A$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} r\cdot 0+s\cdot 0&=& t& \\[5pt] 0&=& t \end{array}$

Durch Einsetzen der Koordinaten von $G$ folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} r\cdot 3+s\cdot 3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -3s \\[5pt] 3r&=& -3s &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] r&=& -s \end{array}$

Somit ergeben sich $t=0$ sowie beispielsweise $r=1$ und $s=-1.$

Begründung

Das Prisma $A B C D E F G H$ mit dem Drachenviereck $B C G F$ als Grundfläche ist gerade. $L$ enthält die Symmetrieachse der Grundfläche und steht senkrecht zu dieser.

2.3

Die Glaslächen $BCGF$ und $ADHE$ stehen senkrecht zum Untergrund und sind identisch.

Der Flächeninhalt beträgt jeweils:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot\mid\overline{BG}\mid\cdot \mid\overline{CF}\mid & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{2}\cdot 4\cdot \sqrt{2}& \\[5pt] &=& 12 \; \left[\,\text{m}^2\right] \end{array}$

Da die Glaswände jeweils beidseitig gereinigt werden sollen, ergeben sich die Kosten mit:

$2\cdot 2\cdot 12\cdot 2 \,€ = 96\,€$

2.4

Da die Gerade der Unterkante stets parallel zur $x$ -Achse verläuft, ergibt sich ein Richtungsvektor mit $\pmatrix{1\\0\\0}.$

Für die Strecke $\overline{FG}$ bzw $\overline{EH}$ benötigt das Rollo eine Minute.

Ein Stützvektor der Gerade nach 20 Sekunden folgt also mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{s}&=& \overrightarrow{OE}+\dfrac{1}{3}\cdot \overrightarrow{EH} & \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\4}+\dfrac{1}{3}\cdot \pmatrix{0\\3\\-1} & \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\1\\\dfrac{11}{3}} \end{array}$

Eine Gleichung der Gerade 20 Sekunden nach Beginn der Bewegung ist somit gegeben duch $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\\dfrac{11}{3}}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\0}.$

2.5

Ein Normalenvektor des Untergrunds ist beispielsweise $\pmatrix{0\\0\\1}.$

Somit ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 55^{\circ}$

2.6

$(3\mid 0\mid -3)$ ist der Schnittpunkt $S$ der Gerade durch $H$ mit dem gegebenen Richtungsvektor und der $xz$ -Ebene.

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