Teil A – Pflichtbereich

In den Teilaufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x-3)^2+2$ besitzt die Extremstelle:

	$-3$
	$0$
	$2$
	$3$
	$11$

1.2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung und hat den Hochpunkt $(2 \mid 3).$ Dann besitzt der Graph von $f$ ...

	im Punkt $(-2 \mid-3)$ einen Hochpunkt.
	im Punkt $(-2 \mid 3)$ einen Hochpunkt.
	im Punkt $(-2 \mid-3)$ einen Tiefpunkt.
	im Punkt $(-2 \mid 3)$ einen Tiefpunkt.
	keinen weiteren Extrempunkt.

1.3

Für $a \neq 0$ gilt: $\;\dfrac{a^3}{a^{-2}}=$

	$a^{-6}$
	$a^{-\frac{3}{2}}$
	$a$
	$a^5$
	$a^6$

1.4

$\lim\limits_{x\to -\infty}2^x=$

	$-\infty$
	$-2$
	$0$
	$1$
	$2$

1.5

Welches der folgenden bestimmten Integrale hat den Wert Null?

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\sin(x)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\cos(x)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x-1)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-1)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\mathrm e^x\;\mathrm dx$

(5 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 0\mid 1),$ $B(4\mid -4 \mid 2)$ und $C(-2\mid 4\mid z),$ wobei $z$ eine reelle Zahl ist.

2.1

Zeige, dass $C$ für $z=0$ auf der Geraden durch $A$ und $B$ liegt.

(3 BE)

2.2

Ermittle denjenigen Wert von $z,$ für den das Dreieck $ABC$ im Punkt $A$ rechtwinklig ist.

(2 BE)

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ besitzt die Parameter $n=5$ und $p=\dfrac{1}{2}.$

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X,$ bei der zwei Wahrscheinlichkeiten nicht dargestellt sind.

Saeulendiagramm Zufallsvariable Sachsen Mathe Abi 2024

3.1

Gib den Erwartungswert von $X$ an.

Ermittle den Wert von $P(X \gt3).$

(3 BE)

3.2

Vervollständige die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ in der Abbildung.

Begründe die Eintragungen.

(2 BE)

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1.1

	$-3$
	$0$
	$2$
	$3$
	$11$

Lösungsweg:

Ableitung bilden:

$\(f$

An der Extremstelle gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

1.2

	im Punkt $(-2 \mid-3)$ einen Hochpunkt.
	im Punkt $(-2 \mid 3)$ einen Hochpunkt.
	im Punkt $(-2 \mid-3)$ einen Tiefpunkt.
	im Punkt $(-2 \mid 3)$ einen Tiefpunkt.
	keinen weiteren Extrempunkt.

Lösungsweg:

Symmetrie zum Koordinatenursprung bedeutet, dass der Graph der Funktion $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $O(0\mid 0)$ ist und $f(-x)=-f(x)$ gilt.

Da der Punkt $(-2 \mid -3)$ diese Bedingung erfüllt, muss dieser auf dem Graphen liegen.

Aufgrund der Punktsymmetrie entspricht dieser Punkt dem Tiefpunkt des Graphen.

1.3

	$a^{-6}$
	$a^{-\frac{3}{2}}$
	$a$
	$a^5$
	$a^6$

Lösungsweg:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a^3}{a^{-2}}&=& a^3\cdot a^{-(-2)}&\\[5pt] &=& a^{3+2}&\\[5pt] &=& a^5 \end{array}$

1.4

	$-\infty$
	$-2$
	$0$
	$1$
	$2$

Lösungsweg:

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to -\infty}2^x&=& \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{2^{-x}}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2^{\lim\limits_{x\to -\infty}-x}}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2^{\lim\limits_{x\to \infty}x}}& \\[5pt] \end{array}$

Da die Exponentialfunktion $2^x$ exponentiell ansteigt, wird der Nenner für große Werte von $x$ immer größer und der Bruch nähert sich folglich dem Wert null an.

1.5

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\sin(x)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\cos(x)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x-1)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-1)\;\mathrm dx$
	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\mathrm e^x\;\mathrm dx$

Lösungsweg:

Sinus Hilfsskizze Integral Sachsen Mathe Abi

Da die Sinusfunktion durch den Ursprung verläuft und zu diesem punktsymmetrisch ist, gilt: $\displaystyle\int_{-1}^{0}\sin(x)\;\mathrm dx=-\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x)\;\mathrm dx.$

Da die Fläche unterhalb der $x$ -Achse gleich groß wie die oberhalb ist, besitzt das gesamte Integral folglich den Wert null.

2.1

Geradengleichung der Geraden, die durch $A$ und $B$ verläuft, aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}&\\[5pt] &=& \pmatrix{1\\0\\1}+t\cdot \pmatrix{3\\-4\\1} \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten von $C$ mit $z=0$ liefert:

$\pmatrix{-2\\4\\0}=\pmatrix{1\\0\\1}+t\cdot \pmatrix{3\\-4\\1}$

Aus der zweiten Zeile folgt direkt $t=-1:$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2\\4\\0}&=& \pmatrix{1\\0\\1}-1\cdot \pmatrix{3\\-4\\1}& \\[5pt] &=& \pmatrix{1-3\\0-(-4)\\1-1}& \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\4\\0} \end{array}$

Somit liegt $C$ für $z=0$ auf der Geraden durch $A$ und $B.$

2.2

Für einen rechten Winkel im Punkt $A$ muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AC}&=& 0 &\\[5pt] \pmatrix{3\\-4\\1} \circ \pmatrix{-3\\4\\z-1}&=& 0 &\\[5pt] 3\cdot (-3)+(-4)\cdot 4+1\cdot (z-1)&=& 0 &\\[5pt] -9-16+ z-1&=& 0 &\\[5pt] -26+ z&=& 0 \quad \scriptsize \mid\, +26 \\[5pt] z&=& 26 \end{array}$

3.1

Erwartungswert angeben