Teil B1

Rasenroboter können Rasenflächen selbstständig mähen. Sie arbeiten mithilfe eines Begrenzungskabels. Das Begrenzungskabel muss vorab verlegt werden, um die zu mähende Rasenfläche einzugrenzen.

Ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung $O$ (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter) wird in eine Rasenfläche gelegt. Diese Rasenfläche liegt in der $x$ - $y$ -Ebene.
Der Verlauf des Begrenzungskabels wird zwischen den Punkten $A$ und $B$ näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f$ mit

$f(x)=-0,25 \cdot x^2 + 3,95\cdot x -9,10$

$(x \in\mathbb{R};\,2,8 \leq x \leq 10,0)$ sowie durch die Strecken $\overline{BC} ,$ $\overline{CD} ,$ $\overline{DE},$ $\overline{EO}$ und $\overline{OA}$ beschrieben (siehe Abbildung).

Diagramm mit Punkten A bis E und einem Verlauf zwischen den Achsen x und y.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Es gilt: $A(2,8\mid 0,0),$ $B(10,0 \mid 5,4),$ $C(13,0 \mid 6,9),$ $D(13,0 \mid 10,0)$ und $E (0,0 \mid 14,0).$
Im Punkt $F (0,0 \mid 3,0)$ befindet sich die Ladestation des Rasenroboters.

1.1

Gib die Koordinaten des Maximumpuktes des Graphen von $f$ an.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

1.2

Die Strecke $\overline{BC}$ liegt auf einer Geraden $g$ .
Weise nach, dass $g$ durch die Gleichung $y=0,5\cdot x+0,4 \,(x\in\mathbb{R})$ beschrieben werden kann.
Die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $P (x_p \mid f(x_p))$ verläuft parallel zu $g$ .
Ermittle die $x$ -Koordinate von $P$ .

Erreichbare BE-Anzahl: 05

1.3

Ein Rasenroboter kann unter optimalen Bedingungen in einer Minute eine Fläche von $2,5\,\text{m}^2$ mähen. Dieser Rasenroboter soll die durch das Begrenzungskabel eingeschlossene Rasenfläche vollständig mähen.
Berechne die Zeit, die dieser Rasenroboter unter optimalen Bedingungen dafür benötigen würde.

Erreichbare BE-Anzahl: 05

1.4

Der Rasenroboter startet den Mähvorgang an der Ladestation im Punkt $F$ . Er fährt geradlinig in Richtung des Punktes $Q (x_Q \mid f(x_Q))$ , für den die Länge der Strecke $\overline{FQ}$ minimal ist.
Ermittle diese minimale Länge.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

1.5

Zum Auffinden der Ladestation wird für den Rasenroboter ein Suchkabel verlegt.
Das Suchkabel verläuft ab der Ladestation zunächst $3,0 \, \text {m}$ geradlinig und orthogonal zur Strecke $\overline{EO}$ bis zu einem Punkt $G$ .
Der weitere Verlauf des Suchkabels wird im Intervall $3,0 \leq x\leq 10,4$ näherungsweise durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $h$ zweiten Grades beschrieben. Die Punkte $G,$ $H(7,5\mid 9,0)$ und $M(10,4 \mid y_M)$ liegen auf dem Graphen von $h.$
Der Punkt $M$ hat, parallel zur $y$ -Achse gemessen, zu $\overline {BC}$ die gleiche Entfernung wie zu $\overline {DE}.$
Weise nach, dass gilt: $y_M=8,2.$
Bestimme eine Gleichung von $h.$

Erreichbare BE-Anzahl: 04

Aus Sicherheitsgründen sollte der Rasenroboter reagieren, wenn er auf Hindernisse trifft. Die Sensoren des Rasenroboters erkennen ein Hidnernis mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,98$ .
Wenn das Hindernis erkannt wird, setzt der Rasenroboter entweder mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,92$ seine Arbeit fort oder er bleibt stehen.
Wenn das Hindernis nicht erkannt wird, setzt der Rasenroboter entweder seine Arbeit fort oder bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,18$ stehen.

1.6

Der Rasenroboter trifft auf ein Hindernis.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Rasenroboter nach dem Hindernis seine Arbeit fortsetzt.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

1.7

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Der Rasenroboter trifft auf vier Hindernisse, setzt bei den ersten drei Hindernissen seine Arbeit fort und bleibt beim vierten Hindernis stehen.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

1.1

Mit dem CAS können die Koordinaten des Maximumpunkts wie folgt bestimmt werden:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der Taschenrecher liefert $H(7,9\mid 6,5).$

1.2

Geradengleichung nachweisen

Die Steigung $m$ der Geraden durch $B$ und $C$ kann über den Differenzenquotienten der Koordinaten von $B$ und $C$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\[5pt] &=& \dfrac{6,9 - 5,4}{13,0- 10,0} \\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$

Der zugehörige $y$ -Achsenabschnitt kann durch Einsetzen von $B$ bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x +b \quad \scriptsize \mid\; m =0,5 \\[5pt] y &=& 0,5x +b \quad \scriptsize \mid\; B(10,0\mid 5,4) \\[5pt] 5,4 &=& 0,5 \cdot 10,0 + b \\[5pt] 5,4 &=& 5+b \quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] 0,4 &=& b\\ b &=& 0,4 \end{array}$

Die Gerade $g,$ die durch $B$ und $C$ festgelegt wird, kann also durch die Gleichung $y = 0,5\cdot x +0,4$ beschrieben werden.

$\boldsymbol x$ -Koordinate ermitteln

Da die Tangente im Punkt $P(x_P \mid f(x_P)$ parallel zur Geraden $g$ verläuft, muss $\(f$ gelten.

$f(x) = -0,25x^2 +3,95x -9,10$
$\( f$

Die Gleichung $\(f$ kann nun mit dem solve-Befehl des CAS gelöst werden. Es ergibt sich $x_P=6,9.$

1.3

1. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Die Fläche lässt sich als Trapez auffassen, aus dem zwei Teilflächen mit den Flächeninhalten $A_1$ und $A_2$ herausgetrennt werden (siehe Skizze).

Es ergibt sich folgender Flächeninhalt $A_T$ für das Trapez $OSDE:$

$\begin{array}[t]{rll} A_T &=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{OE} + \overline{SD})\cdot \overline{OS} \\ &=& \dfrac{1}{2}\cdot (y_E + y_D)\cdot x_D \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (14,0 + 10,0)\cdot 13,0 \\[5pt] &=& 156,00\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$

teilb1, flächenberechnung, fläche bestimmen, integral, flächeninhalt, flächeninhalt berechnen

Skizze

Der Flächeninhalt $A_1$ ist gegeben durch $A_1 =\displaystyle\int_{2,8}^{10,0}f(x)\;\mathrm dx .$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Der CAS liefert $A_1 \approx 34,992 \,[\text{m}^2]$

Der Flächeninhalt $A_2$ des Trapezes, das $\overline{BC}$ mit der $x$ -Achse bildet, kann wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& \dfrac{1}{2}\cdot (y_c + y_b)\cdot \left(x_C-x_B \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (6,9 + 5,4)\cdot (13,0 - 10,0) \\[5pt] &=& 18,45\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$

Für den Flächeninhalt $A$ der begrenzten Fläche gilt insgesamt:

Der Rasenroboter muss also ca. $102,6\,\text{m}^2$ Rasenfläche mähen.

2. Schritt: Zeit berechnen

Der Rasenroboter kann unter optimalen Bedingungen $2,5\,\text{m}^2$ pro Minute mähen.

$\dfrac{102,6\,\text{m}^2 }{2,5 \frac{\text{m}^2}{\text{min}} }\approx 41,04 \,\text{min}$

Der Rasenroboter benötigt ca. $41$ Minuten zum Mähen der gesamten begrenzten Fläche.

1.4

$F(0,0\mid 3,0) \quad Q(x_Q\mid f(x_Q))$

Der Abstand von $F$ und $Q$ kann mit folgender Funktion $d$ beschrieben werden:

Funktion anzeigen

$d(x_Q)=\, ...$

Gesucht ist nun das Minimum von $d.$ $Q$ muss auf dem Graphen von $f$ zwischen $A$ und $B$ liegen. Es muss also $2,8\leq x_Q \leq 10,0$ gelten.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

$\text{fMin(d(x),x, 2,8 , 10,0)}$

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

$\text{fMin(d(x),x, 2,8 , 10,0)}$

Der Taschenrechner liefert $x_Q \approx 3,7.$ Die minimale Länge der Strecke $\overline{FQ}$ beträgt also ca. $3,7\,\text{m}.$

1.5

$\boldsymbol y$ -Koordinate nachweisen

Die beiden Punkte $P_1$ und $P_2,$ die auf $\overline{DE}$ bzw. $\overline{BC}$ liegen und den gleichen Abstand gemessen parallel zur $y$ -Achse zu $M$ haben, haben die gleiche $x$ -Koordinate wie $M,$ also $x=10,4.$

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{P_2}$ bestimmen

Die Strecke $\overline{BC}$ liegt auf der Geraden $g: y=0,5\cdot x+0,4.$ Für die $y$ -Koordinate von $P_2$ gilt daher:

$\begin{array}[t]{rll} y_{P_2} &=& 0,5\cdot 10,4 + 0,4 \\[5pt] &=& 5,6 \\[5pt] \end{array}$

teilb1, funktion bestimmen, funktionsgleichung aufstellen, punkt bestimmen

Skizze

2. Schritt: Geradengleichung für $\overline{DE}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} m_{DE} &=& \dfrac{y_D - y_E}{ x_D- x_E} \\[5pt] &=& \dfrac{10,0 - 14,0}{13,0-0,0} \\[5pt] &=& - \dfrac{4}{13} \\[5pt] \end{array}$

Wegen $E(0,0 \mid 14,0)$ gilt $DE:\, y = -\dfrac{4}{13}x +14,0$

3. Schritt: Koordinaten von $P_1$ bestimmen

$P_1$ hat die $x$ -Koordinate $10,4$ wie $M$ und liegt auf der Geraden $DE.$

$\begin{array}[t]{rll} y_{P_1} &=& -\dfrac{4}{13}\cdot 10,4 +14,0 \\[5pt] &=& 10,8 \end{array}$

4. Schritt: Lage von $M$ begründen

$M$ liegt genau in der Mitte zwischen $P_1(10,4\mid 10,8)$ und $P_2(10,4\mid 5,6)$ und ist damit der Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_1P_2}.$

Es gilt also $y_M=\dfrac{10,8+5,6}{2}=8,2.$

Funktionsgleichung bestimmen

Es gilt $G(3,0\mid 3,0).$

$h$ kann durch eine Gleichung der Form $h(x)= ax^2 +bx +c$ beschrieben werden.

Die folgenden drei Punkte sollen auf dem Graphen von $h$ liegen:

$G(3,0 \mid 3,0),$ $H(7,5\mid 9,0)$ und $M(10,4\mid 8,2).$

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}{lrll} \text{I}& 9a& + 3b& +c &=& 3,0 \\[10pt] \text{II}& 56,25a& +7,5b& +c &=& 9,0 \\[10pt] \text{III} &108,16a& +10,4b& +c &=& 8,2\\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

$\begin{array}{lrll} a&\approx& -0,2175\\ b&\approx& 3,6167 \\ c&\approx& -5,8928 \\ \end{array}$

Es gilt $h(x)\approx -0,2175x^2 + 3,6167x -5,8928.$

1.6

$E:$ Der Roboter erkennt das Hindernis
$F:$ Der Roboter setzt seine Arbeit fort

Mit den Pfadregeln ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P(F) &=& 0,98\cdot 0,92 + 0,02 \cdot 0,82 \\[5pt] &=& 0,918 \\[5pt] &=& 91,8\,\% \end{array}$

baumdiagramm, wahrscheinlichkeiten berechnen, pfadregeln, teil b1

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $91,8\,\%$ setzt der Rasenroboter nach dem Hindernis seine Arbeit fort.

1.7

Trifft der Roboter auf ein Hindernis, dann setzt er seine Arbeit laut Aufgabe 1.6 mit einer Wahrscheinlichkeit von $91,8\,\%$ fort. Mit der Pfadmultiplikationsregel gilt:

$0,918^3 \cdot (1-0,918) \approx 0,0634$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $6,34\,\%.$

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