Teil B2

Vor einer Hauswand befindet sich ein rechteckiges Reklameschild, welches durch einen Scheinwerfer beleuchtet wird. Der Scheinwerfer lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ modellhaft durch den Punkt $L(12\mid -4\mid 3)$ beschreiben. Die Eckpunkte des Reklameschildes werden durch die Punkte $A(4\mid 0\mid 3),$ $B(6\mid 4\mid 3),$ $C(6\mid 4\mid 5)$ und $D(4\mid 0\mid 5)$ dargestellt. Die $xy$ -Ebene beschreibt den horizontalen Untergrund, auf dem das Haus steht. Die $yz$ -Ebene beschreibt die Ebene, in der die Hauswand liegt.

2.1

Stelle den Punkt $L$ und das Rechteck $ABCD$ in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

(3 BE)

Auf der Hauswand ist der Schatten des Reklameschildes sichtbar. Der Punkt $A‘(0\mid 2\mid 3)$ stellt den zu $A$ gehörenden Eckpunkt des Schattens dar, die Punkte $C‘(0\mid 12\mid 7)$ und $D‘(0\mid 2\mid 6)$ die zu $C$ bzw. $D$ gehörenden Eckpunkte des Schattens.

2.2

Weise nach, dass der vierte Eckpunkt des Schattens durch $B‘(0\mid 12 \mid 3)$ dargestellt wird.

(3 BE)

2.3

Zeige, dass das Viereck $A‘B‘C‘D‘$ ein Trapez ist.
Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.

(5 BE)

2.4

Der Scheinwerfer kann entlang einer senkrecht zum horizontalen Untergrund verlaufenden Stange in der Höhe vershcoben und modellhaft durch den Punkt $L_h(12\mid -4\mid h)$ mit $h\in \mathbb{R}$ und $h\gt 0$ beschrieben werden.
Betrachtet werden nur diejenigen Werte von $h,$ für die der Schatten des Reklameschildes vollständig auf der Hauswand liegt.
Für jede der beiden Seiten des Schattens, die durch die linke und rechte Kante des Reklameschildes erzeugt werden, gilt folgende Aussage:

„Die Länge der Seite bleibt bei Verschiebung des Scheinwerfers unverändert.“

Weise die Gültigkeit dieser Aussage für eine der beiden betrachteten Seiten des Schattens rechnerisch nach.

(4 BE)

Erfahrungsgemäß nehmen $38\,\%$ aller Passanten dieses Reklameschild wahr. Von den Passanten, die dieses Reklameschild wahrnehmen, sind $40\,\%$ männlich.

2.5

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Passant dieses Reklameschild wahrnimmt und weiblich ist.

(2 BE)

2.6

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $250$ Passanten weniger als $100$ Passanten dieses Reklameschild wahrnehmen.

(2 BE)

2.7

Aufgrund einer besseren Verkehrsanbindung wird vermutet, dass der Anteil der Passanten, die dieses Reklameschild wahrnehmen, gestiegen ist.
In einem Test mit $120$ zufällig ausgewählten Passanten soll die Nullhypothese

„Der Anteil der Passanten, die dieses Reklameschild wahrnehmen, beträgt höchstens $38\,\%.$ “

auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(3 BE)

2.1

koordinatensystem, zeichnen, punkt, ebene, rechteck

2.2

Die Hauswand liegt laut Aufgabenstellung in der $yz$ -Ebene, welche durch die Gleichung $x=0$ beschrieben werden kann. Der Punkt $\(B$ muss als Schattenpunkt also auch in der $yz$ -Ebene und gleichzeitig auf der Geraden $g$ liegen, die durch die Punkte $L$ und $B$ verläuft.
Bestimme also den Schnittpunkt dieser Geraden mit der $yz$ -Ebene.

1. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Die Gerade durch die Punkte $L$ und $B$ kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL} + r\cdot \overrightarrow{LB} \\[5pt] &=& \pmatrix{12\\-4\\3} +r\cdot \pmatrix{-6\\8\\0} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

Setze nun die Koordinaten der Gerade $g$ in die Ebenengleichung ein:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x =12-6r \\[5pt] 12-6r &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +6r \\[5pt] 12 &=& 6r &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 2&=& r \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB$

Die Koordinaten des vierten Eckpunkts $\(B$ lauten also $\(B$

2.3

Trapezform zeigen

Bei dem Viereck handelt es sich um ein Trapez, wenn es zwei gegenüberliegende Seiten gibt, die parallel sind. Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel, wenn die zugehörigen Verbindungsvektoren der jeweiligen Eckpunkte linear abhängig sind.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{A‘D‘}&=& \pmatrix{0\\0\\3} \\[5pt] \overrightarrow{B‘C‘}&=& \pmatrix{0\\0\\4} \\[5pt] \end{array}$

trapez, flächeninhalt berechnen, skizze, vektoren, geometrie

Skizze in der $yz$ -Ebene

Es gilt also: $\overrightarrow{A‘D‘} = \dfrac{3}{4}\cdot \overrightarrow{B‘C‘}.$

Die beiden Seiten $\overline{A‘D‘}$ und $\overline{B‘C‘}$ sind also parallel, wodurch es sich bei $A‘B‘C‘D‘$ um ein Trapez handelt.

Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt eines Trapezes kaann mit der Formel $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$ berechnet. Es gilt:

$\(a=\mid \overline{A$
$\(b=\mid \overline{B$

Mithilfe der Skizze ist erkennbar, dass die Strecke $\(\overline{A$ die Höhe des Trapezes beschreibt.

$\(h=\mid \overline{A$

Insgesamt gilt: $A=\dfrac{3+4}{2}\cdot 10=35$

Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt $35\,\text{m}^2.$

2.4

Die Koordinaten der neuen Schattenpunkte $B‘_h$ und $C‘_h$ können analog zu Teil 2.2 als Schnittpunkte der $yz$ -Ebene mit den beiden Geraden durch die Punkte $L_h$ und $B$ bzw. $L_h$ und $C$ in Abhängigkeit von $h$ bestimmt werden.

1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen

Die Gerade durch die beiden Punkte $L_h$ und $B$ kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} j_h:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL_h} + t\cdot \overrightarrow{L_hB} \\[5pt] &=& \pmatrix{12\\-4\\h} +t\cdot \pmatrix{-6\\8\\3-h} \\[5pt] \end{array}$

Die Gerade durch die beiden Punkte $L_h$ und $C$ kann analog mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} k_h:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL_h} + t\cdot \overrightarrow{L_hC} \\[5pt] &=& \pmatrix{12\\-4\\h} +t\cdot \pmatrix{-6\\8\\5-h} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{B‘_h}$ bestimmen

Einsetzen der Koordinaten der Geraden $j_h$ in die Ebenengleichung $x=0$ der $yz$ -Ebene liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x = 12-6t \\[5pt] 12-6t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6t \\[5pt] 12&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] 2&=& t \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB‘_h}&=&\pmatrix{12\\-4\\h} +2\cdot \pmatrix{-6\\8\\3-h} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\12\\6-h} \end{array}$

Die Koordinaten des neuen Schattenpunkts in Abhängigkeit von $h$ lauten also $B‘_h(0\mid 12\mid 6-h).$

3. Schritt: Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{C‘_h}$ bestimmen

Einsetzen der Koordinaten der Geraden $k_h$ in die Ebenengleichung $x=0$ der $yz$ -Ebene liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x = 12-6t \\[5pt] 12-6t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6t \\[5pt] 12&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] 2&=& t \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC‘_h}&=&\pmatrix{12\\-4\\h} +2\cdot \pmatrix{-6\\8\\5-h} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\12\\10-h} \end{array}$

Die Koordinaten des neuen Schattenpunkts in Abhängigkeit von $h$ lauten also $C‘_h(0\mid 12\mid 10-h).$

4. Schritt: Länge der Seite berechnen

Mit dem Vektorbetrag folgt für die Länge der Seite $\overline{B‘_hC‘_h}:$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{B‘_hC‘_h} \right|&=& \left|\pmatrix{0\\0\\4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+4^2} \\[5pt] &=&4 \end{array}$

Die Länge der Seite $\overline{B‘_hC‘_h}$ ist also unabhängig von $h$ und beträgt $4\,\text{LE}.$ Die verändert sich mit der Verschiebung des Scheinwerfers also nicht.

2.5

R: Passant nimmt Reklameschild wahr
M: Passant ist männlich

Mit der Pfadmultiplikationsregel gilt:

$0,38\cdot 0,6 = 0,228$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $22,8\,\%$ nimmt ein Passant das Reklameschild wahr und ist weiblich.

baumdiagramm, wahrscheinlichkeiten berechnen, pfadregeln

2.6

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Passanten, die das Reklameschild wahrnehmen. $x$ ist $B_{250;0,38}$ -verteilt.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$\begin{array}[t]{rll} P(X\lt 100)&=& P(X\leq 99) \\[5pt] &\approx& 0,7223 \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $72,23\,\%$ befinden sich unter $250$ Passanten weniger als $100,$ die das Reklameschild wahrnehmen.

2.7

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen, die das Reklameschild wahrnehmen. $X$ ist $B_{120;0,38}$ -verteilt.

$H_0: p\leq 0,38$
$H_1: p\gt 0,38$

Mit einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ ist das kleinste $k$ gesucht, für das Folgendes gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_p\geq k ) &\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(X_p\leq k-1)&\leq& 0,05 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(X_p\leq k-1)&\leq& -0,95 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_p\leq k-1)&\geq& 0,95 \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_p\leq 50 ) &\approx& 0,8219 \\[5pt] P(X_p\leq 60 ) &\approx& 0,9972 \\[5pt] P(X_p\leq 55 ) &\approx& 0,9676 \\[5pt] P(X_p\leq 54 ) &\approx& 0,9518 \\[5pt] P(X_p\leq 53 ) &\approx& 0,9303 \\[5pt] \end{array}$

Es ist also $k-1\geq 54$ und damit $k\geq 55.$
Der Ablehnungsberreich der Nullhypothese ist damit gegeben durch $A=\{55;...;120\}.$

Entscheidungsregel
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens $55$ der $120$ zufällig ausgewählten Personen das Reklameschild wahrnehmen. Ansonsten wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Bildnachweise [nach oben]

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