Teil A

In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{3} \cdot x} \quad(x \in \mathbb{R}).$

Eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ lautet:

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

1.2

Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ zweiten Grades mit dem Scheitelpunkt $S(2 \mid-1).$

Welche Gleichung beschreibt die erste Ableitungsfunktion $\(f$ von $f?$

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

1.3

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{(x-4)^2} \; \; (x\in\mathbb{R}, x\neq4)$

	verläuft durch den Koordinatenursprung.
	schneidet die $x$ -Achse in zwei Punkten.
	besitzt keine Asymptote.
	hat eine waagerechte und eine senkrechte Asymptote.
	hat zwei waagerechte Asymptoten.

1.4

Betrachtet werden die in der Abbildung dargestellten Vektoren.

Welche der folgenden Gleichungen ist falsch?

	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$
	$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{d}$
	$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}$
	$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{d}$
	$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$

1.5

Die Ebene $E: 3\cdot x+4\cdot y=7$

	verläuft durch den Koordinatenursprung.
	verläuft parallel zur $z$ -Achse.
	schneidet alle drei Koordinatenachsen.
	kann auch durch die Gleichung $x+y=1$ beschrieben werden.
	verläuft parallel zur $xy$ -Ebene.

(5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten linearen Funktion $f.$

2.1

Begründe, dass $f(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x+5$ gilt.

(1 BE)

2.2

Berechne den Abstand des Koordinatenursprungs zum Graphen.

(4 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4 \cdot x^3.$

3.1

Berechne den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

3.2

Beurteile, ob die folgende Aussage richtig ist:

Für die Abbildung wurde eine Längeneinheit auf der $x$ -Achse ebenso groß gewählt wie auf der $y$ -Achse.

(3 BE)

Gegeben sind die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4\mid 0\mid 0)$ und $B(5\mid1\mid b)$ mit einer reellen Zahl $b.$

4.1

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt.

(1 BE)

4.2

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt.

Ermittle den Wert von $b.$

(4 BE)

Die Abbildung zeigt das Dreieck $A B C.$ Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

5.1

Die Ebene, in der das Dreieck $A B C$ liegt, kann durch eine Gleichung der Form $12 \cdot x+20 \cdot y+t \cdot z=60$ dargestellt werden.

Bestimme den Wert von $t$ .

(1 BE)

5.2

Für jeden Wert von $k$ mit $-3\lt k \lt 5$ wird die Pyramide $O A_k B_k C$ mit $A_k(5-k\mid 0\mid 0)$ und $B_k(0\mid 3+k\mid 0)$ betrachtet.

Bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den die Pyramide das größte Volumen hat.

(4 BE)

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1.1

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

Rechnung

Mit der Kettenregel ergibt sich:

$\(f$

1.2

	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$
	$\(f$

Lösungsweg

Aus der Verschiebung der Normalparabel um 2 Längeneinheiten in positive $x$ -Richtung und um eine Längeneinheit in negative $y$ -Richtung ergibt sich die Gleichung von $f$ mit:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& (x-2)^2-1& \\[5pt] &=& (x^2-4x-4)-1& \\[5pt] &=& x^2-4x-5 \end{array}$

Die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion folgt also durch:

$\(f$

1.3

	verläuft durch den Koordinatenursprung.
	schneidet die $x$ -Achse in zwei Punkten.
	besitzt keine Asymptote.
	hat eine waagerechte und eine senkrechte Asymptote.
	hat zwei waagerechte Asymptoten.

Lösungsweg

Die senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion $f$ ist $x=4.$

Da der Funktionsterm nur einen negativen, geraden Exponenten besitzt und keinen Summanden, welcher für eine Verschiebung in positive oder negative $y$ -Richtung sorgt, hat der Graph von $f$ eine waagerechte Asymptote, welche der $x$ -Achse entspricht.

Der Graph der Funktion $f$ hat folglich eine waagrechte und eine senkrechte Asymptote.

1.4

	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$
	$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{d}$
	$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}$
	$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{d}$
	$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$

1.5

	verläuft durch den Koordinatenursprung.
	verläuft parallel zur $z$ -Achse.
	schneidet alle drei Koordinatenachsen.
	kann auch durch die Gleichung $x+y=1$ beschrieben werden.
	verläuft parallel zur $xy$ -Ebene.

2.1

Aus der Abbildung können der $y$ -Achsenabschnitt $5$ sowie die Steigung $\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ abgelesen werden.

Einsetzen in die Geradengleichung liefert $y=\dfrac{1}{2}\cdot x+5.$

2.2

1. Schritt: Gleichung des Lots vom Koordinatenursprung auf den Graphen

$y=-\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\cdot x=-2\cdot x$

2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen

Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}\cdot x+5&=& -2\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}\cdot x\\[5pt] 5&=& -2,5\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; :-2,5\\[5pt] -2&=& x \end{array}$

$y$ -Koordinate des Lots bestimmen:

$y=-2\cdot (-2)=4$

3. Schritt: Abstand berechnen

$\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}$

Hilfsskizze

3.1

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^4-4x^3\right)\;\mathrm dx& \\[5pt] &=& \left[\dfrac{1}{5}x^5-x^4\right]_0^1& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{5}\cdot 1^5-1^4-\dfrac{1}{5}\cdot 0^5-0^4& \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{5} \; [\text{FE}]& \\[5pt] \end{array}$

3.2

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0& \\[5pt] x^4-4\cdot x^3&=& 0& \\[5pt] x^3\cdot (x-4)&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

Die Nullstellen folgen also mit $x_1=0$ und $x_2=4.$

Durch Einsetzen eines beliebigen $x$ -Wertes kann die Aussage überprüft werden:

$f(3)=3^4-4\cdot 3^3=-27$

Der Punkt des Graphen mit der $x$ -Koordinate 3 liegt nicht neunmal so weit von der $x$ -Achse entfernt wie von der $y$ -Achse.

Somit ist die Aussage falsch.

4.1

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5} & \\[5pt] &=& \pmatrix{2+s\\3\\-7+5s} \end{array}$

Alle Punkte auf $g$ haben folglich die $y$ -Koordinate $3,$ $A$ hat jedoch die $y$ -Koordinate 0.

4.2

Geradengleichung von $h$ aufstellen:

$h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{1\\1\\b}$

Gleichsetzen der beiden Geraden liefert:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{2+s\\3\\-7+5s}= \pmatrix{4+r\\r\\r\cdot b}$

Aus der zweiten Zeile folgt $r=3.$

Einsetzen in die erste Zeile ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 2+s&=& 4+3&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] s&=& 5& \end{array}$

Aus der dritten Zeile folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} -7+5\cdot 5&=& r\cdot b& \\[5pt] 18&=& 3\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 6 &=& b \end{array}$

5.1

Da der Punkt $C$ in der Ebene liegt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 12\cdot 0+20\cdot 0+t\cdot 4&=& 60 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] t&=& 15 \end{array}$

5.2

Das Volumen der Pyramide $O A_k B_k C$ kann mit folgender Formel berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot (5-k)\cdot (3+k)\right)\cdot 4& \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot (5-k)\cdot (3+k) & \\[5pt] \end{array}$

Die graphische Darstellung des Terms in Abhängigkeit von $k$ entspricht einer Parabel mit den Nullstellen $k_1=-3$ und $k_2=5.$

Aufgrund der Symmetrie folgt der Hochpunkt an der Stelle $k=1.$ Für diesen Wert hat die Pyramide somit das größte Volumen.

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