Teil B2

Die Abbildung zeigt das Gebäude eines Flughafens, in das ein kartesisches Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter) gelegt ist.

3D-Diagramm mit Punkten A, B, C, D, E und Linien in einem Koordinatensystem.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die $140,0$ Meter lange Dachkonstruktion ist aus einem halben geraden Kreiszylinder und drei geraden Prismen zusammengesetzt. Die dreieckigen Grundflächen dieser Prismen sind kongruent zueinander.
Die Seitenkanten der Prismen verlaufen parallel zur $y$ -Achse. Die Punkte $A(7\mid 0\mid 4), \, B(0\mid 0 \mid 4)$ und $C(3,5\mid 0 \mid 7,5)$ sowie $D$ und $E$ sind Eckpunkte eines der Prismen.
Der Boden des Gebäudes sowie die Startbahnen des Flughafens liegen in der $x-y$ -Ebene.

2.1

Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig und im Punkt $C$ rechtwinklig ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

2.2

Bestimme das Volumen der gesamten Dachkonstruktion.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Das Gebäude des Flughafens wird fotografiert. Die Position der Kamera dafür ist der Punkt $K \, (30\mid 20\mid 1,5)$ . Die Dachfläche $ACED$ ist eine Seitenfläche eines der dreiseitigen Prismen und liegt in der Ebene $\epsilon$ .

2.3

Zeige, dass $\epsilon$ durch die Gleichung $\epsilon: x+z=11$ dargestellt werden kann.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.4

Eine Sichtlinie verläuft von der Position der Kamera aus geradlinig zum Mittelpunkt der Dachfläche $ACED$ .
Berechne die Größe des Winkels, den diese Sichtlinie mit der Dachfläche $ACED$ einschließt.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

2.5

Hinter dem Gebäude startet ein Flugzeug. Ab einer bestimmten Höhe über der Startbahn ist die Flugzeugspitze von der Position der Kamera aus oberhalb des Gebäudes sichtbar. Im Folgenden soll diese Höhe ermittelt werden.

Begründe, dass diejenigen Punkte der Dachkonstruktion, die am höchsten über dem Boden des Gebäudes liegen, für die Ermittlung der gesuchten Höhe keine Rolle spielen.

Von der Position der Kamera aus wird die Flugzeugspitze unmittelbar oberhalb derjenigen Punkte der Dachkonstruktion sichtbar, die auf der Gerade mit der Gleichung $\overrightarrow{x}= \pmatrix{1,1\\0\\10,9}+r\cdot\pmatrix{0\\-1\\0} (r\in\mathbb{R})$ liegen. Die Spitze des startenden Flugzeugs bewegt sich entlang der Gerade mit der Gleichung $\overline{x}= \pmatrix{-60\\-990\\0}+s\cdot \pmatrix{-20\\0\\7} (s\in\mathbb{R})$ .

Ermittle die gesuchte Höhe.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Möchte eine Person an einem Flug teilnehmen, muss dafür im Voraus eine Buchung vorgenommen werden. Erfahrungsgemäß gibt es Personen mit Buchung, die nicht am Flug teilnehmen.
Für die $210$ Sitzplätze eines Flugzeugs lässt eine Fluggesellschaft deshalb mehr als $210$ Buchungen zu. Erscheinen mehr als $210$ Personen mit Buchung zu diesem Flug, so können nur $210$ von ihnen am Flug teilnehmen. Die übrigen Personen müssen abgewiesen werden.
Vereinfachend wird angenommen, dass die Anzahl der Personen mit Buchung, die am Flug auch teilnehmen, binomialverteilt ist.

2.6

Gib einen Grund dafür an, dass es sich bei dieser Annahme im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.

Erreichbare BE-Anzahl: 01

2.7

Es liegen $220$ Buchungen für die $210$ Sitzplätze für einen Flug mit diesem Flugzeug vor. Erfahrungsgemäß nehmen $90 \,\%$ aller Personen mit Buchung an diesem Flug teil.
Gib an, wie viele Personen zu erwarten sind, die mit Buchung an diesem Flug teilnehmen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
Ereignis A: Genau $200$ Personen mit Buchung nehmen an diesem Flug teil.
Ereignis B: Es muss mindestens eine Person mit Buchung abgewiesen werden.

Ereichbare BE-Anzahl: 05

2.1

Gleichschenkligkeit zeigen

Da das Dreieck $ABC$ im Punkt $C$ rechtwinklig sein soll, müssen die beiden Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ gleich lang sein.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC} &=& \left|\overrightarrow{AC} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-3,5 \\ 0 \\ 3,5 } \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3,5)^2 + 0^2 +3,5^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{24,5} \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC} &=& \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{3,5 \\ 0 \\ 3,5 } \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3,5^2 + 0^2 +3,5^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{24,5} \\[10pt] \end{array}$

Beide Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ sind also gleich lang und das Dreieck $ABC$ damit gleichschenklig.

Rechtwinkligkeit zeigen

Das Dreieck $ABC$ besitzt bei $C$ einen rechten Winkel, wenn die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ orthogonal zueinander sind, also ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{-3,5 \\ 0 \\ 3,5 } \circ \pmatrix{3,5 \\ 0 \\ 3,5 } \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Das Dreieck $ABC$ ist im Punkt $C$ also rechtwinklig.

2.2

Die Dachkonstruktion besteht insgesamt aus vier Teilen:

Ein halber Kreiszylinder mit dem Volumen $V_K$
Drei identische Prismen jeweils mit dem Volumen $V_P$

1. Schritt: Volumen des halben Kreiszylinders berechnen

Das Prisma, das direkt unter dem halben Kreiszylinder liegt, hat die gleiche Form wie das Prisma mit der Grundfläche $ABC.$ Der Durchmesser der Grundfläche des Kreiszylinders entspricht daher der Streckenlänge $\overline{AB}.$

$\begin{array}[t]{rll} d_K &=& \overline{AB} \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{AB} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-7\\0\\0} \right| \\[5pt] &=& 7\,[\text{m}] \end{array}$

Die Höhe des halben Kreiszylinders ist $h=140,0\,\text{m}.$ Mit der entsprechenden Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_K &=& \dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{7\,\text{m}}{2} \right)^2 \cdot 140,0\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 2.693,92\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Volumen eines Prismas berechnen

Mithilfe der Berechnungen aus 2.1 ergib sich für den Flächeninhalt der Grundfläche $ABC:$

$\begin{array}[t]{rll} G_{ABC} &=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BC} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{24,5} \cdot \sqrt{24,5} \\[5pt] &=& 12,25 \,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$

Die Höhe des Prismas beträgt ebenfalls $h= 140,0\,\text{m}.$ Für das Volumen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_P &=& G_{ABC} \cdot h \\[5pt] &=& 12,25 \,\text{m}^2\cdot 140,0\,\text{m} \\[5pt] &=& 1.715\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Gesamtvolumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V &=& V_K + 3\cdot V_P \\[5pt] &\approx& 2.693,92\,\text{m}^3 + 3\cdot 1.715\,\text{m}^3 & \\[5pt] &=& 7.838,92\,\text{m}^3 \end{array}$

Das gesamte Volumen der Dachkonstruktion beträgt also ca. $7.839\,\text{m}^3.$

2.3

Da die Strecke $\overline{AD}$ parallel zur $y$ -Achse verläuft, lässt sich die Ebene $\epsilon$ in Parameterform wie folgt darstellen:

Ebenengleichung anzeigen

$\epsilon : \overrightarrow{x}=\, ...$

Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren lässt sich wie folgt berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{-3,5\\0\\3,5}\times\pmatrix{0\\1\\0}=\pmatrix{-3,5\\0\\-3,5}$

Multipliziert mit $-\dfrac{1}{3,5}$ liefert dies den Normalenvektor $\pmatrix{1\\0\\1}.$ Folglich gilt $\epsilon: x+z=d.$

Einsetzen der Koordinaten von $A$ liefert schließlich die Behauptung:

$\epsilon: x+z=7+4=11$

2.4

1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen

Da das Prisma gerade ist, handelt es sich bei $ACED$ um ein Rechteck. Der Mittelpunkt dieses Rechtecks ist daher der Mittelpunkt der Diagonale $\overline{AE}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM} &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OE} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{7\\0\\4}+ \pmatrix{3,5 \\-140,0 \\7,5} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{5,25 \\ -70,0 \\ 5,75} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Sichtlinie liegt auf der Geraden $s$ durch die beiden Punkte $M$ und $K.$ Diese Gerade kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} s: \, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OK} + r\cdot \overrightarrow{KM} \\[5pt] &=& \pmatrix{30\\20\\1,5} + r\cdot \pmatrix{-24,75 \\ -90 \\ 4,25} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Größe des Schnittwinkels berechnen

Der gesuchte Winkel entspricht dem Schnittwinkel $\alpha$ der Geraden $s$ und der Ebene $\epsilon.$ Mithilfe der zugehörigen Formel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{20,5}{\sqrt{17\,461,25}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 8,9^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Die Sichtlinie schließt mit der Dachfläche $ACED$ einen Winkel mit einer Größe von ca. $8,9^{\circ}$ ein.

2.5

Begründen, dass Höhe keine Rolle spielt

Die Sichtlinie der Kamera in dem Moment, in dem sie die Flugzeugspitze erfassen kann, verläuft entlang einer Geraden. Diese Gerade berührt die Dachkonstruktion in einem Punkt tangential.
Um die halbzylinderförmige Dachkonstruktion in ihrem höchsten Punkt zu berühren, müsste die Gerade waagerecht verlaufen. Da die Position der Kamera aber die $z$ -Koordinate $1,5$ besitzt, liegt sie deutlich unter der höchsten Stelle des Dachs, wodurch diese Gerade nicht waagerecht verlaufen kann.
Der Punkt, in dem die Sichtlinie die Dachkonstruktion tangiert, ist also keiner der Punkte, die am höchsten über dem Boden des Gebäudes liegen, sondern ein anderer Punkt der Dachkonstruktion. Daher spielt die Höhe der höchsten Punkte keine Rolle bei der Ermittlung der gesuchten Höhe.

Gesuchte Höhe ermitteln

Zunächst wird die Gleichung der Ebene $E$ bestimmt, in der die Gerade $\overrightarrow{x}$ und der Punkt $K$ liegen.

Rechenweg anzeigen

$E: \overrightarrow{x}=\, ...$

$\overrightarrow{b}$ beschreibt dabei den Verbindungsvektor zwischen dem Punkt $K$ und dem Stützvektor der Geraden $\overrightarrow{x}.$

Die $z$ -Koordinate des Schnittpunkts von $E$ mit der Geraden $\overline{x}$ liefert dann die gesuchte Höhe.

Der Taschenrechner liefert $S(-1303,8 \mid -990 \mid 435,3).$ Die gesuchte Höhe beträgt also ungefähr $435\,\text{m}.$

2.6

Geht man vereinfachend von einer Binomialverteilung aus, so geht man davon aus, dass jede Person mit einer Buchung unabhängig von den übrigen Personen mit Buchung am Flug teilnimmt. Die Entscheidung, am Flug teilzunehmen, fällt aber in der Realität nicht unbedingt unabhängig von anderen Personen (z.B. Familien oder Freundesgruppen).

2.7

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die zufällige Anzahl der Personen mit Buchung, die tatsächlich am Flug teilnehmen. $X$ ist $B_{220;0,9}$ -verteilt.

Erwartete Anzahl der teilnehmenden Personen angeben

Der Erwartungswert lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} E(X) &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 220 \cdot 0,9 \\[5pt] &=& 198 \\[5pt] \end{array}$

Es sind $198$ Personen mit Buchung zu erwarten, die tatsächlich am Flug teilnehmen.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mithilfe der Formel für die Binomialverteilung folgt für Ereignis $A:$

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X= 200) \\[5pt] &=& \pmatrix{220\\200}\cdot 0,9^{200} \cdot 0,1^{20} \\[5pt] &\approx& 0,084 \\[5pt] &=& 8,40\,\%\\[5pt] \end{array}$

Für Ereignis $B$ kann der CAS verwendet werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& P(X\geq 211) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,0010 \\[5pt] &=& 0,1\,\% \end{array}$

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