Wahlteil B

Aufgabe 1

Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 8,0 cm und 6,0 cm werden aneinandergelegt. $R$ und $T$ sind Mittelpunkte der Diagonalen, $S$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}.$

(Skizze nicht maßstäblich)

Berechne die Länge des Streckenzuges $\overline{ARSTB}$ und die Größe des Winkels $\alpha.$

(5 P)

Die Abbildung zeigt eine vereinfachte Darstellung einer Hängematte, die zwischen zwei Bäumen befestigt ist. Der Abstand der beiden Bäume beträgt 8 m.

Grafische Darstellung einer gekrümmten Linie mit zwei Punkten, jeweils 1,20 m hoch.

Die Hängematte hat die Form einer Parabel. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Parabel.
Wenn die Parabel mit der Gleichung $y=0,15x^2$ beschrieben werden soll und die Hängematte in der gleichen Höhe an den Bäumen befestigt werden soll, wie weit müssten dann die Bäume auseinander stehen?

(5 P)

Aufgabe 2

Aus einem großen Zylinder ist ein weiterer schmalerer Zylinder herausgefräst worden.

Es gilt:

$x=5,5\,\text{cm}$
$d=16\,\text{cm}$
$h=12\,\text{cm}$

Berechne die Oberfläche des Körpers.

Diagramm eines Zylinders mit Durchmesser, Höhe und innerem Zylinder.

(5 P)

Gegeben ist die Parabel $p_1$ mit der Gleichung $y=x^2-4x+2.$ Diese Parabel wird um zwei Einheiten nach links und um vier Einheiten nach oben verschoben. Dabei entsteht die Parabel $p_2.$

Durch den Schnittpunkt $P$ der Parabeln verläuft eine zur $x$ -Achse parallele Gerade $g.$
Gib deren Gleichung an.
Berechne den Abstand von $P$ zum Scheitelpunkt $S_1$ der Parabel $p_1.$

(5 P)

Aufgabe 3

Das abgebildete Glücksrad mit den Mittelpunktswinkeln 60 $^\circ$ , 180 $^\circ$ und 120 $^\circ$ ist mit den Zahlen 50, 30 und 7 beschriftet und wird zweimal gedreht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man Zahlen, die zusammen genau 80 ergeben?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe kleiner als 80 ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe größer als 14 ist?

Kreisdiagramm mit den Zahlen 7, 30 und 50, gekennzeichnet durch einen Zeiger.

(5 P)

Gegeben sind die Gerade $g$ mit $y=-2x+4$ und die Parabel $p$ mit $y=x^2-9x+14.$

Berechne die Koordinaten der gemeinsamen Punkte $P_1$ und $P_2$ der Geraden und der Parabel.
Der Punkt $A(4\mid y_p)$ liegt auf der Parabel $p$ und bildet zusammen mit den Punkten $P_1$ und $P_2$ ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

(5 P)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung 1

Länge des Streckenzugs $\overline{ARSTB}$ berechnen

Streckenzug Realschule Baden-Württemberg Musterprüfung

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AS}$ berechnen

$\overline{AS}=\dfrac{8\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}=\dfrac{14\,\text{cm}}{2}=\underline{ 7\,\text{cm}}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AR}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AR}^2&=& (4 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AR}&=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 5,66 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{RS}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{RS}^2&=& (4 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{RS}&=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 5 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{ST}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{ST}^2&=& (3 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{ST}&=& \sqrt{(3 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 5 \,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\overline{TB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{TB}^2&=& (3 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{TB}&=& \sqrt{(3 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 4,24 \,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Gesamten Streckenzug $\overline{ARSTB}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{\text{ARSTB}} = 19,9 \,\text{cm}$

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

wahlteil b streckenzug loesung 2 strecke

1. Schritt: Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma)&=& \dfrac{3\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\\[5pt] \gamma&=& \underline{ 36,9^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\beta$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{4\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\\[5pt] \beta&=& \underline{ 53,1^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 180^{\circ} -\gamma - \beta &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=& 180^{\circ} -36,9^{\circ} - 53,1^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 90^{\circ}}} \end{array}$

Funktionsgleichung der Parabel berechnen

wahlteil b koordinatensystem parabel strecke

Punkt $P (4\mid 1,2)$ in die allgemeine Parabelgleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} p:y&=& a\cdot x^2 \\[5pt] 1,2 &=& a\cdot 4^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4^2 \\[5pt] a &=& \dfrac{1,2}{4^2} = 0,075 \end{array}$

$\underline{\underline{ p:y=0,075x^2 }}$

Wie weit müssten die Bäume dann auseinander stehen?

$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,15x^2 \quad \scriptsize \mid\; y=1,2 \\[5pt] 1,2&=&0,15x^2 \quad \scriptsize \mid\; :0,15 \\[5pt] 8&=& x^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&2,83 \\[5pt] x_2&=& -2,83 \end{array}$

$\overline{AB}= 2\cdot 2,83$ $= 5,66$

Der Abstand zwischen den beiden Bäumen beträgt $\underline{\underline{ 5,66\,\text{m}}}.$

Lösung 2

1. Schritt: Oberfläche des großen Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\,\text{großer Zyl.}}&=& 2 \pi \cdot r_{\,\text{groß}} \cdot (r_{\,\text{groß}} + h) \\[5pt] &=& 2 \pi \cdot \frac{16}{2} \cdot (\frac{16}{2} + 12) \\[5pt] &= & \underline{ 1005,31\,\text{cm}^2} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Deckfläche des kleinen Zylinders berechnen

$r_{\,\text{klein}}= \dfrac{16-5,5-5,5}{2}$ $= 2,5$

$\begin{array}[t]{rll} D_{\,\text{kleiner Zyl.}}&=& \pi \cdot r_{\,\text{klein}}^2\\[5pt] &=& \pi \cdot 2,5^2 \\[5pt] &= & \underline{ 19,63\,\text{cm}^2} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Mantelfläche des kleinen Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\,\text{kleiner Zyl.}}&=& 2 \cdot \pi \cdot r_{\,\text{klein}} \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 2,5 \cdot 12 &\quad \scriptsize \\[5pt] &= & \underline{ 188,50\,\text{cm}^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Oberfläche des gesamten Körpers berechnen

Rechenweg anzeigen

$O_{\,\text{Körper}}= 1\,155 \,\text{cm}^2$

Gleichung von $g$ angeben

1. Schritt: $p_1$ in Scheitelpunktform umrechnen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-4x+ 2\\[5pt] &=&x^2 -4x+4-4+2\\[5pt] &=&(x-2)^2-4+2 \\[5pt] y&=&(x-2)^2-2 \end{array}$

2. Schritt: $p_1$ verschieben, um $p_2$ zu bestimmen

$p_1$ um zwei Einheiten nach links verschieben: $(x-2+2)^2-2 = x^2-2$

$p_2$ um vier Einheiten nach oben verschieben: $x^2-2+4 = x^2+2$

Es folgt $\underline{ p_2: y= x^2+2}$

3. Schritt: Schnittpunkt $P$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& p_2 \\[5pt] x^2-4x+2&=& x^2+2\quad \scriptsize \mid\; -x^2\\[5pt] -4x +2 &=& 2 \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] -4x &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] x &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

$x=0$ in eine Gleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0^2+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 2 \end{array}$

Es folgt $P (0 \mid 2).$

4. Schritt: Gleichung von $g$ aufstellen

Da die Gerade $g$ parallel zur $x$ -Achse ist, lautet die Gleichung $\underline{\underline{ g:y=2}}.$

Abstand von $P$ zum Scheitelpunkt $S_1$ der Parabel $p_1$ berechnen

$P(0\mid 2),\quad S_1(2\mid -2)$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{PS_1} &=& \sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{(2-0)^2+(-2-2)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 4,5 \,\text{LE}}} \end{array}$

Lösung 3

$P(30)= \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{2}$

$P(7)= \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{3}$

$P(50)= \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{2}{3} =\dfrac{1}{6}$

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man Zahlen, die zusammen genau 80 ergeben?

$\begin{array}[t]{rll} P(80)&=& \left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{2} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} = \underline{\underline{ 16,7\,\%}} \end{array}$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe kleiner als 80 ist?

Rechenweg anzeigen

$P (\,\text{kleiner als }80) = \underline{\underline{ \dfrac{29}{36}}}$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe größer als 14 ist?

Rechenweg anzeigen

$P (\,\text{größer als }14) =\dfrac{8}{9}$

Koordinaten der gemeinsamen Punkte $P_1$ und $P_2$ berechnen

Schnittpunkte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x^2-9x+14&=& -2x+4\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] x^2-9x+10 &=& -2x\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt] x^2-7x+10 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=& \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-7}{2}\right)^2-10} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2} &=& \dfrac{7}{2}\pm \dfrac{3}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1 &=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& 2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& -2\cdot 5+4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=& -10 +4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=& -6 \end{array}$

Es folgt $\underline{\underline{ P_1(5\mid -6)}}.$

$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& -2\cdot 2+4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=& -4+4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2 &=& 0 \end{array}$

Es folgt $\underline{\underline{ P_2(2\mid 0)}}.$

Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

1. Schritt: $y$ -Koordinate von Punkt $A$ berechnen

$x=4$ einsetzen in Parabelgleichung $p:$

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4^2-9\cdot 4+14 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 16-36+14 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -6 \end{array}$

Es gilt $\underline{ A(4\mid -6)}.$

2. Schritt: Flächheninhalt bestimmen

wahlteil b flächeninhalt dreieck höhe strecke

$A_{\,\text{Dreieck}}= \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Grundseite $g:$ Durch Ablesen ergibt sich $\overline{AP_1}=1\,\text{LE}$
Höhe $h:$ Durch Ablesen ergibt sich für $\overline{HP_2}= 6\,\text{LE}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{\,\text{Dreieck}}&=& \frac{1}{2}\cdot 1\,\text{LE}\cdot 6\,\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 3 \,\text{FE}}} \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?