Pflichtteil A2

Aufgabe 1

Im rechtwinkligen Dreieck $A B C$ gilt:

$\begin{aligned} \overline{AC} &=9,5 \mathrm{~cm} \\ \alpha &=40,0^{\circ} \\ \overline{BC} &=\overline{BD} \end{aligned}$

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Berechne den Umfang des Dreiecks $ADC.$

(4 P)

Aufgabe 2

$1000$ Wachskugeln werden eingeschmolzen. Sie haben jeweils einen Radius von $1,5\,\text{cm}.$
Mit diesem eingeschmolzenen Wachs werden quadratische Pyramiden gegossen.
Dazu wird die abgebildete Gussform verwendet. Diese wird vollständig mit Wachs gefüllt.

Es gilt:

$\begin{aligned} a_w&=10,0\,\text{cm}\,(\text {Grundkante Würfel}) \\ s &=9,0\,\text{cm} \\ t &=1,0\,\text{cm} \end{aligned}$

Wie viele solcher Pyramiden können mit dem eingeschmolzenen Wachs gegossen werden?

(3,5 P)

Aufgabe 3

Löse die Gleichung.

$(x+2)(x-4)-x=2(x-3)^{2}-12$

(3 P)

Aufgabe 4

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt einer verschobenen Normalparabel $p.$

Bestimme die Funktionsgleichung von $p.$

Die Wertetabelle gehört zur Parabel $p.$

$\color{#ffffff}{x}$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
$\color{#ffffff}{y}$

Ergänze die fehlenden $y$ -Werte in der Wertetabelle.

Die Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $y=-2x+2$ schneidet die Parabel $p$ in den Punkten $A$ und $B.$

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $B.$

(3,5 P)

Aufgabe 5

Die Klasse 5c verkauft Lose beim Schulfest.
Es gibt folgende Gewinne: 12 Fußbälle und 8 Basketbälle.
Die restlichen 80 Lose sind Nieten.

Francesca möchte zwei Lose ziehen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie

zwei Nieten zieht?
einen Fußball und einen Basketball gewinnt?

(3 P)

Aufgabe 6

Die Paketzustellungen in Deutschland haben in den letzten Jahren zugenommen.
Im Schaubild ist diese Entwicklung dargestellt.

Um wie viel Prozent haben die Paketzustellungen von 2014 bis 2019 insgesamt zugenommen?

Der Dienstleister DHL hatte im Jahr 2019 einen Anteil von 57,0 % an den gesamten Zustellungen.

Wie viele Pakete wurden von DHL im Jahr 2019 zugestellt?

Im Jahr 2020 nahm die Anzahl der Paketzustellungen um 9,7 % zu.
Im darauffolgenden Jahr 2021 stieg die Anzahl der Paketzustellungen um 12,5 %.

Trage die Werte für 2020 und 2021 in das oben abgebildete Diagramm ein.

(3 P)

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Lösung 1

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}(\alpha)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{BC}&=&\text{tan}(\alpha)\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{BC}&=&\text{tan}(40^{\circ})\cdot 9,5\,\text{cm} \\[5pt] \overline{BC}&=&\underline{ 7,97\,\text{cm}}=\overline{BD} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AB} \quad\scriptsize \mid\;:\text{cos}(\alpha) \\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\text{cos}(\alpha)} \\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\text{cos}(40^{\circ})} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{ 12,40\,\text{cm} } \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=&\overline{AB}-\overline{BD} \\[5pt] \overline{AD}&=& 12,40\,\text{cm} -7,97\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD}&=& \underline{ 4,43\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha \\[5pt] \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ} \\[5pt] \beta&=& \underline{ 50^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\overline{DM}}{\overline{BD}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BD} \\[5pt] \overline{DM}&=&\text{sin}\left(\dfrac{\beta}{2}\right)\cdot \overline{BD} \\[5pt] \overline{DM}&=& \text{sin}(25^{\circ})\cdot 7,97\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DM}&=& \underline{ 3,37\,\text{cm}} \end{array}$

Daraus folgt:
$\overline{CD}=2\cdot 3,37\,\text{cm} =\underline{ 6,74\,\text{cm}}$

6. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AC} \\[5pt] u&=& 4,43\,\text{cm} +6,74\,\text{cm} +9,5\,\text{cm} \\[5pt] u&=& 20,67\,\text{cm}\\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 20,7\,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung 2

1. Schritt: Volumen der Schmelze berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Schmelze}}&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot 1000 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (1,5\,\text{cm})^3\cdot 1000 \\[5pt] V_{\,\text{Schmelze}}&=& \underline{ 14137\,\text{cm}^3} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{a_P}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} a_P&=&a_w-2\cdot t \\[5pt] &=& 10,0 \,\text{cm} -2\cdot 1,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 8,0\,\text{cm} } \end{array}$

3. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{h_S}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_S^2+\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2&=& s^2 \qquad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \\[5pt] h_S^2&=& s^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] &=& \sqrt{s^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(9\,\text{cm})^2 -(4\,\text{cm})^2} \\[5pt] h_S&=& \underline{ 8,06\,\text{cm} } \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Höhe $\boldsymbol{h_P}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_P^2+\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2&=& h_S^2 \qquad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} h_P^2&=& h_S^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] h_P&=& \sqrt{h_S^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(8,06\,\text{cm})^2 -(4\,\text{cm})^2} \\[5pt] h_P&=& \underline{ 7,0\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_P&=& \dfrac{1}{3}\cdot a_P^2\cdot h_P \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot (8\,\text{cm})^2\cdot 7,0\,\text{cm} \\[5pt] V_P&=& \underline{ 149 \,\text{cm}^3} \\[5pt] \end{array}$

6. Schritt: Anzahl der Pyramiden berechnen

$V_{\,\text{Schmelze}}:V_P=14137\,\text{cm}^3:149 \,\text{cm}^3$ $= 94,88$

Es können $\underline{\underline{ 94\,\text{Pyramiden}}}$ aus dem Wachs gegossen werden.

Lösung 3

Rechenweg anzeigen

$x^2-9x+14=0$

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{-9}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-9}{2}\right)^2-14}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{9}{2}+\dfrac{5}{2}=7 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{9}{2}-\dfrac{5}{2}=2 \end{array}$

$\underline{\underline{ L=\{7;2\}}}$

Lösung 4

Funktionsgleichung von $p$ bestimmen

Graphische Lösung mit der Symmetrieachse

Durch Abzählen ergeben sich $3 \,\text{LE}$ bis zur Symmetrieachse
Somit gilt: $3^2=9 \,\text{LE}$ bis zum Scheitelpunkt

Für den Scheitelpunkt gilt also: $S(4|-9)$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ p: y=(x-4)^2-9}}$ in Scheitelpunktform

Rechnerische Lösung mit einem LGS

1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel aufstellen

Allgemeine Funktionsgleichung der Normalparabel: $p: y=x^2+bx+c$

2. Schritt: LGS mit $N_1(1|0)$ und $N_2(7|0)$ aufstellen

$\begin{array}{lrll} (1)&0&=& 1^2 + b\cdot 1+c \\ (2)&0&=& 7^2+b\cdot 7+c \\ \hline (2)-(1) &0&=& 48+6b \quad \mid\; -6b\\ &-6b&=& 48 \quad \mid\; :(-6b)\\ &b&=& -8 \\ \end{array}$

3. Schritt: $b=-8$ in (1) einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 1+(-8)\cdot 1+c \\[5pt] 0&=&-7+c&\quad \mid\;+7 \\[5pt] c&=&7 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ p: y=x^2-8x+7}}$ in Normalform

Fehlende $\boldsymbol{y}$ -Werte in der Wertetabelle ergänzen

1. Rechnung: $x=-3$ in $p$ einsetzen

$y=(-3)^2-8\cdot (-3)+7=40$

2. Rechnung: $x=-2$ in $p$ einsetzen

$y=(-2)^2-8\cdot (-2)+7=27$

3. Rechnung: $x=-1$ in $p$ einsetzen

$y=(-1)^2-8\cdot (-1)+7=16$

4. Rechnung: $x=0$ in $p$ einsetzen

$y=0^2-8\cdot 0+7=7$

$\color{#ffffff}{x}$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
$\color{#ffffff}{y}$	$40$	$27$	$16$	$7$

Koordinaten der Schnittpunkte berechnen

1. Schritt: $x$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} (x-4)^2-9&=&-2x+2 \\[5pt] x^2-8x+16-9&=&-2x+2 \\[5pt] x^2-6x+5&=&0& \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5}& \\[5pt] x_{1,2}&=&3\pm\sqrt{4}& \\[5pt] x_1&=&3+2=5& \\[5pt] x_2&=&3-2=1& \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&-2\cdot 5+2 \\[5pt] y_1&=&-8 \end{array}$

$\underline{\underline{ A(5|-8)}}$

$\begin{array}[t]{rll} y_2&=&-2\cdot 1+2 \\[5pt] y_2&=&0 \end{array}$

$\underline{\underline{ B(1|0)}}$

Lösung 5

Es gilt:

$P(\,\text{Fußball})=\dfrac{12}{100}$
$P(\,\text{Basketball})=\dfrac{8}{100}$
$P(\,\text{Niete})=\dfrac{80}{100}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{zwei Nieten})&=&\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{79}{99} \\[5pt] &=& 0,638 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei Nieten zu ziehen, liegt also bei $\underline{\underline{ 63,8\,\%}}$ .

$\quad P(\,\text{Fußball, Basketball})$

$\begin{array}[t]{rll} &=&\dfrac{12}{100}\cdot \dfrac{8}{99}+\dfrac{8}{100}\cdot \dfrac{12}{99} \\[5pt] &= & 0,019 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, einen Fußball und einen Basketball zu gewinnen, liegt also bei $\underline{\underline{ 1,9\,\%}}$ .

Lösung 6

Um wie viel Prozent haben die Paketzustellungen von 2014 bis 2019 zugenommen?

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p&=&\dfrac{W}{G} \\[5pt] p&=&\dfrac{3,65}{2,78} \\[5pt] p&=&1,313 \end{array}$

Die Paketzustellungen haben also um $\underline{\underline{ 31,3 \,\%}}$ zugenommen.

Wie viele Pakete wurden von DHL im Jahr 2019 zugestellt?

$3,65\cdot 0,57=2,08$

2019 wurden $\underline{\underline{ 2,08\, \text{Milliarden}}}$ Pakete von DHL zugestellt.

Werte für 2020 und 2021 in das Diagramm eintragen

Wert für 2020:
$3,65\cdot 1,097= 4$

Wert für 2021:
$4\cdot 1,125= 4,5$

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