Pflichtbereich

Aufgabe P1

lm Quadrat $ABCD$ Iiegt der Streckenzug $DEFB.$

Diagramm eines Rechtecks mit markierten Winkeln und Punkten.

Es gilt:

$\overline{BF}= 8,5\,\text{cm}$
$\overline{EF}= 8,3\,\text{cm}$
$\overline{AB}= 16,7\,\text{cm}$
$\beta_1= 52,0 ^{\circ}$
$\overline{EF}$ verläuft parallel zu $\overline{AB}$

Berechne den Winkel $\delta_{1}.$

(4 P)

Aufgabe P2

Die Eckpunkte des Dreiecks $ABC$ liegen auf den Parallelen $g$ und $h.$

Geometrische Darstellung mit Linien, Punkten und Winkeln, möglicherweise zur Veranschaulichung von Dreiecken.

Es gilt:

$\overline{AB}=9,4\,\text{cm}$
$\beta= 57,0 ^{\circ}$
$d= 6,7\,\text{cm}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ADC.$

(4,5 P)

Aufgabe P3

Ein Werkstück besteht aus einem Kegel und einem halben Zylinder.

Technische Zeichnung eines Kegels und Quaders mit Maßangaben.

(Maße in cm)

Berechne den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

(3,5 P)

Aufgabe P4

Löse die Gleichung:

$(2x+1)^2 -3(x+4)$ $=(x-1)(2x+1)+2$

(3,5 P)

Aufgabe P5

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen und drei Graphen.

(1) $y=\dfrac{1}{2}x+3$

(2) $y=x^{2}+4x+3$

(3) $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+3$

(4) $y=x^{2}-4x+3$

(5) $y=-\dfrac{1}{2}x+3$

Graph mit mehreren Funktionen, einschließlich einer Parabel und einer Geraden auf einem Koordinatensystem.

Ordne jedem Graphen die zugehörige Funktionsgleichung zu.
Begründe deine Entscheidung.

Zeichne die beiden fehlenden Graphen in das Koordinatensystem ein.

(4 P)

Aufgabe P6

Ben, Laura und Emma besitzen jeweils ein Rubbel-Los. Auf jedem Los befinden sich 16 gleich große Felder.

Raster mit grünen Feldern und zwei Zahlen: 0 € und 10 € in weißen Feldern.

Nur zwei der 16 Felder werden freigerubbelt. Die beiden Beträge, die dadurch sichtbar werden, werden addiert und ergeben den Gewinn. Auf acht Feldern steht der Betrag $0 \,€,$ auf sechs Feldern steht der Betrag $1 \,€$ und auf zwei Feldern der Betrag $10 \,€.$

Ben hat auf seinem Los zwei Felder freigerubbelt (siehe Abbildung).
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Gewinn $10 \,€$ ".
Laura überlegt sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, den Hauptgewinn von $20 \,€$ zu erhalten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit.
Emma möchte mehr als $10 \,€$ gewinnen.
Berechne diese Wahrscheinlichkeit.

(4 P)

Aufgabe P7

Die Diagramme zeigen den Verbrauch von Getränkeverpackungen.

Grafik zu Einweg-Getränkeverpackungen in Tonnen von 2004 bis 2014.

Kreisdiagramm zu Getränkeverpackungen 2014: Einweg 54 %, Mehrweg 46 %.

Um wie viel Prozent ist der Verbrauch der Einweg-Getränkeverpackungen von 2004 bis 2014 insgesamt gestiegen?

Wie viele Tonnen Getränkeverpackungen (Einweg und Mehrweg) wurden im Jahr 2014 insgesamt verbraucht?

Der Verbrauch von Einweg-Getränkeverpackungen soll in den zehn Jahren von 2014 bis 2024 jährlich um jeweils $5\,\%$ gegenüber dem Vorjahr sinken.
Wie viele Tonnen Einweg-Getränkeverpackungen wären es dann im Jahr 2024?

(3 P)

Aufgabe P8

lm Rahmen einer Untersuchung wurden die Wartezeiten beim Anruf zweier Hotlines notiert.
Das Diagramm zeigt die Wartezeiten von 41 Anrufern der Hotline QUICK-TEL.

Balkendiagramm zeigt die Wartezeiten bei QUICK-TEL in Minuten und Anzahl der Anrufer.

Welcher der beiden Boxplots stellt die Verteilung der Wartezeiten aus dem Diagramm dar?
Begründe mit Hilfe der Kennwerte.

Boxplot-Diagramm zur Darstellung von Wartezeiten in Minuten für zwei Gruppen, A und B.

Der andere Boxplot zeigt die Verteilung der Wartezeiten der Hotline FAST-PHONE.
Hier wurden ebenfalls 41 Wartezeiten erfasst.

ln der Strichliste fehlen die Werte für 8, 9 und 11 Minuten.
Ergänze diese drei Felder mit möglichen Werten.

Minuten	Anzahl der Anrufer
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

(3,5 P)

Lösung P1

Skizze Quadrat - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{GB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta_1)&=&\dfrac{\overline{GB}}{\overline{BF}} \\[5pt] \cos(52^{\circ})&=&\dfrac{\overline{GB}}{8,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] \cos(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm}&=& \overline{GB} \\[5pt] \overline{GB} &=& \cos(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] \overline{GB}&=& \underline{ 5,23\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{LE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{LE}&=& \overline{AB}-\overline{EF}-\overline{GB} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 16,7\,\text{cm}-8,3\,\text{cm}-5,23\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 3,17\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{GF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta_1)&=&\dfrac{\overline{GF}}{\overline{BF}} \\[5pt] \sin(52^{\circ})&=&\dfrac{\overline{GF}}{8,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] \sin(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm} &=& \overline{GF}\\[5pt] \overline{GF} &=& \sin(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm}\\[5pt] \overline{GF}&=&\underline{ 6,70\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DL}}$ berechnen

Da es sich um ein Quadrat handelt, gilt $\overline{AD}=\overline{AB}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DL}&=& \overline{AD}-\overline{GF} \\[5pt] &=& 16,7\,\text{cm}-6,70\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 10\,\text{cm}} \end{array}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\delta_1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\delta_1)&=&\dfrac{\overline{LE}}{\overline{DL}} \\[5pt] \tan(\delta_1)&=&\dfrac{3,17\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} \\[5pt] \delta_1&=&\underline{\underline{ 17,6^{\circ}}} \end{array}$

Lösung P2

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}\quad \scriptsize \\[5pt] \sin(57^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AD}}{9,4\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot\,9,4\,\text{cm} \\[5pt] \sin(57^{\circ})\cdot\,9,4\,\text{cm} &=& \overline{AD} \\[5pt] \overline{AD} &=& \sin(57^{\circ})\cdot\,9,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD} &=& \underline{ 7,88\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CB}$ berechnen

Umfang Dreieck - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CB}}\\[5pt] \sin(57^{\circ})&=&\dfrac{6,7\,\text{cm}}{\overline{CB}} \qquad \scriptsize \mid\; \cdot\,\overline{CB} \\[5pt] \sin(57^{\circ})\cdot \overline{CB}&=&6,7\,\text{cm} \qquad \scriptsize \mid\; : \sin(57^{\circ})\\[5pt] \overline{CB}&=&\dfrac{6,7\,\text{cm}}{\sin(57^{\circ})} \\[5pt] \overline{CB}&=&\underline{ 7,99\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{DB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{DB}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \\[5pt] \cos(57^{\circ})&=&\dfrac{\overline{DB}}{9,4\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 9,4\,\text{cm} \\[5pt] \cos(57^{\circ})\cdot9,4\,\text{cm} &=& \overline{DB} \\[5pt] \overline{DB} &=& \cos(57^{\circ})\cdot9,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DB}&=&\underline{ 5,12\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=& \overline{CB}-\overline{DB}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,99\,\text{cm}-5,12\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 2,87\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AD}^2+\overline{CD}^2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=&(7,88\,\text{cm})^2+(2,87\,\text{cm})^2 \; \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC}&=&\sqrt{(7,88\,\text{cm})^2+(2,87\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AC}&= & \underline{ 8,39\,\text{cm}} \end{array}$

Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AC}\\[5pt] &=&7,88\,\text{cm}\,+2,87\,\text{cm}+8,39\,\text{cm}\\[5pt] &=&19,14\,\text{cm}\\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 19,1\,\text{cm} }} \end{array}$

Lösung P3

Radius des Kegels berechnen

$r=28\,\text{cm}:2=\underline{ 14\,\text{cm}}$

Kantenlänge des Kegelmantels berechnen

Körper - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

$\begin{array}[t]{rll} k^2&=&(30,6\,\text{cm})^2+(14,0\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] k&=&\sqrt{(30,6\,\text{cm})^2+(14,0\,\text{cm})^2} \\[5pt] k&=&\underline{ 33,65\,\text{cm}} \end{array}$

Oberflächeninhalt berechnen

Rechenweg anzeigen

$O= \underline{\underline{ 3679,37\,\text{cm}^2}}$

Lösung P4

Rechenweg anzeigen

$\underline{\underline{ \mathbb{L}={\{-3;2\}}}}$

Lösung P5

Graphen zuordnen

(1)

$y=\dfrac{1}{2}x+3$ $\rightarrow$ kein passender Graph

Die Funktionsgleichung beschreibt eine Gerade mit positiver Steigung $m=\frac{1}{2}$ und dem $y$ -Achsenabschnitt $3.$

Da es keine steigende Gerade gibt, kann die Funktionsgleichung keinem Graphen zugeordnet werden. Der Graph muss neu eingezeichnet werden.

(2)

$y=x^2+4x+3$ $\rightarrow$ kein passender Graph

Umformung mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+4x+3 \\[5pt] y&=&x^2+2\cdot 2x+3 \\[5pt] y &=&x^2+2\cdot 2x+2^2-2^2+3 \\[5pt] y &=&(x+2)^2-1 \end{array}$

Der zugehörige Graph besitzt den Scheitelpunkt $S(-2\mid-1).$

Da es keinen Graphen mit diesem Scheitelpunkt gibt, muss der Graph dieser Funktion neu eingezeichnet werden.

(3)

$y=\dfrac{1}{2}x^2+3$ $\rightarrow$ $p_2$

Die Funktionsgleichung beschreibt eine Parabel, die durch ihren $y$ -Achsenabschnitt um $3$ Einheiten nach oben verschoben ist, mit dem Faktor $a=\frac{1}{2}$ gestaucht wurde und den Scheitelpunkt $S(0\mid3)$ besitzt.

Diese Eigenschaften treffen auf den Graphen $p_2$ zu.

(4)

$y=x^2-4x+3$ $\rightarrow$ $p_1$

Umformung mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-4x+3 \\[5pt] y &=&x^2-2\cdot 2x+3 \\[5pt] y &=&x^2-2\cdot 2x+2^2-2^2+3 \\[5pt] y &=&(x-2)^2-1 \end{array}$

Der Graph besitzt den Scheitelpunkt $S(2\mid-1)$ .

Deshalb kann die Funktionsgleichung dem Graphen $p_1$ zugeordnet werden.

(5)

$y=-\dfrac{1}{2}x+3$ $\rightarrow$ $g_1$

Die Funktionsgleichung beschreibt eine Gerade mit negativer Steigung $m=-\frac{1}{2}$ und mit dem $y$ -Achsenabschnitt $3$ .

Dies trifft auf den Graphen $g_1$ zu.

Fehlende Graphen einzeichnen

Grafische Darstellung von Funktionen in einem Koordinatensystem mit Achsen und verschiedenen Kurven.

Lösung P6

Diagramm mit Entscheidungsbaum und verschiedenen Geldbeträgen.

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Gewinn 10 €“ berechnen

Rechenweg anzeigen

$P(\text{Gewinn }10\,€) = \underline{\underline{ 13,3 \,\%}}$

Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn berechnen

Rechenweg anzeigen

$P(\text{Gewinn }20\,€) = \underline{\underline{ 0,8\,\%}}$

Wahrscheinlichkeit berechnen, mehr als 10 € zu gewinnen

Rechenweg anzeigen

$P(\text{Gewinn}\gt10\,€) = \underline{\underline{ 10,8\,\% }}$

Lösung P7

Um wie viel Prozent ist der Verbrauch der Einweg-Getränkeverpackungen von 2004 bis 2014 insgesamt gestiegen?

Mathematische Darstellung von Prozent- und Verhältnisberechnungen mit Zahlen.

$129,03\,\%-100,00\,\%=29,03\,\%$ $=\underline{\underline{ 29\,\%}}$

Der Verbrauch der Einweg-Getränkeverpackungen ist also um 29 % gestiegen.

Wie viele Tonnen Getränkeverpackungen wurden 2014 insgesamt verbraucht?

Dreisatz - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Im Jahr 2014 wurden insgesamt $\underline{\underline{ 1.111.111 \,\text t}}$ Getränkeverpackungen verbraucht.

Wie viele Tonnen Einweg-Getränkeverpackungen wären es dann im Jahr 2024?

$\begin{array}[t]{rll} G_{2024}&=& G_{2014} \cdot q^n \\[5pt] &=& 600.000\,\text{t} \cdot (1-0,05)^{10} \\[5pt] &=& 600.000\,\text{t} \cdot 0,95^{10} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 359.242,2\,\text{t}}} \end{array}$

Im Jahr 2024 wären es also 359.242,2 t Einweg-Getränkeverpackungen.

Lösung P8

Welcher der beiden Boxplots stellt die Verteilung der Wartezeiten aus dem Diagramm dar?

Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im unteren Quartil.

$q_u=\dfrac{1}{4} \cdot n=\dfrac{1}{4} \cdot 41=10,25$ $\Rightarrow x_{11}=7\,\text{min}$

Anhand des Diagrammes sieht man, dass die Anruferzahl von 11 nach 7 min erreicht ist.

Dies entspricht $\underline{\underline{\text {Boxplot} (B)}}.$

Tabelle ergänzen

1. Schritt: Anzahl fehlender Striche berechnen

$41-2-4-3-5-4-1-1-2-1$ $= \underline{ 18}$

2. Schritt: Kennwerte ermitteln

$q_u=\dfrac{1}{4} \cdot n=\dfrac{1}{4} \cdot 41$ $=10,25\Rightarrow x_{11}=\underline{ 8\,\text{min}}$
Die Anruferzahl von 11 ist nach 8 min erreicht (= unteres Quartil).

$Z=\dfrac{1}{2} \cdot n=\dfrac{1}{2} \cdot 41$ $=20,5\Rightarrow x_{21}=\underline{ 9\,\text{min}}$
Die Anruferzahl von 21 ist nach 9 min erreicht (= Zentralwert).

$q_o=\dfrac{3}{4} \cdot n=\dfrac{3}{4} \cdot 41$ $=30,75\Rightarrow x_{31}=\underline{ 11\,\text{min}}$
Die Anruferzahl von 31 ist nach 11 min erreicht (= oberes Quartil).

Minuten	Anzahl der Anrufer
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Hinweis: Dies ist nur eine mögliche Lösung, es gibt noch weitere. Wichtig ist, dass die Kennwerte des Boxplots korrekt erfüllt sind.