Wahlteil B

Aufgabe 1

Gegeben ist das Trapez $ABCD,$ für das gilt:

Schematische Darstellung eines Trapezes mit den Winkeln α und β.

(Skizze nicht maßstäblich)

$\overline{AB}=6,0\,\text{cm}$
$\overline{BC}=4,8\,\text{cm}$
$\beta=60^\circ$
$\alpha=70^\circ$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}.$

(5 P)

Die Funktionsgleichung einer Parabel $p_1$ lautet $p_1:y=(x-4)^2-4.$ Eine weitere Parabel $p_2$ ist gegeben mit $p_2:y=x^2-4x+6.$

Durch die beiden Scheitelpunkte der Parabeln $p_1$ und $p_2$ verläuft eine Gerade $g$ .

Bestimme die Gleichung dieser Geraden $g$ .
Bestimme die Gleichung der zur Geraden $g$ senkrechten Gerade $h$ durch den Punkt $P(1\mid 1)$ und gib deren Schnittpunkt mit der $x$ -Achse an.

(5 P)

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt einen zusammengesetzten Körper, der aus einem Quader mit aufgesetzter Pyramide besteht.

Diagramm eines geometrischen Körpers mit Kantenlängen a und 2a sowie einem Winkel α.

(Skizze nicht maßstäblich)

Es gilt:

$\alpha=60^\circ$
$a=2\text{e}$

Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass für die Oberfläche des Körpers gilt:

$O=4\text{e}^2(9+\sqrt{7})$

(5,5 P)

Eine Umfrage über die Höhe des Taschengeldes in der Klasse 6a ergab folgende Strichliste:

Betrag in €	Anzahl Schüler*innen
14,00
14,50
16,00
17,00
18,00
18,50
19,00
22,00
24,00

Berechne das arithmetische Mittel sowie den Zentralwert (Median).
Stelle die Verteilung der Werte in einem Boxplot dar.

Bei einer anderen Befragung der Klasse 6b ergab sich ein Zentralwert von 15,75 €.

Um wie viel Prozent weicht dieser Wert vom Zentralwert aus der Befragung der Klasse 6a ab?

(4,5 P)

Aufgabe 3

Eine Parabel $p$ ist gegeben durch die Gleichung $p:y=x^2-6x+10.$ Außerdem ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $g:y=-4x+2$ gegeben.
Eine zweite Gerade $h$ verläuft parallel zu $g$ und durch den Scheitelpunkt der Parabel $p.$

Gib die Gleichung der Parabel $p$ in Scheitelpunktform an.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $h$ mit der $x$ -Achse.

(5 P)

Ein Glücksrad besteht aus sechs gleich großen Abschnitten. Diese sind beschriftet mit den Buchstaben A, B, B, B, C und C. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

Ereignis	Gewinn
zweimal B	6,00 €
ein A und ein C	4,50 €
Sonstiges	0 €
Einsatz pro Spiel: 3,00 €

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man zweimal den Buchstaben C?

Das Glücksrad soll für ein Glücksspiel verwendet werden. Berechne für den angegebenen Gewinnplan den Erwartungswert.
Wie groß müsste der Gewinn für "zweimal B" sein, damit das Spiel fair ist, während die anderen Gewinnbeiträge gleich bleiben?

(5 P)

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Lösung 1

Geometrische Darstellung eines Trapezes mit den Punkten A, B, C, D, E, F und den Winkeln α und β.

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{BF}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{BC}\\[5pt] \cos(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{BF}\\[5pt] \overline{BF}&=&\cos(60^\circ)\cdot 4,8\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BF}&=&\underline{ 2,4\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2+\overline{BF}^2&=&\overline{BC}^2 \quad\quad\quad\quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\; -\overline{BF}^2\\[5pt] \overline{CF}^2&=&\overline{BC}^2-\overline{BF}^2 \quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{CF}&=&\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{BF}^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(4,8\,\text{cm})^2-(2,4\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{CF}&=&\underline{ 4,16\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\overline{DE}=\overline{CF}=4,16\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{AE}\quad \scriptsize \mid\; :\tan(\alpha)\\[5pt] \overline{AE}&=&\dfrac{\overline{DE}}{\tan(\alpha)}\\[5pt] \overline{AE} &=&\dfrac{4,16\,\text{cm}}{\tan(70^\circ)}\\[5pt] \overline{AE}&=&\underline{ 1,51\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\overline{AB}-\overline{BF}-\overline{AE}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,0\,\text{cm}-2,4\,\text{cm}-1,51\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 2,09\,\text{cm}}} \end{array}$

Gleichung von $g$ bestimmen

Scheitelpunkt von $p_1$ bestimmen

$\underline{ S_1(4\mid -4)}$ erhält man durch Ablesen

Scheitelpunkt von $p_2$ berechnen

Umformen der Funktionsgleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+6 &\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& x^2-2\cdot 2x+(-2)^2+6-(-2)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& (x-2)^2+2 \end{array}$

$\underline{ S_2(2\mid2)}$

$S_1$ und $S_2$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen

Allgemeine Geradengleichung: $g:y=mx+c$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-4&=& 4m + c \\ \text{II}\quad&2&=&2m+c \\ \hline \text{I}-\text{II}\quad&-6&=& 2m &\quad \scriptsize\mid\;:2\\ &m&=& -3 &\\ \end{array}$

$m=-3$ in $\text{II}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 2&=&2\cdot (-3)+c \\[5pt] 2&=&-6+c &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] c&=& 8 \end{array}$

Die Geradengleichung lautet also $\underline{\underline{ g:y=-3x+8}}.$

Gleichung von $h$ bestimmen

Steigung der Gerade bestimmen

$m_h= -\dfrac{1}{m_g} = -\dfrac{1}{-3}= \dfrac{1}{3}$

$h:y=\dfrac{1}{3}x+c$

$c$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{1}{3}x+c &\quad \scriptsize \mid\; P(1\mid 1)\\[5pt] 1&=&\dfrac{1}{3}\cdot 1+c \\[5pt] 1&=&\dfrac{1}{3}+c &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{3}\\[5pt] c&=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Die Geradengleichung lautet also $\underline{\underline{ h:y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}}}.$

Schnittpunkt mit $x$ -Achse angeben

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{2}{3} \\[5pt] \dfrac{1}{3}x&=&-\dfrac{2}{3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] x&=&-2 \end{array}$

Daraus folgt der Schnittpunkt $\underline{\underline{ N(-2\mid 0)}}.$

Lösung 2

Geometrisches Diagramm mit verschiedenen Linien und Winkeln, die einen dreidimensionalen Körper darstellen.

Mantelflächeninhalt der Pyramide berechnen

Diagonale $d$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&a^2+a^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] d&=& \sqrt{a^2+a^2}\\[5pt] d&=& \sqrt{(2e)^2+(2e)^2}\\[5pt] d&=& \sqrt{4e^2+4e^2}\\[5pt] d&=& \sqrt{8e^2}\\[5pt] d&=&e\sqrt{8} \\[5pt] d&=&2e\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Seite $s$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\frac{d}{2}}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot s\;\mid\;:\cos(\alpha) \\[5pt] s&=&\dfrac{\frac{d}{2}}{\cos(\alpha)}\\[5pt] s &=&\dfrac{\frac{1}{2}2e\sqrt{2}}{\cos(60^\circ)}\\[5pt] s&=&\dfrac{e\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}}\\[5pt] s&=&\underline{2e\sqrt{2} } \end{array}$

Länge der Seite $h_a$ berechnen

Geometrisches Diagramm mit einem Dreieck und einer Pyramide, beschriftet mit verschiedenen Variablen.

$\begin{array}[t]{rll} (h_a)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2&=&s^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\;-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] (h_a)^2&=&s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h_a&=&\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] h_a &=&\sqrt{(2e\sqrt{2})^2-\left(\dfrac{2e}{2}\right)^2}\\[5pt] h_a &=&\sqrt{4e^2\cdot 2-e^2}\\[5pt] h_a &=&\sqrt{7e^2}\\[5pt] h_a&=&\underline{ e\sqrt{7}} \end{array}$

Mantelflächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_P&=& 4\cdot\dfrac{1}{2}a\cdot h_a&\quad \scriptsize \\[5pt] M_P &=& 4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{e}\cdot e\sqrt{7} &\quad \scriptsize \\[5pt] M_P &=& \underline{ 4\text{e}^2\sqrt{7}} \end{array}$

Oberflächeninhalt des Quaders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_Q&=& 4\cdot a\cdot 2a+a\cdot a &\quad \scriptsize \\[5pt] O_Q &=& 8a^2+a^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_Q &=& 8\cdot (2\text{e})^2+(2\text{e})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_Q &=& 8\cdot 4\text{e}^2+4\text{e}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O_Q &=& \underline{ 36\text{e}^2} \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt des Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& M_P+O_Q &\quad \scriptsize \\[5pt] O &=& 4\text{e}^2\sqrt{7}+36\text{e}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] O &=& 4\text{e}^2(\sqrt{7}+9)&\quad \scriptsize \\[5pt] O &=& \underline{\underline{ 4\text{e}^2(9+\sqrt{7})}} \end{array}$

Arithmetisches Mittel berechnen

$\begin{array}[t]{rll} &1\cdot 14,00\,€+2\cdot 14,50\,€+ 1\cdot 17,00\,€& \\[5pt] &+1\cdot 18,00\,€+2\cdot 18,50\,€+3\cdot 19,00\,€& \\[5pt] &+2\cdot 22,00\,€+1\cdot 24,00\,€& \\[5pt] &=240\,€& \end{array}$

Somit gilt für das arithmetische Mittel: $\dfrac{240\,€}{16}= \underline{\underline{15\,€}}$

Zentralwert (Median) berechnen

Rangplatz	Betrag in €
1	14,00
2	14,50
3	14,50
4	16,00
5	16,00
6	16,00
7	17,00
8	18,00
9	18,50
10	18,50
11	19,00
12	19,00
13	19,00
14	22,00
15	22,00
16	24,00

$\overline{x}=\dfrac{x_{8}+x_{9}}{2}=\dfrac{18,00\,€+18,50\,€}{2}=\underline{\underline{18,25\,€}}$

Verteilung der Werte in einem Boxplot darstellen

Kennwerte ermitteln

$x_\text{min}=x_1=14,00\,€$
$q_{u}=n \cdot 0,25 = 16 \cdot 0,25 = 4$
$\Rightarrow q_{u}=x_{4}=16,00\,€$
$z=n \cdot 0,5 = 16 \cdot 0,5 = 8$
$\Rightarrow z=x_{8}=18,00\,€$
$q_{o}=n \cdot 0,75 = 16 \cdot 0,75 = 12$
$\Rightarrow q_{o}=x_{12}=19,00\,€$
$x_\text{max}=x_{16}=24,00\,€$

Damit ergibt sich folgender Boxplot:

baden württemberg realschule musterprüfung

Um wie viel Prozent weicht dieser Wert vom Zentralwert aus der Befragung der Klasse 6a ab?

$:18,25$

$\cdot 15,75$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 18,25\,€\\[5pt] 6,35\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,€\\[5pt] 86,30\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 15,75\,€ \end{array}$

$:18,25$

$\cdot 15,75$

Der Zentralwert der Klasse 6b weicht um $100\,\%-86,30\,\%=13,70\,\%$ vom Zentralwert der Klasse 6a ab.

Lösung 3

Scheitelpunktform mit der quadratischen Ergänzung angeben

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& x^2-2\cdot 3x+ 10\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] y &=& x^2 -2\cdot 3x+3^2-3^2+10&\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& (x-3)^2-3^2+10&\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& (x-3)^2-9+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] y &=&(x-3)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Also gilt $\underline{\underline{ p:y=(x-3)^2+1}}.$

Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Scheitelpunkt der Parabel $p$ bestimmen

$S(3|1)$ (kann mithilfe der Scheitelpunktform abgelesen werden)

Parabel $h$ berechnen

Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+c$
Da die Geraden $g$ und $h$ parallel sind, gilt für den Steigungsfaktor: $m=-4$
Also gilt für $c:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt] c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;S(3\mid 1),\,m=-4 \\[5pt] c&=&1-(-4)\cdot 3\\[5pt] c&=&13 \\[10pt] \end{array}$

$\underline{ h: y= -4x+13}$

Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Wenn der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse berechnet werden soll, gilt: $N(x\mid 0)$

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -4x+13 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& -4x+13 &\quad \scriptsize \mid\; -13 \\[5pt] -13&=& -4x &\quad \scriptsize \mid\; : (-4)\\[5pt] x&=& 3,25 \end{array}$

$\underline{\underline{ N(3,25\mid 0)}}$

wahlteil b stochastik wahrscheinlichkeit baumdiagramm

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man zweimal den Buchstaben C?

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{zweimal C}) &=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{9} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,1 \mathrel{\widehat{=}} \underline{\underline{ 10\,\%}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für den angegebenen Gewinnplan den Erwartungswert berechnen

Ereignis	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
zweimal B	6,00 €	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$
ein A und ein C	4,50 €	$\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}\right)+ \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\right)= \frac{1}{9}$
Sonstiges	0 €	$1-\frac{1}{9}-\frac{1}{4}= \frac{23}{36}$

$E = \dfrac{1}{4}\cdot 6\,€ + \dfrac{1}{9}\cdot 4,50\,€ + \dfrac{23}{36} \cdot 0\,€ -3 \,€ = \underline{\underline{ -1\,€}}$

Mit dem Einsatz von 3 € hat der Spieler auf lange Sicht einen Verlust von 1 € pro Spiel.

Wie groß müsste der Gewinn für „zweimal B“ sein, damit das Spiel fair ist?

Damit das Spiel fair wird, muss der Erwartungswert 0 sein und der Gewinn $x$ für „zweimal B“ angepasst werden:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{1}{4}\cdot x +\dfrac{1}{9}\cdot 4,50\,€ + \dfrac{23}{36}\cdot 0\,€ -3\,€ & \\[5pt] 0 &=&\dfrac{1}{4}\cdot x +\dfrac{1}{2}\,€ -3\,€\quad \scriptsize \mid\; +3\,€ \\[5pt] 3\,€ &=& \dfrac{1}{4}\cdot x+\dfrac{1}{2}\,€ \quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}\,€ \\[5pt] 2,5\,€ &=& \dfrac{1}{4}\cdot x \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] x &=& 10\,€ \end{array}$

Der Gewinn für „zweimal B“ muss auf $\underline{\underline{ 10 \,€}}$ erhöht werden, damit das Spiel fair wird.

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