Pflichtteil A2

Aufgabe 1

Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke $ABD$ und $BCD.$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&6,3\,\text{cm}\\ \gamma&=&41,8^{\circ}\\ \overline{AD}&=&\overline{BD}\\ \overline{BD}&=&\overline{CD} \end{array}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ABD.$
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABD.$

(3,5 P)

Aufgabe 2

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem quadratischen Prisma mit aufgesetzter quadratischer Pyramide. Dieser zusammengesetzte Körper wurde durch einen Parallelschnitt halbiert.
Die Schnittfäche $A_s$ ist grau eingefärbt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&16,3\,\text{cm}\\ \alpha&=&68,9^\circ\\ h_{\text {ges}}&=&20,6\,\text{cm} \end{array}$

Berecḥne den Flächeninhalt der Schnittfläche $A_s.$

(4 P)

Aufgabe 3

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}\quad&3(x-y)&=&y+8\\ \text{(2)}\quad&3y&=&\dfrac{x-5}{2} \end{array}$

(3 P)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Ausschnitt einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel $p.$

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel $p.$ Entnimm dazu geeignete Werte aus der Zeichnung.

Eine Gerade $g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $T(0\mid 2)$ und hat die Steigung $m=-2$ .

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $B$ der Parabel und der Geraden.

(3 P)

Aufgabe 5

Auf zwei Kreiseln befinden sich die Symbole ●,▲ und ◼︎.
Die Felder eines Kreisels sind jeweils gleich groß.
Sie sind grau bzw. weiß gefärbt.
Die beiden Kreisel werden gedreht und bleiben auf einer Kante liegen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

zwei gleiche Symbole
Kreis und Dreieck
höchstens ein graues Feld

(3 P)

Aufgabe 6

Im Diagramm sind die Ausgaben für Onlinewerbung in Deutschland für die Jahre 2020 und 2021 dargestellt.

Die Ausgaben für Onlinewerbung sind von 2020 bis 2021 angestiegen.

Berechne den Zuwachs in Prozent.

Die Ausgaben für die Bannerwerbung lagen im Jahr 2020 um $9,5\,\%$ über dem Betrag von 2019.

Berechne die Ausgaben für die Bannerwerbung im Jahr 2019.

Laut einer Prognose sollen in den fünf Jahren von 2021 bis 2026 die Ausgaben für dię Social-Media-Werbung jährlich um $12,25\,\%$ bezogen auf das jeweilige Vorjahr ansteigen.

Wie hoch wären die Ausgaben für die Social-Media-Werbung dann im Jahr 2026?

(3 P)

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Lösung 1

Umfang Dreieck $ABD$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&\overline{AD}+\overline{CD} \quad \scriptsize \overline{AD}=\overline{BD}=\overline{CD} \\[5pt] &=&\overline{CD}+\overline{CD}\\[5pt] &=&6,3\,\text{cm}+6,3\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AC}&=&12,6\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin\gamma&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \sin\gamma\cdot \overline{AC}&=&\overline{AB} \\[5pt] \overline{AB}&=&\sin\gamma\cdot \overline{AC} \\[5pt] &=&\sin41,8^\circ\cdot 12,6\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AB}&=&\underline{8,40\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u_{ABD}&=&\overline{AB}+\overline{BD}+\overline{AD} \\[5pt] &=&\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{CD} \\[5pt] &=&8,4\,\text{cm}+6,3\,\text{cm}+6,3\,\text{cm}\\[5pt] u_{ABD}&=&\underline{\underline{21,0\,\text{cm}}} \end{array}$

Flächeninhalt Dreieck $ABD$ berechnen

1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_\overline{AB}^2&=&\overline{AD}^2-\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h_\overline{AB}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(6,3\,\text{cm})^2-(4,2\,\text{cm})^2}\\[5pt] h_\overline{AB}&=&\underline{4,70\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABD}&=&\dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot h_\overline{AB}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 8,4\,\text{cm}\cdot 4,7\,\text{cm}\\[5pt] A_{ABD}&=&\underline{\underline{19,7\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung 2

1. Schritt: Länge von $a$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\frac{a}{2}}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \cos\alpha\cdot s&=&\dfrac{a}{2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2\cos\alpha\cdot s&=&a\\[5pt] a&=&2\cos\alpha\cdot s\\[5pt] &=&2\cos 68,9^\circ\cdot 16,3\,\text{cm}\\[5pt] a&=&\underline{11,74\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $h_s$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\dfrac{h_s}{s}\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \sin\alpha\cdot s&=& h_s\\[5pt] h_s&=&\sin 68,9^\circ\cdot 16,3\,\text{cm}\\[5pt] h_s&=&\underline{15,21\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\boldsymbol{h_\text{Pyramide}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_\text{Pyramide}^2&=&h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] h_\text{Pyramide}&=&\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(15,21\,\text{cm})^2-\left(\frac{11,74\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt] h_\text{Pyramide}&=&\underline{14,03\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge von $\boldsymbol{h_\text{Prisma}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_\text{Prisma}&=&h_\text{ges}-h_\text{Pyramide} \\[5pt] &=&20,6\,\text{cm}-14,03\,\text{cm} \\[5pt] h_\text{Prisma}&=&\underline{6,57\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&h_\text{Prisma}\cdot a+\dfrac{1}{2}h_\text{Pyramide}\cdot a \\[5pt] &=&6,57\,\text{cm}\cdot 11,74\,\text{cm}+\dfrac{1}{2}\cdot 14,03\,\text{cm}\cdot 11,74\,\text{cm}\\[5pt] A_S&=&\underline{\underline{159,5\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung 3

Einsetzungsverfahren

$\(\begin{array}{lrll} \text{(1)}\quad&3(x-y)&=&y+8\\ \text{(2)}\quad&3y&=&\dfrac{x-5}{2}\quad\scriptsize\mid\;\cdot 2\\ \hline \text{(1)}\quad&3(x-y)&=&y+8\\ \text{(2$

Einsetzen von (2'') in (1):

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot (6y+5-y)&=&y+8 \\[5pt] 15y+15&=&y+8 &\quad \scriptsize \mid\;-y-15\\[5pt] 14y&=&-7&\quad \scriptsize \mid\;:14\\[5pt] y&=&\underline{\underline{-\dfrac{1}{2}}} \end{array}$

Einsetzen von $y=-\dfrac{1}{2}$ in (2''):

$x=6\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)+5=\underline{\underline{2}}$

$L=\left\{\left(2;-\dfrac{1}{2}\right)\right\}$

Lösung 4

Funktionsgleichung bestimmen

Aus der Zeichnung lassen sich die Schnittpunkte von $p$ mit der $x$ -Achse ablesen: $S_1(1\mid 0),$ $S_2(7\mid 0).$ Daraus folgt für den Scheitelpunkt:

Die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei $x=4.$

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei $y=-3^2=-9.$

$p:y=(x-4)^2-9$

Koordinaten berechnen

Geradengleichung aufstellen:

$g:y=-2x+c$

$T(0\mid 2)$ in $g:$

$2=-2\cdot 0+c,$ also $c=2$

$g:y=-2x+2$

Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} (x-4)^2-9&=&-2x+2\\[5pt] x^2-8x+16-9&=&-2x+2 \quad \scriptsize \mid\;+2x-2 \\[5pt] x^2-6x+5&=&0\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm 2 \\[5pt] \end{array}$

$x_1=5,$ $x_2=1$

$x_1=5$ in $g:$

$y=-2\cdot 5+2=-8$

$x_2=1$ in $g:$

$y=-2\cdot 1+2=0$

$\underline{\underline{A(5\mid -8)}},$ $\underline{\underline{B(1\mid 0)}}$

Lösung 5

$P(\text{zwei gleiche Symbole})$ $=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{2}{15}$ $=\dfrac{5}{15}=\underline{\underline{\dfrac{1}{3}}}$ bzw. $33,3\,\%$

$P(\text{● und ▲})$ $=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}$ $=\dfrac{3}{15}=\underline{\underline{\dfrac{1}{5}}}$ bzw. $20\,\%$

$P(\text{höchstens ein graues Feld})$ $=1-\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{15}{15}-\dfrac{2}{15}$ $=\underline{\underline{\dfrac{13}{15}}}$ bzw. $86,7\,\%$

Lösung 6

Zuwachs berechnen

1. Schritt: Berechnung des absoluten Anstiegs

$W=7789-7484=305$

2. Schritt: Berechnung des prozentualen Anstiegs

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] \dfrac{W}{G}&=&p\,\%\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W}{G}\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{305}{7784}\\[5pt] p\,\%&=&\underline{\underline{4,08\,\%}}\\[5pt] \end{array}$

Ausgaben für Bannerwerbung berechnen

$:109,5$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 109,5\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 895\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 8,17\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 817 \end{array}$

$:109,5$

$\cdot 100$

Die Ausgaben für Bannerwerbung lagen 2019 bei $817\,\text{Mio.}\,€.$

Ausgaben für Social-Media-Werbung 2026 berechnen

$614\cdot 1,1225^5=1094$

Die Ausgaben für Social-Media-Werbung wären dann bei $1094\,\text{Mio.}\,€,$ also über einer Milliarde €.

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