Wahlbereich

Aufgabe W 1

Das Fünfeck $ABCDE$ besteht aus dem gleichseitigen Dreieck $ABF,$ den beiden gleichschenkligen Dreiecken $AFE$ und $FBC$ sowie dem Drachenviereck $DEFC.$

Geometrische Figur mit den Punkten A, B, C, D, E und F, dargestellt in einem einfachen Diagramm.

Es gilt:

$\overline{AB} = 3,4\,\text{cm}$
$\overline{BC} = 7,0\,\text{cm}$
$\delta = 118,0^{\circ}$

Berechne den Abstand des Punktes $D$ zur Strecke $\overline{AB}.$

5,5 P

Ein DIN-A4-Blatt mit den Eckpunkten $A$ , $B,$ $C$ und $D$ wird entlang von $\overline{FG}$ gefaltet. Dadurch entsteht der Punkt $\(A$ auf $\overline{CD}.$

Schematische Darstellung eines Rechtecks mit den Maßen 29,7 cm x 21,0 cm und einer diagonalen Linie.

Geometrische Darstellung eines Vierecks mit Markierungen und Beschriftungen der Punkte.

Es gilt:

$\overline{AF}=13,3\,\text{cm}$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $\(GBCA$

4,5 P

Aufgabe W 2

In einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide liegt das gleichschenklige Dreieck $BCM.$

Dreidimensionales Diagramm eines Pyramidenmodells mit Beschriftungen und Linien.

Es gilt:

$\overline{BM}=\overline{CM}=8,0\, \,\text{cm}$
$\epsilon=48,0^{\circ}$
$M$ halbiert die Höhe der Pyramide.

Berechne die Höhe der Pyramide.

Der Punkt $M$ bewegt sich auf der Höhe der Pyramide.
Dadurch entsteht das Dreieck $\(BCM$

Berechne den minimalen und den maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck $\(BCM$ annehmen kann.

5,5 P

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel (siehe Achsenschnitt).

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit einem 60°-Winkel und Maßen.

Zeige, dass für das Volumen des zusammengesetzten Körpers gilt:

$V_{\,\text{ges}}=\dfrac{35}{3}$ $\pi\mathrm e^3\sqrt{3}$

4,5 P

Aufgabe W 3

Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_{1}$ hat den Scheitelpunkt $S_{1}(2\mid 2).$ Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_{2}$ hat mit der $x$ -Achse die Schnittpunkte $N_{1}(-2\mid0)$ und $N_{2}(2\mid0)$ .
Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes $T$ der beiden Parabeln.

Die Gerade $g$ mit der Steigung $m=2$ schneidet beide Parabeln ebenfalls im Punkt $T$ .
Berechne die Gleichung von $g$ .
Berechne die Winkel, unter denen sich die Gerade $g$ und die $y$ -Achse schneiden.

Gib die Gleichung einer Parabel $p_{3}$ an, die weder mit $p_{1}$ noch mit $p_{2}$ einen gemeinsamen Punkt hat.

5,5 P

Eine Parabel $p_{1}$ mit der Gleichung $y= ax^2+c$ hat den Scheitelpunkt $S_{1}(0\mid 6).$
Eine zweite Parabel $p_{2}$ hat die Gleichung $y=x^{2}+3x+q.$
Der Punkt $B(2\mid 4)$ ist einer der beiden Schnittpunkte von $p_{1}$ und $p_{2}.$

Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $A$ der beiden Parabeln.

Zeige rechnerisch, dass die Punkte $A, B$ und $C(0\mid 2)$ auf einer Geraden liegen.

4,5 P

Aufgabe W 4

Beim Würfelspiel „Augensumme 4 gewinnt“ wird gleichzeitig mit zwei Spielwürfeln geworfen. Die Augenzahlen werden addiert (Augensumme).
Dieses Spiel soll als Glücksspiel eingesetzt werden. Dazu wird nebenstehender Gewinnplan verwendet.

Ereignisse	Gewinn
„Augensumme gleich 4“	$4,00\,€$
„Augensumme kleiner 4“	$2,00\,€$
„Augensumme größer 4“	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,00 \,€$

Berechne den Erwartungswert.

Der Betreiber bekommt die Vorgabe, das Glücksspiel zu verändern. Er soll auf einem der beiden Spielwürfel die Vier, die Fünf und die Sechs entweder durch drei Einsen oder durch drei Dreien ersetzen.

Domino-Steine in verschiedenen Anordnungen und mit unterschiedlichen Punktzahlen.

Wofür sollte sich der Betreiber entscheiden?
Begründe deine Entscheidung durch Rechnung oder Argumentation.

6 P

Im Querschnitt einer Skater-Rampe sieht man die beiden geraden Teilstücke $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ sowie das parabelförmige Teilstück $AB.$

Skateboardfahrer auf einer Skateboardrampe mit Höhenangaben und Markierungen.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf gleicher Höhe und sind $4,00\,\text{m}$ voneinander entfernt.
Der tiefste Punkt $T$ der Skater-Rampe liegt $20\,\text{cm}$ über dem Boden.

Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung für das parabelförmige Teilstück $AB.$

Die beiden Punkte $C$ und $D$ liegen ebenfalls auf gleicher Höhe und sind $8,00\,\text{m}$ voneinander entfernt.

Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung für die Gerade, auf der das gerade Teilstück $\overline{BD}$ liegt.

4 P

Lösung W 1

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FG}}$ berechnen

Diagramm eines geometrischen Problems mit einem Viereck und einem eingezeichneten Winkel.

Satz des Pythagoras anwenden

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AF}^2&=& \overline{AG}^2+\overline{FG}^2\quad \scriptsize \mid\;-\overline{AG}^2 \\[5pt] \overline{FG}^2&=&\overline{AF}^2-\overline{AG}^2\\[5pt] \overline{FG}^2&=&(3,4\,\text{cm})^2-(1,7\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{FG}&=& \sqrt{(3,4\,\text{cm})^2-(1,7\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{FG}&=& \underline{ 2,94\,\text{cm} } \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Größe des Winkels $\beta$ berechnen

Da das Dreieck $FBC$ gleichschenklig ist, gilt $\overline{BC}=\overline{CF}=7,0 \,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{FI}}{\overline{CF}} &\quad \\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{1,7\,\text{cm} }{7,0\,\text{cm} } \\[5pt] \beta&=&\underline{ 75,94^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=&180^{\circ}-\beta-\dfrac{\alpha}{2} \\[5pt] \gamma&=&180^{\circ}-75,94^{\circ}-\dfrac{60^{\circ}}{2} \\[5pt] \gamma&=&\underline{ 74,06^{\circ}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{HF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\gamma)&=&\dfrac{\overline{HF}}{\overline{CF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CF} \\[5pt] \overline{HF}&=&\overline{CF}\cdot \cos(\gamma) \\[5pt] \overline{HF}&=&7,0\,\text{cm}\cdot \cos(74,06^{\circ}) \\[5pt] \overline{HF}&=&\underline{ 1,92\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma)&=&\dfrac{\overline{CH}}{CF} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CF} \\[5pt] \overline{CH}&=&\overline{CF}\cdot \sin(\gamma) \\[5pt] \overline{CH}&=&7,0\,\text{cm}\cdot \sin(74,06^{\circ}) \\[5pt] \overline{CH}&=&\underline{ 6,73\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{DH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{CH}}{\overline{DH}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DH} \\[5pt] \overline{DH}\cdot \tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right) &=& \overline{CH}&\quad\scriptsize \mid\;:\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right) \\[5pt] \overline{DH}&=&\dfrac{\overline{CH}}{\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right)} \\[5pt] \overline{DH}&=&\dfrac{6,73\,\text{cm}}{\tan(59^{\circ})} \\[5pt] \overline{DH}&=&\underline{ 4,04\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Abstand des Punktes $\boldsymbol{D}$ zur Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DG}&=&\overline{DH}+\overline{HF}+\overline{FG} & \\[5pt] \overline{DG}&=&4,04\,\text{cm}+1,92\,\text{cm}+2,94\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DG}&=&\underline{\underline{ 8,9\,\text{cm}}} \end{array}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\(\boldsymbol{\overline{CA$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{DF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DF}&=&\overline{DA}-\overline{AF} & \\[5pt] \overline{DF}&=&21,0\,\text{cm}-13,3\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DF}&=&\underline{ 7,70\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Srecke $\(\overline{A$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \overline{A$

Länge der Strecke $\(\overline{CA$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \overline{CA$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{GB}}$ berechnen

Größe des Winkels $\epsilon$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\epsilon)&=&\dfrac{\overline{A$

Größe des Winkels $\varphi$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&2\cdot \varphi+\epsilon &\quad \scriptsize \mid\;-\epsilon \\[5pt] 2\cdot \varphi&=&180^{\circ}-\epsilon &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \varphi&=&(180^{\circ}-\epsilon):2 \\[5pt] \varphi&=&(180^{\circ}-54,61^{\circ}):2 \\[5pt] \varphi&=&\underline{ 62,70^{\circ}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi)&=&\dfrac{\overline{AG}}{\overline{AF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AF} \\[5pt] \overline{AG}&=&\overline{AF}\cdot \tan(\varphi) \\[5pt] \overline{AG}&=&13,3\,\text{cm}\cdot \tan(62,70^{\circ}) \\[5pt] \overline{AG}&=&\underline{ 25,77\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{GB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{GB}&=&\overline{AB}-\overline{AG} & \\[5pt] \overline{GB}&=&29,7\,\text{cm}-25,77\,\text{cm} \\[5pt] \overline{GB}&=&\underline{ 3,93\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot (\overline{GB}+\overline{CA$

Lösung W 2

Berechnung der Höhe der Pyramide

Wahlbereich Pyramide Dreieck Winkel Strecke

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AM}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{AM}}{\overline{BM}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BM} \\[5pt] \overline{AM}&=&\overline{BM}\cdot \cos\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \\[5pt] \overline{AM}&=&8,0 \,\text{cm}\cdot \cos\left(\dfrac{48^{\circ}}{2}\right)\\[5pt] \overline{AM}&=&\underline{ 7,31 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{BM} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BM} \\[5pt] \overline{AB}&=&\overline{BM}\cdot \sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \\[5pt] \overline{AB}&=&8,0 \,\text{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{48^{\circ}}{2}\right) \\[5pt] \overline{AB}&=&\underline{ 3,25 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Größe des Mittelpunktswinkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{n}=\dfrac{360^{\circ}}{5}=\underline{ 72^{\circ}}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AH}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{AH} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AH} \\[5pt] \overline{AH}\cdot \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) &=&\overline{AB}&\quad \scriptsize \mid\;: \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \\[5pt] \overline{AH}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} \\[5pt] \overline{AH}&=&\dfrac{3,25 \,\text{cm}}{\tan\left(\dfrac{72^{\circ}}{2}\right)} \\[5pt] \overline{AH}&=&\underline{ 4,47 \,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{HM}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AM}^2&=&\overline{MH}^2+\overline{AH}^2 \quad \scriptsize \mid\;-\overline{AH}^2 \\[5pt] \overline{MH}^2&=&\overline{AM}^2-\overline{AH}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,}\\[5pt] \overline{MH}&=& \sqrt{(7,31\,\text{cm})^2-(4,47\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{MH}&=&\underline{ 5,78\,\text{cm} }\\[5pt] \end{array}$

6. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SH}&=&2\cdot \overline{MH} & \\[5pt] &=& 2\cdot 5,78\,\text{cm} \\[5pt] &=& 11,56\,\text{cm} \\[5pt] \overline{SH}&=&\underline{\underline{ 11,6\,\text{cm}}} \\[5pt] \end{array}$

Berechnung des minimalen Flächeninhalts

$\(\begin{array}[t]{rll} A_{\,\text{min}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AM$

Berechnung des maximalen Flächeninhalts

Länge der Strecke $\overline{AS}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}^2&=&\overline{SH}^2+\overline{AH}^2 & \\[5pt] \overline{AS}^2&=&(11,6\,\text{cm})^2+(4,47\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\quad} \\[5pt] \overline{AS}&=& \sqrt{(11,6\,\text{cm})^2+(4,47\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AS}&=&\underline{ 12,43\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\,\text{max}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AS} & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot (2\cdot \overline{AB})\cdot \overline{AS} & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot (2\cdot 3,25\,\text{cm}) \cdot 12,43\,\text{cm} \\[5pt] A_{\,\text{max}}&=&\underline{\underline{ 40,4\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Wahlbereich Dreieck Flächeninhalt Strecke Höhe

1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{r_1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 6\mathrm{e}:2\\[5pt] r_1&=& \underline{ 3\mathrm{e}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_{\text{ges}}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{60^{\circ}}{2}\right)&=&\dfrac{r_1}{h_{\text{ges}}} & \scriptsize \mid\;\cdot h_{\text{ges}} \\[5pt] h_{\text{ges}}\cdot \tan(30^{\circ}) &=& r_1 & \scriptsize \mid\;: \tan(30^{\circ}) \\[5pt] h_{\text{ges}}&=&\dfrac{r_1}{\tan(30^{\circ})} &\\[5pt] &=&\dfrac{3\mathrm{e}}{\tan(30^{\circ})} &\\[5pt] &=&\dfrac{3\mathrm{e}}{\dfrac{1}{3}\sqrt{3}}&\\[5pt] h_{\text{ges}}&=&\dfrac{3\cdot 3\mathrm{e}}{\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$

Nenner rational machen:

$\begin{array}[t]{rll} h_{\text{ges}}&=&\dfrac{9\mathrm{e}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} &\\[5pt] &=&\dfrac{9\mathrm{e}\sqrt{3}}{3}&\scriptsize \mid\; \text{mit 3 kürzen} \\[5pt] &=&\dfrac{3\mathrm{e}\sqrt{3}}{1} &\\[5pt] h_{\text{ges}}&=&\underline{ 3\mathrm{e}\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_2&=&\,\text{h}_{\text{ges}}-\mathrm{e}\sqrt{3} &\\[5pt] &=&3\mathrm{e}\sqrt{3}-\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] h_2&=&\underline{ 2\mathrm{e}\sqrt{3}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{r_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{60^{\circ}}{2}\right)&=&\dfrac{r_2}{h_2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot h_2 \\[5pt] r_2&=&h_2\cdot \tan(30^{\circ}) \\[5pt] &=&2\mathrm{e}\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\[5pt] &=&\dfrac{2\mathrm{e}\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3} \\[5pt] &=&\dfrac{2\mathrm{e}\cdot 3}{3} \\[5pt] r_2&=&\underline{ 2\mathrm{e}} \end{array}$

5. Schritt: Volumen des zusammengesetzten Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{ges}}&=&\text{V}_{\text{Zylinder}}+\text{V}_{\text{Kegel}} & \\[5pt] &=&\pi\cdot r_1^2\cdot h_1+\dfrac{1}{3}\pi \cdot r_2^2\cdot h_2 \\[5pt] &=&\pi\cdot (3\mathrm{e})^2\cdot \mathrm{e}\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}\pi \cdot (2\mathrm{e})^2\cdot 2\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] &=&\pi\cdot 9\mathrm{e}^2\cdot \mathrm{e}\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}\pi \cdot 4\mathrm{e}^2\cdot 2\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] &=&9\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3}+\dfrac{8}{3}\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3} \\[5pt] &=&\dfrac{27}{3}\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3}+\dfrac{8}{3} \mathrm{e}^3\sqrt{3} \\[5pt] V_{\text{ges}}&=&\underline{\underline{ \dfrac{35}{3}\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3}}} \\[5pt] \end{array}$

Somit ist gezeigt, dass das Volumen des zusammengesetzten Körpers $V_{\text{ges}}=\dfrac{35}{3}\pi\mathrm{e}^3\sqrt{3}$ beträgt.

Lösung W 3

Koordinaten des gemeinsamen Punktes $\boldsymbol{T}$ berechnen

1. Schritt: Funktionsgleichung von $p_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p_1:& y&=&(x-d)^2+e &\quad \scriptsize \mid\; S_1(2\mid2) \\[5pt] &&=&(x-2)^2+2 \\[5pt] &&=&x^2-4x+4+2 \\[5pt] p_1: &y&=&x^2-4x+6 \end{array}$

2. Schritt: Funktionsgleichung von $p_2$ berechnen

$N_1(-2|0)$ und $N_2(2|0)$ in die allgemeine Funktionsgleichung $y=-x^2+bx+c$ eingesetzt, ergibt ein LGS:

$\(\begin{array}{lrll} \text{(1)}&0&=& -(-2)^2+b\cdot(-2)+c & \\ \text{(2)}&0&=& -2^2+b\cdot 2+c& \\ \hline \text{(1$

$c=4$ in $\(\text{(2$ eingesetzt, ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} &0&=& -4+2b+4 \\[5pt] &2b&=& 0& \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] &b&=& 0 \end{array}$

Daraus folgt: $p_2: y=-x^2+4$

3. Schritt: Koordinaten des gemeinsamen Punktes $T$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=&p_2 & \\[5pt] x^2-4x+6&=&-x^2+4 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] 2x ^2-4x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2-2x+1&=&0 \end{array}$

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-1} \\[5pt] x_{1/2}&=&1\pm \sqrt{1-1} \\[5pt] x_{1/2}&=&1\pm \sqrt{0} \\[5pt] x&=&1+0=1 \end{array}$

$x=1$ in $p_2$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-1^2+4 \\[5pt] y&=&3 \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ T(1\mid3)}}$

Gleichung von $\boldsymbol{g}$ berechnen

Die allgemeine Geradengleichung lautet: $g:y=mx+c_{g}$

Aus $m=2$ folgt: $y=2x+c_{g}$

$T(1\mid3)$ eingesetzt, ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x+c_{g} \\[5pt] 3&=&2\cdot 1+c_{g} \\[5pt] 3&=&2+c_{g} &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] c_{g}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ g:y=2x+1}}$

Winkel berechnen, unter denen sich die Gerade $\boldsymbol{g}$ und die $\boldsymbol{y}$ -Achse schneiden

Es gibt vier Winkel:

$\sphericalangle \,THA=\alpha_1$
$\sphericalangle \,OHT=\alpha_2$
$\sphericalangle \,N_{3}HO=\alpha_1$ | Scheitelwinkel zu $\sphericalangle \,THA$
$\sphericalangle \,AHN_3=\alpha_2$ | Scheitelwinkel zu $\sphericalangle \,OHT$

Größe des Winkels $\alpha_{1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_1)&=&\dfrac{\overline{TA}}{\overline{AH}} & \\[5pt] \tan(\alpha_1)&=&\dfrac{1}{2} \\[5pt] \alpha_1&=& 26,57^{\circ}\\[5pt] \alpha_1&=&\underline{\underline{ 26,6^{\circ}}} \end{array}$

Größe des Winkels $\alpha_{2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \alpha_2&=&180^{\circ} -\alpha_1\\[5pt] &=&180^{\circ} -26,57^{\circ} \\[5pt] &=& 153,43^{\circ} \\[5pt] \alpha_2&=&\underline{\underline{ 153,4^{\circ}}} \end{array}$

Gleichung einer Parabel $\boldsymbol{p_{3}}$ angeben, die weder mit $\boldsymbol{p_{1}}$ noch mit $\boldsymbol{p_{2}}$ einen gemeinsamen Punkt hat

Lösungsvorschlag am Besipiel der Parabel $p_3$ , die „innerhalb“ von $p_2$ eingebettet ist:

Scheitelpunkt $S_3$

Liegt unterhalb von $S_2(0|4)$ auf der $y$ -Achse
Scheitelpunkt $S_3(0|{c_3})$ mit $c_3\lt4$
Form der Gleichung: $p_3: y=a_3\cdot x^2+c_3$

Öffnung der Parabel $p_3$

Nach unten geöffnet
Also gilt: $a_3\lt 0$

Form der Parabel $p_3$

Gleich gestreckt oder gestreckter als $p_2$
Also gilt: $|a_3|\geq1$
Aus $a_3\lt 0$ und $|a_3|\geq1$ folgt: $a_3\leq-1$

Eine mögliche Parabelgleichung: $\underline{\underline{ p_3:y=-x^2+3}}$

Skizze zur Veranschaulichung

Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $\boldsymbol{A}$ berechnen

1. Schritt: Funktionsgleichung von $p_1$ ermitteln

Es gilt:

$y= ax^2+c$
Scheitelpunkt $S_{1}(0\mid 6)$

Daraus folgt: $c=6$

Somit gilt für den Vorfaktor $a:$

$\begin{array}[t]{rll} y&=&ax^2+c &\quad \scriptsize \mid\;-\,c \\[5pt] ax^2&=&y-c &\quad \scriptsize \mid\;:x^2 \\[5pt] a&=&\dfrac{y-c}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; c=6, \, B(2|4)\\[5pt] a&=&\dfrac{4-6}{2^2} \\[5pt] a&=&\dfrac{-2}{4} \\[5pt] a&=&-0,5 \\[10pt] \underline{ p_1:y=-0,5x^2+6 }\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Funktionsgleichung von $p_2$ ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+3x+q &\quad \scriptsize \mid\;B(2\mid 4) \\[5pt] 4&=&2^2+3\cdot 2+q \\[5pt] 4&=&4+6+q \\[5pt] 4&=&10+q &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] q&=&-6 \\[10pt] \underline{ p_2:y=x^2+3x-6} \end{array}$

3. Schritt: Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $A$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=&p_2 \\[5pt] -0,5x^2+6&=&x^2+3x-6 & \scriptsize \mid\;+0,5x^2\\[5pt] 6&=&1,5x^2+3x-6 & \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 0&=&1,5x^2+3x-12 &\scriptsize \mid\;:1,5 \\[5pt] 0&=&x^2+2x-8 \\[5pt] \end{array}$

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\dfrac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-8)} \\[5pt] x_{1/2}&=&-1\pm \sqrt{1+8} \\[5pt] x_{1/2}&=&-1\pm \sqrt{9} \\[5pt] x_1&=&-1+3=2 \\[5pt] x_2&=&-1-3=-4 \\[5pt] \end{array}$

$x_1=2$ ist die $x$ -Koordinate des bekannten Schnittpunkts $B(2|4).$ Deswegen wird $x_2=-4$ in $p_1$ eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x^2+6 & \\[5pt] y&=&-0,5\cdot (-4)^2 +6 \\[5pt] y&=&-8+6 \\[5pt] y&=&-2 \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ A(-4\mid -2)}}$

Rechnerisch zeigen, dass $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ auf einer Geraden liegen

1. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden $g$ ermitteln, die von den Punkten $A$ und $B$ festgelegt wird

Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+c$
Für den Steigungsfaktor $m$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & \scriptsize \mid\; A(x_A\mid y_A),\,B(x_B\mid y_B) \\[5pt] m&=&\dfrac{4-(-2)}{2-(-4)} \\[5pt] m&=&\dfrac{6}{6}=1 \end{array}$
Also gilt für $c:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt] c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;B(2\mid 4),\,m=1 \\[5pt] c&=&4-1\cdot 2 \\[5pt] c&=&2 \\[10pt] \end{array}$

$\underline{ g:y=x+2}$

2. Schritt: Zeigen, dass $C$ auch auf der Gerade $g$ liegt

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x+2 &\quad \scriptsize \mid\;C(0\mid 2)\, \,\text{einsetzen} \\[5pt] 2&=&0+2 \\[5pt] 2&=&2 \\[5pt] \end{array}$

Damit ist gezeigt, dass die Punkte $A, B$ und $C$ auf einer Geraden liegen.

Lösung W 4

Erwartungswert berechnen

1. Schritt: Tabelle mit allen möglichen Augensummen (A) erstellen

Wahlbereich Erwartungswert Wahrscheinlichkeit Würfel

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle bestimmen

$P_1=P(A=4)=\dfrac{3}{36}$
$P_2=P(A\lt4)=\dfrac{3}{36}$
$P_3=P(A\gt4)=\dfrac{30}{36}$

3. Schritt: Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=&4\,€\cdot P_1+2\,€\cdot P_2+0\,€\cdot P_3-1\,€ & \\[5pt] &=&4\,€\cdot \dfrac{3}{36}+2\,€\cdot \dfrac{3}{36}+0\,€\cdot \dfrac{30}{36}-1\,€\\[5pt] &=&\dfrac{12}{36}\,€+\dfrac{6}{36}\,€-1\,€\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\,€-1\,€\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}\,€\\[5pt] E &=& \underline{\underline{ -0,50\,€}} \end{array}$

Wofür sollte sich der Betreiber entscheiden?

Version 1: Würfel mit drei Einsen

1. Schritt: Tabelle mit allen möglichen Augensummen (A) erstellen

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle bestimmen

$P_1=P(A=4)=\dfrac{6}{36}$
$P_2=P(A\lt4)=\dfrac{9}{36}$
$P_3=P(A\gt4)=\dfrac{21}{36}$

3. Schritt: Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=&4\,€\cdot P_1+2\,€\cdot P_2+0\,€\cdot P_3-1\,€ & \\[5pt] &=&4\,€\cdot \dfrac{6}{36}+2\,€\cdot \dfrac{9}{36}+0\,€\cdot \dfrac{21}{36}-1\,€\\[5pt] &=&\dfrac{24}{36}\,€+\dfrac{18}{36}\,€-1\,€\\[5pt] E&=& \underline{ 0,17\,€}\\[5pt] \end{array}$

Version 2: Würfel mit drei Dreien

1. Schritt: Tabelle mit allen möglichen Augensummen (A) erstellen

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle bestimmen

$P_1=P(A=4)=\dfrac{6}{36}$
$P_2=P(A\lt4)=\dfrac{3}{36}$
$P_3=P(A\gt4)=\dfrac{27}{36}$

3. Schritt: Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=&4\,€\cdot P_1+2\,€\cdot P_2+0\,€\cdot P_3-1\,€ & \\[5pt] &=&4\,€\cdot \dfrac{6}{36}+2\,€\cdot \dfrac{3}{36}+0\,€\cdot \dfrac{27}{36}-1\,€\\[5pt] &=&\dfrac{24}{36}\,€+\dfrac{6}{36}\,€-1\,€\\[5pt] E&=& \underline{ -0,17\,€}\\[5pt] \end{array}$

Da der zu erwartende Gewinn für die Teilnehmer bei Version 2: Würfel mit drei Dreien kleiner als bei Version 1: Würfel mit drei Einsen ist, macht es für den Betreiber mehr Sinn, sich für den Würfel mit drei Dreien zu entscheiden.
Denn damit kann der Betreiber mit einem durchschnittlichen Gewinn von $0,17\,€$ pro Spiel rechnen.

Eine mögliche Funktionsgleichung für das parabelförmige Teilstück bestimmen

Es gilt:

Allgemeine Funktionsgleichung: $y= ax^2+c$
Scheitelpunkt $T(0\mid 0,2)$

Daraus folgt: $c=0,2$

Somit gilt für den Vorfaktor $a:$

$\begin{array}[t]{rll} y&=&ax^2+c &\quad \scriptsize \mid\;-\,c \\[5pt] ax^2&=&y-c &\quad \scriptsize \mid\;:x^2 \\[5pt] a&=&\dfrac{y-c}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; c=0,2, \, B(2|1)\\[5pt] a&=&\dfrac{1-0,2}{2^2} \\[5pt] a&=&\dfrac{0,8}{4} \\[5pt] a&=&0,2 \\[10pt] \end{array}$

Damit folgt $\underline{\underline{ p:y=0,2x^2+0,2}}$

Eine mögliche Funktionsgleichung für die Gerade bestimmen

Allgemeine Funktionsgleichung: $g:y=mx+c$
Für den Steigungsfaktor $m$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B} & \scriptsize \mid\; B(2\mid 1),\,D(4\mid2,6) \\[5pt] m &=&\dfrac{2,6-1}{4-2} \\[5pt] m&=&\dfrac{1,6}{2} \\[5pt] m&=&0,8 \end{array}$

Also gilt für $c:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt] c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;B(2\mid 1),\,m=0,8\\[5pt] c&=&1-0,8\cdot 2 \\[5pt] c&=&-0,6\\[10pt] \end{array}$

$\underline{\underline{ g:y=0,8x-0,6}}$