Wahlbereich

Aufgabe W1

Die Eckpunkte des Vierecks $ABCD$ liegen auf den Parallelen $g$ und $h$ .

Geometrische Darstellung mit Linien, Punkten und Winkeln. Elemente: A, B, C, D, h, β.

Die Parallelen haben einen Abstand von $9,0\,\text{cm}$ .

Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=& 10,4\,\text{cm} &\\[5pt] \beta&=& 70,0^{\circ}&\\[5pt] \overline{AB}&=&\overline{AC} &\\[5pt] \end{array}$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD.$

5,5 P

Geometrische Darstellung eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beschriftungen der Punkte A, B, C, D, E und dem Winkel Y.

Für das Papierdreieck $ABC$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& 50,0^{\circ} \quad \\[5pt] \overline{AC}&=& 11,4\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AD}&=& 5,0\,\text{cm} &\\[5pt] \end{array}$

Das Dreieck wird entlang der Strecke $\overline{DE}$ gefaltet (siehe Skizze).

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit beschrifteten Punkten und Winkeln.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $ADEF.$

4,5 P

Aufgabe W2

Aus einer Kreisfläche wird die Mantelfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide ausgeschnitten.

Geometrische Darstellung mit einem Kreis und einem 110° Winkel, umgeben von verschiedenen Polygonen.

Der Kreis hat einen Radius von $8,3\,\text{cm}$ .

Berechne das Volumen der Pyramide.

5,5 P

Eine quadratische Pyramide ist zweimal abgebildet.

Geometrische Darstellung eines dreidimensionalen Körpers mit den Punkten S, A und B. Linien und Flächen sind skizziert.

Geometrische Darstellung eines Pyramidenmodells mit den Punkten S, A, B, C und D.

In der linken Abbildung ist das Dreieck $ABS$ markiert und in der rechten das Dreieck $CDS$ .
Die Punkte $C$ und $D$ halbieren jeweils die Grundkante.

Welche der folgenden Formeln gehört zur Dreiecksfläche $ABS$ und welche zur Dreiecksfläche $CDS$ ? Begründe deine Entscheidung ohne Verwendung gerundeter Werte.

(1) $\,$ $\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{3e^2}{8} &\quad \\[5pt] \end{array}$

(2) $\,$ $\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{e^2}{4}\sqrt{6} &\\[5pt] \end{array}$

(3) $\,$ $\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{e^2}{4}\sqrt{5} &\quad \\[5pt] \end{array}$

4,5 P

Aufgabe W3

Das Schaubild zeigt einen Ausschnitt der verschobenen Normalparabel $p_1$ .

Graph einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Die Punkte $A\,(-3\mid-1)$ und $B \, (1\mid-1)$ liegen auf $p_1$ .
Bestimme die Gleichung der Parabel $p_1$ .

Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2(0\mid8)$ .

Durch die beiden Scheitelpunkte verläuft eine Gerade $g$ .

Berechne die Gleichung der Geraden $g$ .

Eine Gerade $h$ verläuft parallel zu $g$ und geht durch einen der beiden Schnittpunkte von $p_1$ und $p_2$ .

Berechne eine mögliche Gleichung der Geraden $h.$

5,5 P

Eine Parabel $p_1$ hat die Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x^2+c$ und geht durch den Punkt $R\,(4\mid0)$ .

Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat die Gleichung $y=-x^2+1$ .

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ von $p_1$ und $p_2$ .

Die Scheitelpunkte $S_1$ und $S_2$ sowie die Schnittpunkte $P$ und $Q$ der beiden Parabeln bilden das Viereck $S_1PS_2Q$ .

Mia behauptet: „Das Viereck $S_1PS_2Q$ hat zwei rechte Winkel.“

Hat Mia recht? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

4,5 P

Aufgabe W4

Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung werden zwei Glücksräder eingesetzt.

Beide Glücksräder werden gedreht.
Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine zweistellige Zahl.
Die Abbildung zeigt die Zahl $13$ .

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?

Die Glücksräder werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird nebenstehender Gewinnplan geprüft.

Gewinnplan
Ergebnisse	Gewinn
zwei gleiche Ziffern	3,00 €
Zahl größer als 40	5,00€
restliche Möglichkeiten	kein Gewinn
Einsatz 2,00 €

Berechne den Erwartungswert.

Bei der Wohltätigkeitsveranstaltung soll ein höherer Erlös erzielt werden. Dazu soll beim rechten Glücksrad eine der beiden Dreien durch eine Fünf ersetzt werden.
Der Gewinnplan bleibt gleich.

Wäre dies vorteilhaft? Begründe durch Rechnung oder Argumentation.

5,5 P

Theo wirft im Basketballtraining auf den Korb (siehe Skizze).

Grafik einer Basketballwurfkurve mit Höhen- und Distanzangaben.

Die annähernd parabelförmige Flugkurve des Balles lässt sich mit der Gleichung $y=ax^2+c$ beschreiben.
Gib eine mögliche Gleichung der zugehörigen Parabel $p$ an.

Trifft Theo bei diesem Wurf direkt in den Korb, der in einer Höhe von $3,05\,\text{m}$ hängt?
Begründe durch Rechnung.

Vor Theo steht der Abwehrspieler Dennis im Abstand von $0,60\,\text{m.}$ Mit nach oben gestreckten Armen erreicht Dennis eine Höhe von $2,30\,\text{m}.$
Berührt er den Ball, ohne hochzuspringen?
Begründe durch Rechnung.

4,5 P

Lösung W1

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(\beta)&=&\dfrac{CE}{BC} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{BC}\;\mid\; : \text{sin}(\beta)\\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\beta)} \\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{9,0\,\text{cm}}{\sin(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{BC} &=& \underline{ 9,58\text{ cm}}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&\alpha+\beta+\gamma \quad \scriptsize \mid\;-\,\beta\, -\,\gamma \\[5pt] \alpha&=&180^{\circ}-\beta-\gamma \\[5pt] \alpha&=&180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ} \\[5pt] \alpha&=&\underline{ 40^{\circ}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{CE}}{AC} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\,\overline{AC}\; \mid\;:\,\sin(\alpha) \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\alpha)} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{9,0\,\text{cm}}{\sin(40^{\circ})} \\[5pt] \overline{AC}&=&\underline{ 14,00\,\text{cm}} \end{array}$

Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AC}$ $\Rightarrow\overline{AB}=14,00\,\text{cm}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{FD}^2+\overline{AF}^2&=&\overline{AD}^2 \quad\scriptsize \mid\;-\,\overline{FD}^2 \\[5pt] \overline{AF}^2&=&\overline{AD}^2-\overline{FD}^2 \;\quad\scriptsize \mid\;\,\sqrt{\,\,\,}\\[5pt] \overline{AF}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\overline{FD}^2} \\[5pt] \overline{AF}&=&\sqrt{(10,4\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AF}&=&\underline{ 5,21\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=& \dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\,\overline{BE}\, \mid\; :\tan(\beta) \\[5pt] \overline{BE} &=& \dfrac{\overline{CE}}{\tan(\beta)} \\[5pt] \overline{BE} &=& \dfrac{9,0\,\text{cm}}{\tan(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{BE} &=& \underline{ 3,28\text{ cm}}\\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FE}}$ ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} \overline{FE}&=& \overline{AB} - \overline{AF} - \overline{BE} \\[5pt] &=& 14,00\,\text{cm} - 5,21\,\text{cm} - 3,28\,\text{cm}\\[5pt] \overline{FE}&=& \underline{ 5,51\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Es gilt: $\overline{FE}=\overline{CD}$ $\Rightarrow\overline{CD}=5,51$

6. Schritt: Umfang des Trapezes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD} \\[5pt] &=&14\,\text{cm}+9,58\,\text{cm}+5,51\,\text{cm}+10,4\,\text{cm} \\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 39,5\,\text{cm}}} \end{array}$

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^{\circ}-90^{\circ}-\gamma \\[5pt] &=&180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ} \\[5pt] \beta&=&\underline{ 40^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{AB}&=& \tan(\gamma) \cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{AB}&=& \tan(50^{\circ}) \cdot 11,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{ 13,59\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DB}&=& \overline{AB}-\overline{AD}& \\[5pt] &=& 13,59\,\text{cm}-5,0\,\text{cm}& \\[5pt] \overline{DB}&=& \underline{ 8,59\,\text{cm}}& \\[5pt] \end{array}$

Es gilt: $\(\overline{DB$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DB}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DB} \\[5pt] \overline{DE}&=& \tan(\beta)\cdot \overline{DB} \\[5pt] \overline{DE}&=& \tan(40^{\circ})\cdot 8,59\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DE}&=& \underline{ 7,21\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\(\boldsymbol{\overline{AB$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \overline{AB$

6. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta$

7. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{DE}+\overline{AF})\cdot \overline{AD} & \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (7,21\,\text{cm}+3,01\,\text{cm})\cdot 5,0\,\text{cm} & \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 25,6\,\text{cm}^2}} & \\[5pt] \end{array}$

Lösung W2

Skizze der Pyramide

Skizze der Grundfläche

1. Schritt: Größe des Innenwinkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& \dfrac{360^{\circ}-110^{\circ}}{5} \\[5pt] \gamma&=& \underline{ 50^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& \dfrac{360^{\circ}}{5} \\[5pt] \alpha&=& \underline{ 72^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{b}$ des Fünfecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)&=&\dfrac{b}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\, s \\[5pt] b&=&\sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)\cdot s \\[5pt] b&=&\sin\left(\dfrac{50^{\circ}}{2}\right)\cdot 8,3\,\text{cm} \\[5pt] b &=&\underline{ 3,51 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{r_\text{a}}$ des Fünfecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{b}{a} \quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\cdot\, a\;\mid\;:\,\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\\[5pt] a&=&\dfrac{b}{\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} \\[5pt] a&=&\dfrac{ 3,51\,\text{cm}}{\sin\left(\dfrac{72^{\circ}}{2}\right) } \\[5pt] a&=&\underline{ 5,97\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h^2+a^2&=&s^2 \;\quad \scriptsize \mid\; - a^2\\[5pt] h^2&=& s^2-a^2 \quad\scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] h&=& \sqrt{s^2-a^2} \\[5pt] h&=&\sqrt{(8,3\,\text{cm})^2-(5,97\,\text{cm})^2} \\[5pt] h &=& \underline{ 5,77\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot n\cdot a^2\cdot \sin(\alpha) \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}\cdot 5\cdot (5,97\,\text{cm})^2\cdot \sin(72^{\circ}) \cdot 5,77\,\text{cm} \\[5pt] V&=&\underline{\underline{ 163,0\,\text{cm}^3 }}\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABS}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{SD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SD}^2 &=& e^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] \overline{SD} &=&\sqrt{e^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2} \\[5pt] \overline{SD} &=&\sqrt{e^2+\dfrac{e^2}{4}} \\[5pt] \overline{SD} &=&\sqrt{\dfrac{5}{4}e^2} \\[5pt] \overline{SD} &=&\underline{ \dfrac{e}{2}\sqrt{5}} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABS}&=& \dfrac{1}{2}\cdot\text{e}\cdot \overline{SD}\\[5pt] A_{ABS}&=&\dfrac{1}{2}\cdot e \cdot \dfrac{e}{2}\sqrt{5}\\[5pt] A_{ABS}&=&\underline{ \dfrac{e^2}{4}\cdot\sqrt{5}} \end{array}$

Somit gehört Formel (3) zur Dreiecksfläche $\boldsymbol{ABS}.$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{CDS}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}^2&=& \overline{CA}^2+\overline{AD}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] \overline{CD}&=& \sqrt{\overline{CA}^2+\overline{AD}^2} &\\[5pt] \overline{CD}&=& \sqrt{\left(\dfrac{e}{2}\right)^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2}\\[5pt] \overline{CD}&=& \sqrt{\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{e^2}{4}}\\[5pt] \overline{CD}&=&\sqrt{\dfrac{2e^2}{4}}\\[5pt] \overline{CD}&=&\underline{ \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}}\\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{FA}$ mit der Diagonale $d$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&e^2+e^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] d&=& \sqrt{e^2+e^2} & \\[5pt] d&=& \sqrt{2e^2} & \\[5pt] d&=& e\sqrt{2} & \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: $\overline{FA}=\underline{ \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}}$

Länge der Strecke $\overline{FG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{FG}}{\overline{FA}}&=&\dfrac{\overline{DB}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{FA} \\[5pt] \overline{FG}&=&\dfrac{\overline{DB}}{\overline{AB}}\cdot \overline{FA} & \\[5pt] \overline{FG}&=&\dfrac{\dfrac{e}{2}}{e} \cdot \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}& \\[5pt] \overline{FG}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}e\sqrt{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{FG}&=&\underline{ \dfrac{1}{4}e\sqrt{2}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{SG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SG}^2&=&\overline{SF}^2+\overline{FG}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{SG}&=&\sqrt{\overline{SF}^2+\overline{FG}^2 }& \\[5pt] \overline{SG}&=&\sqrt{e^2+\left(\dfrac{1}{4}e\sqrt{2}\right)^2 }& \\[5pt] \overline{SG}&=&\sqrt{e^2+\dfrac{1}{16}e^2\cdot 2 }& \\[5pt] \overline{SG}&=&\sqrt{\dfrac{9}{8}e^2}& \\[5pt] \overline{SG}&=&\dfrac{3}{2\sqrt{2}}e \quad \scriptsize \mid\; \text{Nenner rational machen} \\[5pt] \overline{SG}&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}e&\\[5pt] \overline{SG}&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2\cdot 2}e&\\[5pt] \overline{SG}&=&\underline{ \dfrac{3\sqrt{2}}{4}e}&\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{CDS}&=& \dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot \overline{SG}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}\cdot \dfrac{3\sqrt{2}}{4}e\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}e^2\cdot \dfrac{3\cdot 2}{4}\\[5pt] A_{CDS}&=& \underline{ \dfrac{3}{8}e^2}\\[5pt] \end{array}$

Somit gehört Formel (1) zur Dreiecksfläche $\boldsymbol{ABS}.$

Lösung W3

Gleichung der Parabel $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen

$A(-3\mid-1)$ und $B(1\mid-1)$ in die allgemeine Form einer Normalparabel $y= x^2+bx+c$ einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen

$\(\begin{array}{} \text{I}&-1&=&(-3)^2+b\cdot (-3)+c\\ \text{II}&-1&=& 1^2+b\cdot 1+c\\ \hline \text{I$

$b=2$ in $\(\text{II$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} -1&=&1+2+c & \\[5pt] -1&=&3+c &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] c&=&-4 & \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ p_1:x^2+2x-4}}$

Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ berechnen

Koordinaten des Scheitelpunkts $S_1$ der Parabel $p_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+2x-4 &\\[5pt] &=&x^2+2x+1^2-1^2-4 &\\[5pt] &=&(x+1)^2-1-4 &\\[5pt] y&=&(x+1)^2-5 & \end{array}$

Daraus folgt für den Scheitelpunkt: $\underline{ S_1(-1|-5)}$

Gleichung der Geraden $g$ ermitteln, die von den Punkten $S_1$ und $S_2$ festgelegt wird

Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+c$
Für den Steigungsfaktor $m$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & \scriptsize \mid\; S_1(x_1\mid y_1),\,S_2(x_2\mid y_2) \\[5pt] m&=&\dfrac{8-(-5)}{0-(-1)} \\[5pt] m&=&\dfrac{13}{1}=13 \end{array}$
Da $g$ durch $S_2(0|8)$ verläuft und $S_2$ auf der $y$ -Achse liegt, gilt: $c=y_2=8$

Somit gilt: $\underline{\underline{ g:y=13x+2}}$

Eine mögliche Gleichung der Geraden $h$ berechnen

Gleichung der Parabel $p_2$ ermitteln

Da $p_2$ eine nach unten geöffnete Normalparabel ist und ihr Scheitelpunkt $S_2(0|8)$ auf der $y$ -Achse liegt, gilt: $p_2:-x^2+c$
Da der Scheitelpunkt $S_2(0|8)$ auf der $y$ -Achse liegt, gilt auch: $c=8$

$\underline{ p_2:y=-x^2+8}$

Schnittpunkte von $p_1$ und $p_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& p_2&\\[5pt] x^2+2x-4&=& -x^2+8&\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \,\mid\,-8 \\[5pt] 2x^2+2x-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2+x-6&=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{5}{2}& \\[5pt] x_1&=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=2 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}=-3 \end{array}$

Lösungsvorschlag 1: $h$ verläuft durch den Punkt $T$ mit der $x$ -Koordinate $x_1=2$

$x_1=2$ in $p_2$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-x^2+8 \\[5pt] y&=&-2^2+8\\[5pt] y&=&4\\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt für diesen Schnittpunkt: $\underline{ T(2|4)}$

Gleichung der Gerade $h$ berechnen:

Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+c$
Da $h$ und $g$ parallel verlaufen, gilt für den Steigungsfaktor: $m=13$
Daraus folgt für $c:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c \quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt] c&=&y-mx \quad \scriptsize \mid\;T(2\mid 4),\,m=13 \\[5pt] c&=&4-13\cdot 2 \\[5pt] c&=&-22 \\[10pt] \end{array}$

$\underline{\underline{ h:y=13x-22}}$

Lösungsvorschlag 2: $h$ verläuft durch den Punkt $R$ mit der $x$ -Koordinate $x_2=-3$

$x_2=-3$ in $p_2$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-x^2+8 \\[5pt] y&=&-(-3)^2+8\\[5pt] y&=&-1\\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt für diesen Schnittpunkt: $\underline{ R(-3|-1)}$

Gleichung der Gerade $h$ berechnen:

Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+c$
Da $h$ und $g$ parallel verlaufen, gilt für den Steigungsfaktor: $m=13$
Daraus folgt für $c:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt] c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;R(-3\mid -1),\,m=13 \\[5pt] c&=&-1-13\cdot (-3) \\[5pt] c&=&38 \\[10pt] \end{array}$

$\underline{\underline{ h:y=13x+38}}$

Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ von $p_1$ und $p_2$ berechnen

Gleichung der Parabel $p_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{1}{4}\cdot x^2+c\quad \scriptsize \mid\; R\,(4\mid0) \\[5pt] 0 &=&\dfrac{1}{4} \cdot 4^2+c \\[5pt] 0 &=&4+c \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] c&=& -4\\[5pt] \end{array}$

$\underline{ p_1:y=\dfrac{1}{4}x^2-4}$

$x$ -Koordinaten der Schnittpunkte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& p_2 \\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2-4&=& -x^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2&=& -x^2+5 &\quad \scriptsize \,\mid\, +x^2 \\[5pt] \dfrac{5}{4}x^2&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{5}{4} \\[5pt] x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& \underline{ 2} \\[5pt] x_2&=& \underline{ -2} \\[5pt] \end{array}$

$y$ -Koordinaten der Schnittpunkte berechnen

$x=2$ in $p_2$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-x^2+1 \\[5pt] y&=& - 2^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -4+1 \\[5pt] y&=& -3 \end{array}$

Schnittpunkt 1: $\underline{\underline{ P(2\mid -3)}}$

$x=-2$ in $p_2$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-x^2+1 \\[5pt] y&=& - (-2)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -4+1 \\[5pt] y&=& -3 \end{array}$

Schnittpunkt 2: $\underline{\underline{ Q(-2\mid -3)}}$

Hat Mia recht?

Koordinaten des Scheitelpunkts $S_1$ der Parabel $p_1$ bestimmen

$p_1:y=\dfrac{1}{4}x^2-4\Rightarrow S_1(0|-4)$

Koordinaten des Scheitelpunkts $S_2$ der Parabel $p_2$ bestimmen

$p_2:y=-x^2+1\Rightarrow S_2(0|1)$

Gilt der Satz des Pythagoras im Dreieck $S_2QS_1$ ?

Falls ja $\Rightarrow$ Winkel $\beta$ ist ein rechter Winkel
Falls nein $\Rightarrow$ Winkel $\beta$ ist kein rechter Winkel

Länge der Strecke $\overline{S_2Q}^2$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{S_2Q}^2&=& \overline{S_2M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt] \overline{S_2Q}^2&=& (4\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2 \\[5pt] \overline{S_2Q}^2&=&\underline{ 20\,\text{LE}^2} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{S_1Q}^2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{S_1Q}^2&=& \overline{S_1M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt] \overline{S_1Q}^2&=& (1\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2 &\\[5pt] \overline{S_1Q}^2&=&\underline{ 5\,\text{LE}^2} \\[5pt] \end{array}$

Satz des Pythagoras anwenden

$\begin{array}[t]{rll} \overline{S_1S_2}^2&=& \overline{S_1Q}^2+\overline{S_2Q}^2\\[5pt] \overline{S_1S_2}^2&=& 5\,\text{LE}^2 + 20\,\text{LE}^2 \\[5pt] \overline{S_1S_2}^2&=& 25\,\text{LE}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{S_1S_2}&=& \underline{ 5\,\text{LE}} \end{array}$

An der Abbildung kann man ablesen, dass die Länge der Strecke $\overline{S_1S_2}$ tatsächlich $5\,\text{LE}$ beträgt. Der Satz des Pythagoras gilt hier also. Somit ist $\beta$ ein rechter Winkel. Gleiches gilt für den Winkel $\alpha.$

Mia hat also recht.

Lösung W4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?

$P(11)= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
$P(22)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(33)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{18}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gleiche Ziffern})&=&P(11)+P(22)+P(33) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}\\[5pt] &=&\dfrac{5}{18}\\[5pt] P(\text{Gleiche Ziffern})&=& 0,28 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\underline{\underline{ 28\,\%}}.$

Den Erwartungswert berechnen

Wahrscheinlichkeit berechnen, dass im Sichtfenster eine Zahl größer 40 angezeigt wird

$P(41)= \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(42)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(43)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{18}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Zahl} \gt40)&=&P(41)+P(42)+P(43) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}\\[5pt] &=&\underline{ \dfrac{1}{6}}\\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Niete angezeigt wird

$\quad P(\text{Niete})$

$\begin{array}[t]{rll} &=&1-P(\text{Gleiche Ziffern})-P(\text{Zahl} \gt40)\\[5pt] &=&1-\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{5}{9} \end{array}$

Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 3\,€ \cdot \dfrac{5}{18} + 5\,€\cdot \dfrac{1}{6} + 0\,€\cdot \dfrac{5}{9}-2\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& \dfrac{15}{18} \,€ + \dfrac{15}{18} \,€ -2\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& -\dfrac{1}{3}\,€ \\[5pt] E&\approx & -0,33\,€ \end{array}$

Wäre dies vorteilhaft?

Neues Baumdiagramm zeichnen

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern erscheint

$P(11)= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
$P(22)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(33)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gleiche Ziffern})&=&P(11)+P(22)+P(33) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}\\[5pt] P(\text{Gleiche Ziffern})&=&\underline{ \dfrac{1}{4}}\\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Zahl größer 40 angezeigt wird

$P(41)= \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(42)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(43)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$
$P(45)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$

$\quad P(\text{Zahl} \gt40)$

$\begin{array}[t]{rll} &=&P(41)+P(42)+P(43)+P(45) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}\\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Niete angezeigt wird

$\quad P(\text{Niete})$

$\begin{array}[t]{rll} &=&1-P(\text{Gleiche Ziffern})-P(\text{Zahl} \gt40) \\[5pt] &=&1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{12} \end{array}$

Neuen Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 3\,€ \cdot \dfrac{1}{4} + 5\,€\cdot \dfrac{1}{6} + 0\,€\cdot \dfrac{7}{12}-2\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& -\dfrac{5}{12}\,€ \\[5pt] E&\approx & \underline{ -0,42\,€} \end{array}$

Beim rechten Glücksrad eine der beiden Dreien durch eine Fünf zu ersetzen, ist sinnvoll, da der durschnittliche Gewinn für die Wohltätigkeitsveranstaltung mit $0,42\,€$ höher ist.

Eine mögliche Gleichung der Parabel angeben

Es gilt:

$y=ax^2+c$
Der höchste Punkt (= Scheitelpunkt) liegt bei $S (0\mid 3,6).$
Der Abwurfpunkt liegt bei $D (-2,8 \mid 2).$

Daraus folgt: $\underline{ c=3,6}$

Somit gilt für den Vorfaktor $a:$

$\begin{array}[t]{rll} y&=&ax^2+c &\quad \scriptsize \mid\;-\,c \\[5pt] ax^2&=&y-c &\quad \scriptsize \mid\;:x^2 \\[5pt] a&=&\dfrac{y-c}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; c=3,6, \, D(-2,8|2)\\[5pt] a&=&\dfrac{2-3,6}{(-2,8)^2} \\[5pt] a&=& \underline{ -0,20} \end{array}$

Eine mögliche Parabel lautet also $\underline{\underline{ p:y=-0,20x^2+3,6}}$

Trifft Theo bei diesem Wurf direkt in den Korb?

1. Schritt: Koordinaten des Korbringmittelpunkts ermitteln

$x$ -Koordinate: $4,7 \,\text{m}-2,8\,\text{m}=1,9\,\text{m} \Rightarrow x_\text{K}=1,9$
$y$ -Koordinate: Korbhöhe $=3,05\,\text{m} \Rightarrow y_\text{K}=3,5$

Daraus folgt: $\underline{ K(1,9|3,5)}$

2. Schritt: Punktprobe durchführen

$\begin{array}[t]{rll} y &=& -0,2x^2+3,6\quad \scriptsize \mid\; K(1,9|3,5)\text{ einsetzen}\\[5pt] 3,05 &=& -0,2 \cdot (1,9)^2+3,6 \\[5pt] 3,05 &\neq& 2,878\\[5pt] \end{array}$

Der Punkt liegt nicht auf der Parabel. Theo trifft bei diesem Wurf also nicht in den Korb.

Berührt Dennis den Ball, ohne hochzuspringen?

1. Schritt: Koordinaten des Punktes ermitteln, den Dennis mit ausgestreckten Händen und ohne hochzuspringen, erreicht

$x$ -Koordinate: $2,80 \,\text{m}-0,60\,\text{m}=2,20\,\text{m}$ links vom Ursprung $\Rightarrow x_\text{D}=-2,2$
$y$ -Koordinate: Höhe von Dennis mit nach oben gestreckten Armen $=2,30\,\text{m} \Rightarrow y_\text{D}=2,3$

Daraus folgt: $\underline{ D(-2,2|2,3)}$

2. Schritt: Flughöhe des Balls bei $x_D=-2,2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y &=& -0,2x^2+3,6\quad \scriptsize \mid\; x_\text{D}=-2,2\\[5pt] y &=& -0,2 \cdot (-2,2)^2+3,6 \\[5pt] y&=& \underline{ 2,63}\\[5pt] \end{array}$

Dennis kann den Ball mit ausgestreckten Händen nicht berühren, da der Ball $2,63\,\text{m}-2,3\,\text{m}=0,33\,\text{m}$ höher fliegt.