Wahlbereich

Aufgabe W1

Das rechtwinklige Dreieck $ABD$ und das gleichschenklige Dreieck $ABC$ haben die Seite $\overline{AB}$ gemeinsam.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&=&7,2 \text{ cm} & \\[5pt] \overline{DE}&=&3,0 \text{ cm} & \\[5pt] \alpha&=&42,0^{\circ} & \\[5pt] \overline{AC}&=&\overline{BC} \end{array}$

Berechne den Abstand des Punktes $E$ von $\overline{AB}$ sowie den Winkel $\gamma$ .

5,5 P

Gegeben sind ein rechtwinkliges Trapez $ABCD$ und ein regelmäßiges Sechseck.

Wahlbereich Sechseck Trapez Eckpunkte Flächeninhalt

Die Eckpunkte des Sechsecks liegen auf den Seiten des Trapezes.

Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass für den Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$ gilt:

$A=8e^2\sqrt{3}$

Gib die Länge der Diagonale $\overline{AC}$ ohne Verwendung gerundeter Werte an.

4,5 P

Aufgabe W2

Für einen Zylinder gilt:

$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,5 \text{ cm} \\[5pt] h&=&12,0 \text{ cm} \end{array}$

Die Mantelfläche des Zylinders wird abgerollt.

Diagramm mit Zickzack-Linien und einer Höhe, die durch die Buchstaben

Mit den Einzelteilen dieses Rechtecks wird die Mantelfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide vollständig beklebt.

Berechne das Volumen dieser Pyramide.

5 P

Die Eckpunkte des gleichschenkligen Trapezes $ABCD$ liegen auf den Kanten bzw. Eckpunkten einer quadratischen Pyramide.

Pyramide mit Trapez - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} O_{Pyr}&=&357 \text{ cm}^2 \\[5pt] a&=&10,0 \text{ cm} \\[5pt] \overline{AB}&=&\overline{BS} \end{array}$

Berechne den Umfang des Trapezes $ABCD.$

5 P

Aufgabe W3

Graph mit drei Funktionen in verschiedenen Farben auf einem Koordinatensystem.

Drei Gleichungen - drei Graphen

$\begin{array}[t]{rll} \text{(A) } y&=&ax^2-1 \\[5pt] \text{(B) } y&=&x^2-6x+5 \\[5pt] \text{(C) } y&=&x^2+4x+c \end{array}$

Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?
Begründe deine Entscheidung.

Vervollständige die Funktionsgleichungen von $(A)$ und $(C)$ .

Die Gerade $g$ geht durch die Scheitelpunkte von $p_2$ und $p_3$ .
Berechne die Funktionsgleichung von $g$ .

Weise rechnerisch nach, dass der Scheitelpunkt von $p_1$ ebenfalls auf $g$ liegt.

5 P

Die Parabel $p_1$ mit $y=\frac{1}{4}x^2-4$ und die nach oben geöffnete Normalparabel $p_2$ mit dem Scheitel $S_2(1,5|-3,25)$ haben einen gemeinsamen Punkt $R$ .
Die Gerade $h$ geht durch den Ursprung $(0|0)$ und den Punkt $R$ .
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $h.$

Die Schnittpunkte der Parabel $p_1$ mit der $x$ -Achse und der Punkt $R$ bilden ein Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

Bastian behauptet:
„Die Gerade $h$ halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks.“
Hat Bastian recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.

5 P

Aufgabe W4

Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung wird ein Glücksrad eingesetzt.

Kreisdiagramm mit Emojis, die verschiedene Emotionen darstellen: glücklich, neutral und traurig.

Die Mittelpunktswinkel betragen $60^{\circ}\text{, } 90^{\circ} \text{und } 210^{\circ}$ .

Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man höchstens einmal das Symbol 😊 ?

Das Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet.
Berechne den Erwartungswert unter Berücksichtigung des untenstehenden Gewinnplans.

Ereignisse	Gewinn
zweimal 😊	4,00€
zweimal 😐	2,00€
sonstige	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: 0,50€

Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird.
Wie hoch muss der Gewinn für das Ereignis „ zweimal 😊 “ sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

5,5 P

Die Lupu-Brücke überspannt den Fluss Huangpu in Shanghai.

Grafische Darstellung einer Brücke über Wasser mit grüner und blauer Farbgebung.

Sie ist die zweitlängste Bogenbrücke der Welt und hat annähernd die Form einer Parabel.
Sie kann mit der Funktionsgleichung $y=ax^2+c$ beschrieben werden.

Die Bogenbrücke hat auf Höhe der Wasseroberfläche eine Weite von 550 m.
Die Fahrbahn befindet sich 50 m über der Wasseroberfläche.
Das ist die Hälfte der maximalen Höhe der Brücke.

Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung für den Brückenbogen.

Berechne die Länge der Fahrbahn innerhalb des Brückenbogens.

4,5 P

Lösung W1

Abstand von $\boldsymbol{E}$ zu $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

Skizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017 Wahlteil

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{AD}} \\[5pt] \sin(42,0^{\circ})&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD}\\[5pt] \sin(42,0^{\circ})\cdot \overline{AD}&=& 7,2 \,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \sin(42,0^{\circ}) \\[5pt] \overline{AD}&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\sin(42,0^{\circ})} \\[5pt] \overline{AD}&=& \underline{10, 76 \,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& \overline{AD}-\overline{DE} \\[5pt] &=& 10,76 \,\text{cm} - 3,0 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{7,76 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Abstand bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\overline{ES} = \underline{\underline{5,2 \,\text{cm}}}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} \\[5pt] \tan(42,0^{\circ})&=& \dfrac{7,2\,\text{cm}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt] \tan(42,0^{\circ})\cdot \overline{AB} &=& 7,2\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha) \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\tan(42,0^{\circ})} \\[5pt] \overline{AB}&=& 8,00 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{8\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\overline{AS}= \underline{5,77 \,\text{cm}}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BS}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BS}&=& \overline{AB} - \overline{AS} \\[5pt] &=& 8 \,\text{cm} - 5,77 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{2,23 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\beta)&=&\dfrac{\overline{ES}}{\overline{BS}} \\[5pt] \tan (\beta)&=&\dfrac{5,19\text{ cm}}{2,23 \,\text{cm} } &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \beta&=& \underline{66,75^{\circ}} \end{array}$

5. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& 180^{\circ}-2\cdot \beta \\[5pt] &=& 180^{\circ}-2\cdot 66,75^{\circ} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 46,5^{\circ}}} \end{array}$

Skizze Trapez - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

1. Schritt: Innenwinkel des Sechsecks berechnen

Winkelsumme in einem Sechseck:

$(6-2)\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$

In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.

$\alpha = 720^{\circ} : 6 = 120^{\circ}$

2. Schritt: Höhe des Trapezes berechnen

$\overline{AD}=2\cdot \overline{AE}$

$\beta = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} -120^{\circ} = 60^{\circ}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{EF}} \\[5pt] \sin (60^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AE}}{2e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2e \\[5pt] \sin (60^{\circ}) \cdot 2e &=& \overline{AE}\\[5pt] \overline{AE}&=& \sin (60^{\circ}) \cdot 2e\\[5pt] \overline{AE}&=& \sqrt{3}e \\[5pt] \end{array}$

$\overline{AD} =2 \cdot \overline{AE} = \underline{ 2\cdot \sqrt{3}e}$

3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2+\overline{AF}^2&=&\overline{EF}^2 \\[5pt] \left(\sqrt{3}e\right)^2+\overline{AF}^2 &=& (2e)^2\\[5pt] 3e^2+\overline{AF}^2 &=& 4e^2 &\quad \scriptsize \mid \; -3e^2\\[5pt] \overline{AF}^2 &=& e^2&\quad\scriptsize\mid \;\sqrt{\;}\\[5pt] \overline{AF} &=& \underline{ e} \end{array}$

4. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{GB}}$ bestimmen

Im Dreieck $GBH$ sind zwei der Innenwinkel Nebenwinkel zu jeweils einem der Innenwinkel des Sechsecks und somit genau wie $\beta$ $60^{\circ}$ groß.
Somit sind alle Innenwinkel von $GBH$ gleich groß und es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $2e.$

$\overline{GB} = \underline{ 2e}$

5. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\overline{DI} = \overline{AF} = e$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DC}&=&\overline{DI} + \overline{IC} \\[5pt] &=& e + 2e \\[5pt] &=& \underline{ 3e} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \overline{AF} + \overline{FG}+ \overline{GB} \\[5pt] &=& e + 2e + 2e \\[5pt] &=& \underline{ 5e} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABCD}&=&\frac{1}{2}\cdot \left(\overline{AB} + \overline{DC} \right) \cdot \overline{AD} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(5e + 3e \right) \cdot 2\cdot \sqrt{3}e \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 8 e^2\sqrt{3}}} \end{array}$

Länge der Diagonale $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& \overline{AD}^2 +\overline{DC}^2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=& \left( 2\cdot \sqrt{3}e\right)^2 + \left( 3e\right)^2\\[5pt] \overline{AC}^2 &=& 21e^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AC} &=& \underline{\underline{ \sqrt{21}e}} \end{array}$

Lösung W2

Zylindermantel - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

1. Schritt: Umfang $\boldsymbol{u}$ der Zylindergrundfläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u &=& 2\cdot \pi\cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 3,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7\pi\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 21,99\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Pyramidengrundkante $\boldsymbol{g}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 2,5\cdot g &=& u \\[5pt] 2,5\cdot g &=& 21,99\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\[5pt] g &=& \underline{ 8,80\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_g}$ bestimmen

Pyramide Skizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& \dfrac{360^{\circ}}{5} \\[5pt] &=& 72^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{g}{2}}{h_g}\\[5pt] \tan\left(\frac{72^{\circ}}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{ 8,80\,\text{cm}}{2}}{h_g} \\[5pt] \tan\left(36^{\circ}\right)&=& \dfrac{ 4,40\,\text{cm}}{h_g} \quad \scriptsize \mid\; \cdot h_g\\[5pt] \tan\left(36^{\circ}\right)\cdot h_g &=& 4,40\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\tan\left(36^{\circ}\right)\\[5pt] h_g &=& \dfrac{4,40 \,\text{cm}}{\tan(36^{\circ})} \\[5pt] h_g &=&\underline{6,06 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Höhe der Pyramide $\boldsymbol{h_P}$ bestimmen

Rechenweg anzeigen

$h_P = \underline{ 10,36 \,\text{cm}}$

5. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_P \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot 5\cdot \dfrac{ g\cdot h_g}{2} \cdot h_P \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5\cdot 8,80\,\text{cm}\cdot 6,06 \,\text{cm}}{2} \cdot 10,36 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 460 \,\text{cm}^3}} \end{array}$

Pyramide Seitenhöhe - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

1. Schritt: Seitenhöhe $\boldsymbol{h_s}$ der Pyramide berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_s = \underline{ 12,85\,\text{cm}}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}^2&=& h_s^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] \overline{AS}^2&=& (12,85\text{ cm})^2 + \left(\frac{10,0\,\text{cm}}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{AS}&=& \underline{ 13,79 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{a}{2}}{h_s} \\[5pt] \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{10,0\,\text{cm}}{2}}{12,85 \,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \frac{\beta}{2}&=& 21,26 ^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\\[5pt] \beta&=& \underline{ 42,52 ^{\circ}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ mit Hilfe der Strecke $\boldsymbol{\overline{BS}}$ berechnen

Pyramide Mittelpunkt - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SM}&=& \overline{AS}:2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 13,79 \,\text{cm}:2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 6,90\,\text{cm}} \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$\overline{BS} = \underline{ 9,36 \,\text{cm}}$

$\overline{AB} = \overline{DC} = \overline{BS} = 9,36 \,\text{cm}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

Es gilt:

$\overline{SE} = \overline{AS} = 13,79 \,\text{cm}$

$\overline{EF} = a = 10,0\,\text{cm}$

Wegen des Strahlensatzes gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}} &=&\dfrac{\overline{BS}}{\overline{SE}}\\[5pt] \dfrac{\overline{BC}}{10,0\,\text{cm}} &=&\dfrac{9,36 \,\text{cm}}{13,79 \,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 10,0\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BC}&=& \dfrac{9,36\,\text{cm}}{13,79\,\text{cm}}\cdot 10,0\,\text{cm} \\[5pt] \overline{BC}&=& \underline{ 6,79 \,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Umfang $\boldsymbol{U}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} & u_{ABCD}\\[5pt] =&\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD} \\[5pt] =& 9,36\,\text{cm}+6,79\,\text{cm}+9,36\,\text{cm}+10,0\,\text{cm} \\[5pt] =& \underline{\underline{ 35,5 \,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung W3

Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?

Gleichung $\boldsymbol{(A)}$
Da der Graph $p_3$ im Vergleich zu einer Normalparabel entlang der $y$ -Achse gestaucht ist, kann er nur zur Gleichung $(A)$ gehören. Die Parabel wird durch den Parameter $a$ gestaucht.

Gleichung $\boldsymbol{(B)}$
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+5 \\[5pt] &=& x^2-2\cdot 3x+5 \\[5pt] &=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+5 \\[5pt] y&=&(x-3)^2-4 \end{array}$

$\underline{ S_B(3\mid-4)}$

Da $p_3$ bereits Gleichung (A) zugeordnet ist und der Scheitelpunkt von $p_1$ nicht den Koordinaten von $S_B$ entspricht, muss $p_2$ zu Gleichung $B$ gehören.

Gleichung $\boldsymbol{(C)}$
Da $p_1$ als einziger Graph übrig bleibt, kann dieser per Ausschlussverfahren der Gleichung $(C)$ zugeordnet werden.

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{(A)}$ vervollständigen

Einen Punkt des Graphen ablesen und in die Gleichung $p_3$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2-1 \quad \scriptsize (2\mid 0)\\[5pt] 0&=& a\cdot 2^2-1 \\[5pt] 0&=& 4a-1 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 1&=& 4a \quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4}&=& a \\[5pt] a&=&\underline{ \dfrac{1}{4}} \end{array}$

$\underline{\underline{ (A)\quad y=\dfrac{1}{4}x^2-1}}$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{(C)}$ vervollständigen

Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:

$\begin{array}[t]{rll} y &=& x^2+4x+q \\[5pt] &=& x^2+2\cdot 2x+q \\[5pt] &=& x^2+2\cdot 2x + 2^2-2^2+q\\[5pt] y&=&\underline{ (x+2)^2-4+q} \end{array}$

$\underline{S_C(-2\mid-4+q)}$

Aus dem Schaubild von $p_1$ lässt sich der Scheitelpunkt $S_C(-2\mid1)$ ablesen.

$\begin{array}[t]{rll} -4+q&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] q&=&\underline{ 5} \end{array}$

$\underline{\underline{ (C)\quad y=x^2+4x+5}}$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ berechnen

Die Gerade $g$ geht durch die Scheitelpunkte $S_B(3\mid-4)$ und $S_A(0\mid-1)$ und wird durch die Gleichung $y=mx+b$ bestimmt.

$S_A$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -1&=& m\cdot 0 +b \\[5pt] b&=& -1 \end{array}$

$S_B$ und $b=-1$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -4&=& m\cdot 3-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] -3&=& 3m &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] -1&=& m \\[5pt] m&=& -1 \end{array}$

$\underline{\underline{ g:\; y=-x-1}}$

Rechnerisch nachweisen, dass der Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_C}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt

$S_C(-2\mid1)$ in $y=-x-1$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&-(-2)-1 \\[5pt] 1&=&1 \end{array}$

Der Scheitelpunkt $S_C$ von $p_1$ liegt somit auf $g.$

1. Schritt: Gleichung der Parabel $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen

Durch die Angabe des Scheitelpunkts von $p_2$ lässt sich die Scheitelpunktform bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} p_2:\; y&=&(x-1,5)^2-3,25 \\[5pt] &=& x^2-3x+2,25-3,25 \\[5pt] &=& x^2-3x-1 \end{array}$

$\underline{ p_2:y=x^2-3x-1}$

2. Schritt: Koordinaten des Punkts $\boldsymbol{R}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$x=2$

$x$ in $p_1$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{1}{4}\cdot2^2-4 \\[5pt] &=& -3 \end{array}$

$\underline{ R(2\mid -3)}$

3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ bestimmen

$h$ verläuft durch den Ursprung $U(0\mid 0)$ sowie $R(2\mid -3)$ und ist durch die Gleichung $h:\, y=mx+b$ definiert.

Koordinaten von $U$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} h:\; y&=& m\cdot x+b \\[5pt] 0&=& m\cdot 0+b \\[5pt] 0&=& b \\[5pt] b &=& 0 \end{array}$

$R$ und $b$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} h:\; y&=& m\cdot x+b \\[5pt] -3&=& m\cdot 2+0 \\[5pt] -3&=& 2m &\scriptsize \mid \; :2 \\[5pt] -\dfrac{3}{2} &=& m \\[5pt] m &=& -\dfrac{3}{2} \end{array}$

$\underline{\underline{ h:\; y=-\dfrac{3}{2}x}}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{D_{N_1RN_2}}$ bestimmen

1. Schritt: Eckpunkte $\boldsymbol{N_1}$ und $\boldsymbol{N_2}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4}x^2-4 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2 &=& 4 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] x^2&=& 16 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x&=&\underline{ \pm 4} \end{array}$

Die Eckpunkte des Dreiecks $D_{N_1RN_2}$ sind $\underline{ N_1(4\mid 0)},$ $\underline{ N_2(-4\mid 0)}$ und $\underline{ R(2\mid-3)}.$

2. Schritt: Flächeninhalt bestimmen

$g= \overline{N_1N_2}$ kann als Grundseite des Dreiecks gewählt werden.
Da $N_1$ und $N_2$ auf der $x$ -Achse liegen, gilt:

$g= \overline{N_2N_1} = \left|x_1-x_2 \right| = 4-(-4) =\underline{ 8\,\text{LE}}$

Die zugehörige Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $R$ zur $x$ -Achse, also dem Betrag von $y_R.$

$h= \left|y_R \right| = \underline{3\,\text{LE}}$

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 8\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}\\[5pt] &=& \underline{\underline{ 12 \,\text{FE}}} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $N_1RN_2$ enstpricht $12\,\text{FE}.$

Bastians Aussage prüfen

Rechnerische Begründung

Um Bastians Aussage zu prüfen, muss der Flächeninhalt eines der Teildreiecke berechnet werden.
$h$ geht durch den Ursprung $U$ und den Punkt $R.$
Somit gilt für die Grundseite des Teildreiecks $N_1UR:$

$g_{\,\text{neu}}=4\,\text{LE}$

Die Höhe $h$ bleibt gleich.

$\begin{array}[t]{rll} A_{N_1UR}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6 \,\text{FE} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Teildreiecks $N_1UR$ enstpricht genau der Hälfte des Flächeninhaltes des Dreiecks $N_1RN_2.$
Somit ist Bastians Behauptung richtig.

Argumentative Begründung

Die Höhe beider Teildreiecke entspricht weiterhin dem Abstand von $R$ zur $x$ -Achse. Diese bleibt für beide Teildreiecke also unverändert.
Die Gerade $h$ verläuft durch den Ursprung und halbiert damit die Grundseite des Dreiecks $N_1N_2R.$
Dadurch, dass die Höhe gleich bleibt und die Grundseite halbiert wird, wird insgesamt auch der Flächeninhalt halbiert.
Bastian hat also recht.

Lösung W4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man höchstens einmal das Symbol 😊?

1. Schritt: Anteile der Felder berechnen

😊: $\;\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{6}$

😐: $\;\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{4}$

🙁: $\;\dfrac{210^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{7}{12}$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Emoji Glücksrad - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

Berechnung des Erwartungswerts

Wie hoch muss der Gewinn für das Ereignis „ zweimal 😊 “ bei einem fairen Spiel sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

$x:\;$ neuer Gewinn bei „ zweimal 😊 “

Für ein faires Spiel muss der Gewinn für „ zweimal 😊 “ 13,50 € betragen, wenn alles andere unverändert bleiben soll.

Eine mögliche Funktionsgleichung für den Brückenbogen bestimmen

1. Schritt: Gegebene Punkte einzeichnen

Die $x$ -Achse kann auf Höhe der Wasseroberfläche eingezeichnet werden.
Die $y$ -Achse verläuft durch den höchsten Punkt der Parabel.
Der höchste Punkt der Brücke liegt $500\,\text{m}$ über der Wasseroberfläche. Er kann mit $A(0\mid 100)$ beschrieben werden.
Die Brücke ist $550\,\text{m}$ lang. Die beiden Schnittpunkte der Parabel mit der $x$ -Achse haben also die $x$ -Koordinaten $x_{1/2} = \pm \frac{550}{2}= \pm 275.$

2. Schritt: Funktionsgleichung bestimmen

Wegen $A(0\mid 100)$ gilt $\underline{ c=100}.$

$C(275\mid 0)$ und $c=100$ einsetzen in $y=ax^2+c:$

$\begin{array}[t]{rll} y &=& ax^2 + c \\[5pt] 0&=& a\cdot 275^2+100 \quad \scriptsize \mid\; -a\cdot 275^2 \\[5pt] -275^2\cdot a &=& 100 \quad \scriptsize \mid\; : (-275^2) \\[5pt] a&=& \underline{ -\dfrac{4}{3025}} \end{array}$

Eine mögliche Funktionsgleichung für den Brückenbogen lautet also:

$\underline{\underline{ y=-\dfrac{4}{3025}x^2+100}}$

Länge der Fahrbahn innerhalb des Brückenbogens berechnen

Der Verlauf der Fahrbahn kann durch die Gerade mit der Gleichung $y=50$ beschrieben werden.

$\begin{array}[t]{rll} 50&=&-\frac{4}{3025}x^2+100 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{4}{3025}x^2 ;-50 \\[5pt] \frac{4}{3025}x^2&=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3025}{4} \\[5pt] x^2&=& \frac{75625}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] x_{1/2}&=& \underline{ \pm 194,45}\\[5pt] \end{array}$

Damit gilt für die Länger der Fahrbahn $l$ :

$\begin{array}[t]{rll} l&=& |x_1|+|x_2| \\[5pt] &=& |194,45|+|-194,45| \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 388,9\,\text{m}}} \end{array}$

Somit beträgt die Länge der Fahrbahn $388,9\,\text{m}.$