Pflichtteil A2

Aufgabe 1

Im Rechteck $A B C D$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC} & = &4,6 \mathrm{~cm} \\ \overline{CE} & =& 7,2 \mathrm{~cm} \\ \varepsilon & =& 49,0^{\circ} \end{array}$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD.$

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(4 P)

Aufgabe 2

Eines der Manteldreiecke der regelmäßigen fünfseitigen Pyramide ist grau gefärbt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{B S} &=& 12,0\,\text{cm} \\ \varphi &=& 40,0^{\circ} \end{array}$

Berechne das Volumen der Pyramide.

(3,5 P)

Aufgabe 3

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen und drei Graphen.

$(A)\,\, y=-\dfrac{1}{2} x^2+3\quad$ $(B)\,\, y=(x-3)^2+e\quad$ $(C)\,\, y=x^2+4 x+5$

Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?
Begründe deine Entscheidung.
Bestimme den Wert für $e$ mithilfe des Schaubildes.

Die Gerade $g$ verläuft durch den Scheitelpunkt $S_2$ von $p_2$ und durch den Punkt $P(0 \mid 2).$

Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $g.$

(3,5 P)

Aufgabe 4

Melina und Paul besitzen Fußball-Sammelbilder. In Pauls Schuhkarton liegen 20 Sammelbilder von Nationalspielern.
Die Tabelle zeigt deren Verteilung auf drei Nationalmannschaften.

Nationalmannschaft	Anzahl der Sammelbilder
Frankreich	9
Deutschland	6
Portugal	5

Melina zieht zwei Sammelbilder gleichzeitig.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf den beiden gezogenen Sammelbildern

portugiesische Spieler abgebildet sind?
höchstens ein deutscher Spieler abgebildet ist?
kein französischer Spieler abgebildet ist?

(3 P)

Aufgabe 5

Löse die Gleichung.

$(x-3)(1+x)-(x-4)^2=x(x-3)-1$

(3 P)

Aufgabe 6

Das Diagramm zeigt die Entwicklung der Nutzerzahlen der App „Perfect Fit“.

Um wie viel Prozent ist die Anzahl der Nutzer von 2020 bis 2022 insgesamt gestiegen?

Im Jahr 2023 stiegen die Nutzerzahlen um $19,1 \,\%$ gegenüber dem Vorjahr an.

Zeichne die Säule des Jahres 2023 in das Diagramm ein.

Von den 10- bis 19-jährigen Nutzern im Jahr 2022 sind $47\,500$ Mädchen.

Berechne den prozentualen Anteil der Mädchen an den 10- bis 19-jährigen Nutzern.

(3 P)

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Lösung 1

1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{CF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin \varepsilon&=& \dfrac{\overline{CF}}{\overline{CE}} \\[5pt] \sin 49,0°&=& \dfrac{\overline{CF}}{7,2\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,2\,\text{cm} \\[5pt] \sin 49,0°\cdot 7,2\,\text{cm}&=& \overline{CF} \\[5pt] \underline{5,43\,\text{cm}}&=& \overline{CF} \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen

$\gamma_2=180,0°-49,0°-90,0°=\underline{41,0°}$

3. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_3}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos \gamma_3&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{CF}} \\[5pt] \cos \gamma_3&=& \dfrac{4,6\,\text{cm}}{5,43\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \gamma_3&=& \underline{32,1°} \end{array}$

4. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_1}$ berechnen

$\gamma_1=90,0°-41,0°-32,1°=\underline{16,9°}$

5. Schritt: $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos \gamma_1&=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{CE}} \\[5pt] \cos 16,9°&=& \dfrac{\overline{CD}}{7,2\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,2\,\text{cm} \\[5pt] \cos 16,9°\cdot 7,2\,\text{cm}&=& \overline{CD} \\[5pt] \underline{6,89\,\text{cm}}&=& \overline{CD} \end{array}$

6. Schritt: Umfang des Rechtecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2\cdot \overline{BC}+2\cdot \overline{CD} \\[5pt] &=& 2\cdot 4,6\,\text{cm}+2\cdot 6,89\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{\underline{23,0\,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung 2

1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{BC}=\underline{8,21\,\text{cm}}$

2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_S}$ einer Seitenfläche berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_S=\underline{11,28\,\text{cm}}$

3. Schritt: $\boldsymbol{h_a}$ berechnen

Der Innenwinkel eines Kreises beträgt $360°.$ Da es sich um ein regelmäßiges Fünfeck handelt, hat der eingezeichnete Winkel eine Größe von $\dfrac{360°}{10}=36°.$

$\begin{array}[t]{rll} \tan 36°&=& \dfrac{\frac{1}{2}\overline{BC}}{h_a} \\[5pt] \tan 36°&=& \dfrac{\frac{1}{2}\cdot 8,21\,\text{cm}}{h_a} \quad \scriptsize \mid\;\cdot h_a \\[5pt] \tan 36°\cdot h_a&=& \dfrac{1}{2}\cdot 8,21\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\tan 36° \\[5pt] h_a&=& \dfrac{\frac{1}{2}\cdot 8,21\,\text{cm}}{\tan 36°} \\[5pt] h_a&=& \underline{5,66\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: $\boldsymbol{h_\textbf{Pyr}}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_\text{Pyr}= \underline{9,76\,\text{cm}}$

5. Schritt: Volumen berechnen

Rechenweg anzeigen

$V= \underline{\underline{378\,\text{cm}^3}}$

Lösung 3

Graphen zu Funktionsgleichungen zuordnen

$(A)\rightarrow p_3:$
Der Graph der Funktion ist nach unten geöffnet.

$(B)\rightarrow p_2:$
Der Graph der Funktion ist um drei Einheiten nach rechts und um vier nach unten verschoben. Für $e=-4$ lässt sich der Scheitelpunkt direkt aus der Scheitelpunktform ablesen.

$(C)\rightarrow p_1:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+4x+5 \\[5pt] &=& x^2+4x+4-4+5 \\[5pt] &=& (x+2)^2+1 \end{array}$

Es lässt sich der zur Parabel $p_1$ passende Scheitelpunkt $S(-2\mid 1)$ ablesen.

Wert $\boldsymbol{e}$ bestimmen

Die Parabel ist um vier Einheiten nach unten verschoben. Daher gilt $\underline{\underline{e=-4}}.$

Funktionsgleichung der Geraden bestimmen

$S_2(3\mid -4)\quad P(0\mid 2)$

Steigung $m$ berechnen:

$m=\dfrac{-4-2}{3-0}=-2$

Aus den Koordinaten des Punktes $P(0\mid 2)$ lässt sich direkt der $y$ -Achsenabschnitt $c=2$ ablesen.

Damit ergibt sich insgesamt:

$\underline{\underline{g:y=-2x+2}}$

Lösung 4

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{zwei portugiesische Spieler}) \\[5pt] =& \dfrac{5}{20}\cdot \dfrac{4}{19} \\[5pt] =& \underline{\underline{\dfrac{1}{19}=5,3\,\%}} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{höchstens ein deutscher Spieler}) \\[5pt] =& 1-P(\text{zwei deutsche Spieler}) \\[5pt] =& 1-\dfrac{6}{20}\cdot \dfrac{5}{19} \\[5pt] =& \underline{\underline{\dfrac{35}{38}=92,1\,\%}} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{kein französischer Spieler}) \\[5pt] =& \dfrac{5+6}{20}\cdot \dfrac{5+6-1}{19} \\[5pt] =& \underline{\underline{\dfrac{11}{38}=28,9\,\%}} \end{array}$

Lösung 5

Rechenweg anzeigen

$0= x^2-9x+18$

Mit der pq-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-9}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-9}{2}\right)^2-18} \\[5pt] &=& 4,5\pm 1,5 \end{array}$

$\underline{\underline{x_1=6}}\quad \underline{\underline{x_2=3}}$

Lösung 6

Zuwachs berechnen

$:34$

$\cdot 42$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 340\,000 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 10\,000 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{34}\,\%\\[5pt] 420\,000 & \mathrel{\widehat{=}}& 123,5\,\% \end{array}$