Pflichtteil A2

Aufgabe 1

Im Viereck $ABCD$ gilt:

$\overline{AE}=7,6\,\text{cm}$
$\overline{BE}=5,9\,\text{cm}$
$\beta=52,0^\circ$
$\gamma=113,0^\circ$

Berechne die Länge $\overline{AD}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $ACD.$

(Skizze nicht maßstäblich)

(4 P)

Aufgabe 2

Gegeben ist eine quadratische Pyramide.

Es gilt:

$s=6,2\,\text{cm}$
$\alpha=58^\circ$

Berechne das Volumen der Pyramide.

Diagramm eines geometrischen Körpers mit Winkeln und Linien. Beschriftungen: s und α.

(Skizze nicht maßstäblich)

(3 P)

Aufgabe 3

Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p$ hat die Funktionsgleichung $p:y=x^2-8x+4$ mit dem Scheitelpunkt $S.$ Der Punkt $A(2\mid y_p)$ liegt auf der Parabel $p.$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AS}.$

(3 P)

Aufgabe 4

Ein nicht idealer Würfel wird zweimal geworfen. Die Abbildung zeigt diesen Würfel.

Schwarze Dominosteine auf einem weißen Hintergrund in einer Kreuzform angeordnet.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Pasch (zwei gleiche Augenzahlen) gewürfelt wird.
Wie lautet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme der beiden Würfe 5 beträgt?
Würde man eine Augenzahl 2 durch eine 3 ersetzen, ändert sich dann die Wahrscheinlichkeit? Begründe deine Entscheidung.

(3 P)

Aufgabe 5

Die Klasse 10a wurde über ihre Schuhgrößen befragt. Die Angaben der 10 Mädchen und 8 Jungen sind wie folgt:

Mädchen	Jungen
37	40
36	39
36	41
38	40
38	39
39	42
36	40
39	39
37
38

Um wie viel Prozent liegt das arithmetische Mittel der Schuhgrößen der Jungen über dem der Mädchen?
Gib den Median (Zentralwert) der beiden Datenreihen an.
Ändert sich der Median, wenn bei den Mädchen die Angaben von Emilia (39 statt vorher 38), Lea (37 statt vorher 36) und Mia (36 statt vorher 37) nachträglich geändert wurden?

(3 P)

Aufgabe 6

Mias Schwester hat Ende Januar an der Börse 1000 € in eine Aktie eines Elektroautobauers investiert. Das Schaubild zeigt den Wert dieser Aktie jeweils am Monatsende.

Diagramm mit monatlichen Werten von Januar bis Juni, zeigt Trends in Euro.

Um wie viel Prozent ist der Wert der Aktie von Ende Februar bis Ende Juni gestiegen?
Wie hoch ist der Wert des investierten Kapitals Ende Juni?
Angenommen, Mias Schwester hätte das Geld bei einer Bank angelegt, welchen gleichbleibenden Zinssatz hätte die Bank anbieten müssen, damit in 2 Jahren der Wertzuwachs genauso hoch gewesen wäre? Ist das realistisch?

(4 P)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung 1

Länge der Strecke $\overline{AD}$ berechnen

1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma_2&=&180^{\circ}-\beta-90^{\circ} \\[5pt] \gamma_2&=&180^{\circ}-52^{\circ}-90^{\circ} \\[5pt] \gamma_2&=&\underline{ 38^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\gamma_1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma_1&=&\gamma-\gamma_2 & \\[5pt] \gamma_1&=&113^{\circ}-38^{\circ} \\[5pt] \gamma_1&=&\underline{ 75^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{BE} \\[5pt] \overline{CE}&=&\tan(\beta)\cdot \overline{BE} \\[5pt] &=&\tan(52^{\circ})\cdot 5,9\,\text{cm} \\[5pt] \overline{CE}&=&\underline{ 7,55\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CG}}$ berechnen

Es gilt: $\overline{DG}=\overline{AE}=7,6\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma_1)&=&\dfrac{\overline{DG}}{\overline{CG}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{CG} \quad \scriptsize \mid\;:\tan(\gamma_1) \\[5pt] \overline{CG}&=&\dfrac{\overline{DG}}{\tan(\gamma_1)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,6\,\text{cm}}{\tan(75^{\circ})} \\[5pt] \overline{CG}&=&\underline{ 2,04\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EG}&=&\overline{CE}-\overline{CG} \\[5pt] &=&7,55\,\text{cm}-2,04\,\text{cm} \\[5pt] \overline{EG}&=& 5,51\,\text{cm}\\[5pt] \overline{EG}&=&\underline{\underline{ 5,5\,\text{cm}=\overline{AD}}}\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ACD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{DG} \quad \scriptsize\; \overline{DG}=\overline{AE}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5,5\,\text{cm} \cdot 7,6\,\text{cm} \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 20,9\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung 2

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{h_a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h_a}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\, s\\[5pt] h_a&=&\sin(\alpha)\cdot \, s \\[5pt] &=&\sin(58^{\circ})\cdot 6,2\,\text{cm} \\[5pt] h_a&=&\underline{ 5,26\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h_{a}\,^2 \quad \scriptsize \mid\; -\,h_a\,^2 \\[5pt] \left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&s^2-h_a\,^2 \\[5pt] \left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&(6,2\,\text{cm})^2-(5,26\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \dfrac{a}{2}&=&\sqrt{(6,2\,\text{cm})^2-(5,26\,\text{cm})^2} \\[5pt] \dfrac{a}{2}&=&3,28\,\text{cm}\quad \scriptsize \mid\;\cdot\, 2 \\[5pt] a&=&\underline{ 6,56\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{h}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_a\,^2&=&\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2 \quad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=&h_a\,^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=&(5,26\,\text{cm})^2-(3,28\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] h&=&\sqrt{(5,26\,\text{cm})^2-(3,28\,\text{cm})^2} \\[5pt] h&=&\underline{ 4,11\,\text{cm} }\\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot (6,56\,\text{cm})^2\cdot 4,11\,\text{cm}\\[5pt] V&=&\underline{\underline{ 59\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Lösung 3

1. Schritt: Scheitelpunkt über die Scheitelpunktform ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-8x+4& \\[5pt] y&=&x^2-8\cdot x+4\quad \scriptsize \mid\ \,\text{quadr. Ergänzung} \\[5pt] y&=&x^2-8\cdot x+16-16+4 \\[5pt] y&=&(x-4)^2-16+4 \\[5pt] y&=&(x-4)^2-12 \\[5pt] \end{array}$

$\underline{ {S}(4\mid-12)}$

2. Schritt: Fehlende $y$ -Koordinate von Punkt $A$ berechnen

$A$ in $p$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2^2-8\cdot 2+4 \\[5pt] y&=&4-16+4 \\[5pt] y&=&-8 \\[5pt] \end{array}$

$\underline{ {A}(2\mid-8)}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ berechnen

$S(x\mid y)$ und $A(x_p\mid y_p)$

$\begin{array}[t]{rll} {\overline{AS}}&=&\sqrt{(x-x_p)^2+(y-y_p)^2} & \\[5pt] &=&\sqrt{(4-2)^2+(-12-(-8))^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2^2+(-4)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{4+16} \\[5pt] &=&\sqrt{20} \\[5pt] {\overline{AS}}&=&\underline{\underline{ 4,5}} \\[5pt] \end{array}$

Der Abstand beträgt $4,5\,\text{LE}.$

Lösung 4

Wahlbereich Baumdiagramm Stochastik Wahrscheinlichkeit Würfel

Wahrscheinlichkeit für einen Pasch bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{Pasch})&=&\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{2}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{36}+\dfrac{9}{36}+\dfrac{4}{36} \\[5pt] &=&\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18} \\[5pt] &=&0,389=\underline{\underline{ 38,9\,\%}} \end{array}$

Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 5 berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{Augensumme 5})&=&\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{6} & \\[5pt] &=&\dfrac{6}{36}+\dfrac{6}{36} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{36} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}= \underline{\underline{ 33,3\,\%}} \end{array}$

Würde man eine Augenzahl 2 durch eine 3 ersetzen, ändert sich dann die Wahrscheinlichkeit?

Nein, sie verändert sich nicht, da die Augenzahl 2 und die Augenzahl 3 nur ihre Wahrscheinlichkeiten tauschen.
Dabei wird die Wahrscheinlichkeit einen Pasch oder die Augensumme 5 zu würfeln, nicht verändert.

Lösung 5

Um wie viel Prozent liegt das arithmetische Mittel der Schuhgrößen der Jungen über dem der Mädchen?

1. Schritt: Arithmetisches Mittel der Schuhgrößen der Mädchen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}_M&=&\dfrac{37+3\cdot 36+3\cdot 38+2\cdot 39+37}{10} \\[5pt] \overline{x}_M&=&\underline{ 37,4} \end{array}$

2. Schritt: Arithmetisches Mittel der Schuhgrößen der Jungen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}_J&=&\dfrac{3\cdot 40+3\cdot 39+41+42}{8} & \\[5pt] \overline{x}_J&=&\underline{ 40} \end{array}$

3. Schritt: Prozentanteil berechnen

$:37,4$

$\cdot 40$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 37,4\\[5pt] 2,67\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\\[5pt] 106,8\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 40 \end{array}$

$:37,4$

$\cdot 40$

$\begin{array}[t]{rll} 106,8\,\%-100\,\%&=&6,8\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Das arithmetische Mittel der Jungen liegt $\underline{\underline{ 6,8\,\%}}$ über dem der Mädchen.

Median der Datenreihen angeben

Rangliste für Mädchen und Jungen erstellen

Mädchen	Jungen
36	39
36	39
36	39
37	40
37	40
38	40
38	41
38	42
39
39

Mädchen:
$\begin{array}[t]{rll} m_M&=&\dfrac{37+38}{2} & \\[5pt] m_M&=&\underline{\underline{ 37,5}} \end{array}$

Jungen:
$\begin{array}[t]{rll} m_J&=&\dfrac{40+40}{2} & \\[5pt] m_J&=&\underline{\underline{ 40}} \end{array}$

Ändert sich der Median, wenn bei den Mädchen die Angaben nachträglich geändert wurden?

Nein, der Median ändert sich nicht, da die veränderten Zahlen die Mitte nicht beeinflussen und nur am Rand Auswirkungen haben.

Lösung 6

Um wie viel Prozent ist der Wert der Aktie von Ende Februar bis Ende Juni gestiegen?

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W}{G} \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{58,03\,€}{37,12\,€} \\[5pt] p\,\%&=&1,563 \end{array}$

Die Aktie ist von Ende Februar bis Ende Juni um $\underline{\underline{ 56,3\,\%}}$ gestiegen.

Wie hoch ist der Wert des investierten Kapitals Ende Juni?

Anzahl der Aktien berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 23,23\,€\cdot x&=&1000\,€ &\quad \scriptsize \mid\;:23,23\,€ \\[5pt] x&=&\dfrac{1000\,€}{23,23\,€} \\[5pt] x&=&43,05 \\[5pt] \end{array}$

Wert der Aktien Ende Juni berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 58,03\,€\cdot 43,05&=&\underline{\underline{ 2498,19\,€}} & \\[5pt] \end{array}$

Welchen gleichbleibenden Zinssatz hätte die Bank anbieten müssen, damit in 2 Jahren der Wertzuwachs genauso hoch gewesen wäre? Ist das realistisch?

Zinseszinssatzformel nach p umformen

$\begin{array}[t]{rll} K_2&=&K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;:K_0 \\[5pt] \dfrac{K_2}{K_0}&=&\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{K_2}{K_0}}&=&1+\dfrac{p}{100}\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{K_2}{K_0}}-1&=&\dfrac{p}{100} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 100 \\[5pt] p&=&\left(\sqrt{\dfrac{K_2}{K_0}}-1\right)\cdot 100 \\[5pt] p&=&\left(\sqrt{\dfrac{2498,19}{1000}}-1\right)\cdot 100 \\[5pt] p&=&58,1\,\% \end{array}$

Der Zinssatz der Bank müsste $\underline{\underline{ 58,1\,\%}}$ betragen.
Dieser Wert ist nicht realistisch, da der durchschnittliche Zinssatz bei derzeit ungefähr $1\,\%$ (2023) liegt.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?