Wahlteil B

Aufgabe 1

Im Quadrat $ABCD$ liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke $ABF$ und $DEF.$

Es gilt:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=14,0 \,\text{cm} \\ &\overline{AF}=12,0 \,\text{cm}\\ &\overline{AF}=\overline{BF} \\ &\overline{EF}=\overline{DF} \end{aligned}$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $AFE.$
Berechne den Winkel $\epsilon.$

(5 P)

Die Gerade $g$ hat die Funktionsgleichung $y=x+2.$
Die Parabel $p_{1}$ hat die Funktionsgleichung $y=-x^{2}+8.$
Die Parabel $p_1$ schneidet die Gerade $g$ in den Punkten $P$ und $Q.$

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q.$

Durch die beiden Schnittpunkte $P$ und $Q$ verläuft die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel $p_{2}.$

Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_2$ von $p_2.$

Robin behauptet: „Das Dreieck mit den Punkten $P,$ $Q$ und $S_{2}$ ist rechtwinklig.“

Hat Robin Recht? Begründe deine Antwort rechnerisch.

(5 P)

Aufgabe 2

Das Schaubild zeigt Ausschnitte der verschobenen Normalparabel $p_1$ und der nach unten geöffneten Parabel $p_2.$

realschulprüfung wahlbereich normalparabel 2022

Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln. Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.

Die Gerade $g$ verläuft durch die beiden Scheitelpunkte $S_1$ und $S_2.$

Berechne die Funktionsgleichung von $g.$

Die Gerade $h$ verläuft senkrecht zu $g$ und geht durch den Punkt $R(4 \mid5).$

Berechne die Funktionsgleichung von $h.$
Gib die Funktionsgleichung einer weiteren verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel $p_3$ an, die keine Punkte mit $p_1$ und $p_2$ gemeinsam hat.

(5 P)

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem regelmäßigen Fünfecksprisma mit aufgesetzter regelmäßiger fünfseitiger Pyramide.

Es gilt:

$\begin{aligned} s &=12,6 \,\text{cm} \\ \varepsilon &=33,0^{\circ} \\ h_2&=5,6 \,\text{cm} \text { (Höhe Prisma) } \end{aligned}$

Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.

(5 P)

Aufgabe 3

In einem Gefäß liegen acht Kugeln, die rot, blau und grün gefärbt sind.
Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

realschulprüfung wahlbereich aufgaben stochastik

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen?

Die Kugeln werden für ein Gewinnspiel eingesetzt. Dazu wird folgender Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
zwei gleichfarbige Kugeln	4,00 €
eine grüne und eine blaue Kugel	10,00 €
Einsatz: 2,50 € pro Spiel

Berechne den Erwartungswert.

Der Veranstalter des Gewinnspiels möchte seinen Gewinn pro Spiel auf lange Sicht verdoppeln.

Wie hoch müsste dann der Gewinn für „eine grüne und eine blaue Kugel" sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5 P)

Das Foto zeigt ein „Tiny House“. Die Vorderseite des Hauses ist annähernd parabelförmig.

Quelle: https://tiny-house-de

Die maximale Höhe des Hauses beträgt $3,00\,\text{m}.$
Am Boden ist es $2,70\,\text{m}$ breit.

Berechne eine mögliche Funktionsgleichung für die parabelförmige Außenkante des Hauses.

Die $2,00\,\text{m}$ hohe Eingangstür befindet sich mittig auf der Vorderseite des Hauses. Am oberen Ende der Eingangstür befindet sich ein Vordach, das von Außenkante zu Außenkante reicht.

Berechne die Länge dieses Vordachs.

In $1,00\,\text{m}$ Höhe hat der Türrahmen eine waagrechte Entfernung von $0,70\,\text{m}$ zu den Außenkanten.

Berechne den Flächeninhalt der Tür.

(5 P)

Aufgabe 4

Die Parabel $p_1$ hat die Funktionsgleichung $y=x^2-8 x+12.$
Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2(1 \mid-7).$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $Q_{1}$ der beiden Parabeln $p_{1}$ und $p_{2} .$

Die Parabel $p_{1}$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}.$

Berechne die Koordinaten von $N_1$ und $N_2.$

Die Punkte $N_{1}, N_{2}$ und $Q_{1}$ bilden ein Dreieck.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $N_{1}Q_{1}N_{2}.$

Der Punkt $Q_{1}$ bewegt sich auf der Parabel $p_{2}$ unterhalb der $x$ -Achse. Dadurch entsteht der Punkt ${Q}_{2}$ und somit das Dreieck $N_{1}Q_{2}N_{2}.$

Für welche Lage von $Q_{2}$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
Berechne diesen maximalen Flächeninhalt.

(5 P)

Das regelmäßige Sechseck und das gleichschenklige Dreieck $ABC$ haben die Seite $\overline{AB}$ gemeinsam.

Es gilt: $\overline{AB}=12,4 \,\text{cm}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ABC.$

Tom behauptet: „Der Flächeninhalt des Sechsecks ist dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C.$ "

Hat Tom Recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.

(5 P)

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Lösung 1

Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

1. Schritt: Länge von $\boldsymbol{\overline{GF}}$ berechnen

$\overline{GF}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot 14,0\,\text{cm}=\underline{ 7,0\,\text{cm}}$

2. Schritt: Länge von $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

$(\overline{AG})^2=(\overline{AF})^2-(\overline{GF})^2$

$\overline{AG}=\sqrt{(\overline{AF})^2-(\overline{GF})^2}$

$=\sqrt{(12,0\,\text{cm})^2-(7,0\,\text{cm})^2}$

$\overline{AG}= 9,75\,\text{cm}$

$\overline{GD}=\overline{EG}=\overline{AD}-\overline{AG}$ $=\overline{AB}-\overline{AG}$

$=14,0\,\text{cm}-9,75\,\text{cm}$ $=4,25\,\text{cm}$

$\overline{AE}=\overline{AD}-2\cdot\overline{GD}$ $=\overline{AB}-2\cdot\overline{GD}$

$=14,0\,\text{cm}-2\cdot 4,25\,\text{cm}$ $=\underline{ 5,5\,\text{cm}}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AE}\cdot \overline{GF}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 5,5\,\text{cm}\cdot 7,0\,\text{cm}$ $= \underline{\underline{ 19,3\,\text{cm}^2}}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\epsilon}$ berechnen

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

$\tan{(\gamma)}=\dfrac{\overline{EG}}{\overline{GF}}$

$\tan{(\gamma)}=\dfrac{4,25\,\text{cm}}{7,0\,\text{cm}}$

$\gamma= \underline{ 31,3^\circ}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\sphericalangle GFA}$ berechnen

$\tan{(\sphericalangle GFA)}=\dfrac{\overline{AG}}{\overline{GF}}$

$\tan{(\sphericalangle GFA)}=\dfrac{9,75\,\text{cm}}{7,0\,\text{cm}}$

$\sphericalangle GFA= \underline{ 54,3^\circ}$

3. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\epsilon}$ berechnen

$\epsilon=\sphericalangle GFA-\gamma$

$\epsilon=54,3^\circ-31,3^\circ$ $=\underline{\underline{ 23^\circ}}$

Koordinaten der Schnittpunkte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x+2&=&-x^2+8\quad \scriptsize \mid\;+x^2-8 \\[5pt] x^2+x-6&=&0\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2} \end{array}$

$x_1=-3,$ $x_2=2$

$x_1$ in $g$ eingesetzt ergibt $y=-3+2=-1,$ also $\underline{\underline{ P(-3\mid -1)}}.$

$x_2$ in $g$ eingesetzt ergibt $y=2+2=4,$ also $\underline{\underline{ Q(2\mid 4)}}.$

Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen

1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel aufstellen

Allgemeine Funktionsgleichung der Normalparabel: $p_2:y=x^2+bx+c$

$P$ und $Q$ in $p_2$ ergibt ein LGS:

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}&-1&=& (-3)^2-3b+c\\ \text{(2)}&4&=&2^2+2b+c\\ \hline \text{(1)-(2)}&-5&=&5-5b\quad\mid\;+5b \\ &5b-5&=&5\qquad\mid\;+5 \\ &5b&=&10\qquad\mid\;:5 \\ &b&=&2 \end{array}$

$b=2$ in $\text{(1)}$ eingesetzt ergibt:

$-1=9-3\cdot 2+c$

$-1=3+c$

$c=-4$

$p_2:y=x^2+2x-4$

2. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen und $S_2$ ablesen

Quadratische Ergänzung:

$p_2:y=x^2+2x+1-1-4$ $=(x+1)^2-5$

$\underline{\underline{S_2(-1\mid -5)}}$

Beurteilen, ob Robin Recht hat und Antwort rechnerisch begründen

Robin hat nicht Recht. Begründung:

Berechnet man den Abstand zwischen den einzelnen Punkten, so kann widerlegt werden, dass der Satz des Pythagoras gilt und damit das Dreieck nicht rechtwinklig ist.

Abstandsformel: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Abstand zwischen $P$ und $Q$

$d=\sqrt{(2-(-3))^2+(4-(-1))^2}$ $=\sqrt{50}$

Abstand zwischen $P$ und $S_2$

$d=\sqrt{(-1-(-3))^2+(-5-(-1))^2}$ $=\sqrt{20}$

Abstand zwischen $S_2$ und $Q$

$d=\sqrt{(2-(-1))^2+(4-(-5))^2}$ $=\sqrt{90}$

Eingesetzt in die Formel des Satz des Pythagoras ergibt sich:

$c^2=a^2+b^2$

$(\sqrt{90})^2=(\sqrt{50})^2+(\sqrt{20})^2$

$90=50+20,$ das ist nicht richtig, daher ist begründet, dass es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Lösung 2

Funktionsgleichungen bestimmen

Funktionsgleichungen von $p_1$ bestimmen

$T$ und $R$ in die allgemeine Funktionsgleichung $p_1:y=x^2+bx+c$ eingesetzt ergibt ein LGS:

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}&5&=& (-2)^2+(-2)\cdot b+c\\ \text{(2)}&5&=& 4^2+4\cdot b+c\\ \hline \text{(1)-(2)}&0&=& -12-6b\qquad\mid+6b\\ &6b&=&-12\qquad\mid:6\\ &b&=&-2 \end{array}$

$b=-2$ in $\text{(2)}$ eingesetzt ergibt:

$5=16+4\cdot (-2)+c,$ also $c=-3$

$\underline{\underline{ p_1:y=x^2-2x-3}}$

Funktionsgleichung von $p_2$ bestimmen

Ablesen des Scheitelpunkts $S_2(0\mid 6).$ Daraus lässt sich die Scheitelpunktsform aufstellen:

$p_2:y=a(x-0)^2+6$ $=ax^2+6$

$T$ in $p_2$ eingesetzt ergibt: $5=a(-2)^2+6$

Umgeformt ergibt sich:

$5=4a+6\quad\scriptsize\mid -6$

$-1=4a\quad\scriptsize\mid :4$

$-\dfrac{1}{4}=a$

$\underline{\underline{ p_2:y=-\dfrac{1}{4}x^2+6}}$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ berechnen

1. Schritt: Scheitelpunkt von $p_1$ bestimmen

Quadratische Ergänzung:

$p_1:y=x^2-2x-3$ $=x^2-2x+1-1-3$ $=(x-1)^2-4$

$\underline{ S_1(1\mid -4)}$

2. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen

$g:y=mx+b$

$S_2$ in $g$ ergibt $b=6$

$S_1$ in $g$ ergibt:

$-4=m\cdot 1+6\quad\scriptsize\mid-6$

$-10=m$

$\underline{\underline{ g:y=-10x+6}}$

Funktionsgleichungen berechnen und angeben

Funktionsgleichung von $h$ berechnen

Die Steigung von $h$ beträgt $m_h=-\dfrac{1}{m_g}$ $=-\dfrac{1}{-10}=\dfrac{1}{10}.$

$h:y=\dfrac{1}{10}x+b$

$R$ in $h$ eingesetzt ergibt:

$5=\dfrac{1}{10}\cdot 4+b\quad\scriptsize\mid -\dfrac{4}{10}$

$b=\dfrac{23}{5}=4,6$

$\underline{\underline{ h:y=\dfrac{1}{10}x+4,6}}$

Funktionsgleichung von $p_3$ angeben

Die Parabel $p_1$ kann dazu einfach z.B. um elf Einheiten nach oben verschoben werden, denn dann liegt der Scheitelpunkt von $p_3$ oberhalb von $p_2.$

$\underline{\underline{ p_3:y=(x-1)^2+7}}$

BaWü Realschule 2022 zusammengesetzter Körper

$O=M_{\text{Pyramide}}+M_{\text{Prisma}}+G_{\text{Prisma}}$

1. Schritt: Mantelflächeninhalt $\boldsymbol{M_{\text{Pyramide}}}$ berechnen

Länge von $h_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\epsilon)&=&\dfrac{h_1}{s}\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \cos(\epsilon)\cdot s&=&h_1\\[5pt] h_1&=&\cos(33,0^\circ)\cdot 12,6\,\text{cm}\\[5pt] h_1&=&10,57\,\text{cm} \end{array}$

Länge von $r$ berechnen

$r^2=s^2-h_1^2$

$r=\sqrt{s^2-h_1^2}$ $=\sqrt{(12,6\,\text{cm})^2-(10,57\,\text{cm})^2}$ $= 6,86\,\text{cm}$

Länge von $a$ berechnen

Der Innenwinkel eines Fünfecks ist $360^\circ/5=72^\circ$ groß. Der halbe Innenwinkel ist $36^\circ$ groß.

$\begin{array}[t]{rll} \sin(36^\circ)&=&\dfrac{\frac{a}{2}}{r}\quad \scriptsize \mid\;\cdot r \\[5pt] \sin(36^\circ)\cdot r&=&\dfrac{a}{2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2\cdot \sin(36^\circ)\cdot r&=&a\\[5pt] \end{array}$

$a=2\cdot \sin(36^\circ)\cdot 6,86\,\text{cm}=8,06\,\text{cm}$

Länge von $h_s$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_s^2&=&s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h_s&=&\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(12,6\,\text{cm})^2-\left(4,03\,\text{cm}\right)^2}\\[5pt] h_s&=&11,94\,\text{cm} \end{array}$

Mantelflächeninhalt berechnen

$M_{\text{Pyramide}}=5\cdot \frac{1}{2} a\cdot h_s$ $=5\cdot 4,03\,\text{cm}\cdot 11,94\,\text{cm}$ $= \underline{ 240,6\,\text{cm}^2}$

2. Schritt: Mantelflächeninhalt $\boldsymbol{M_{\text{Prisma}}}$ berechnen

$M_{\text{Prisma}}=5\cdot a\cdot h_2$ $=5\cdot 8,06\,\text{cm}\cdot 5,6\,\text{cm}$ $=\underline{ 225,7\,\text{cm}^2}$

3. Schritt: Grundfläche $\boldsymbol{G_{\text{Prisma}}}$ berechnen

Länge von $h_a$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_a^2&=&r^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h_a&=&\sqrt{r^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(6,86\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{8,06\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt] h_a&=&5,55\,\text{cm} \end{array}$

Grundflächeninhalt berechnen

$G_{\text{Prisma}}=5\cdot \frac{1}{2}a\cdot h_a$ $=5\cdot 4,03\,\text{cm}\cdot 5,55\,\text{cm}$ $= \underline{ 111,8\,\text{cm}^2}$

4. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen

$O=M_{\text{Pyramide}}+M_{\text{Prisma}}+G_{\text{Prisma}}$ $=240,6\,\text{cm}^2+225,7\,\text{cm}^2+111,8\,\text{cm}^2$ $=\underline{\underline{ 578,1\,\text{cm}^2}}$

Lösung 3

Wahrscheinlichkeit bestimmen

$P(\text{zwei gleichfarbige Kugeln)}$ $=P(rr)+P(bb)$ $=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}$ $=\dfrac{12}{56}+\dfrac{6}{56}$ $=\dfrac{9}{28}= \underline{\underline{ 32,1\,\%}}$

Erwartungswert berechnen

$P(\text{grün, blau})=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{1}{7}$ $=\dfrac{6}{56}$ $=\dfrac{3}{28}$

$E=\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+\dfrac{3}{28}\cdot 10,00\,€$ $-2,50\,€=\underline{\underline{ -0,14\,€}}$

Gewinn berechnen

$\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+\dfrac{3}{28}\cdot x-2,50\,€$ $=-0,28\,€$

$\dfrac{3}{28}\cdot x$ $=-0,28\,€-\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+2,50\,€$

$x=\left(-0,28\,€-\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+2,50\,€\right)$ $\cdot \dfrac{28}{3}$

$x=\underline{\underline{ 8,72\,€}}$

Mögliche Funktionsgleichung berechnen

$p:y=a\cdot(x-0)^2+3,$ da der Scheitelpunkt die Koordinaten $S(0\mid 3)$ hat.

$p:y=ax^2+3$

Der Punkt $P(1,35\mid 0)$ liegt auf der Parabel. Eingesetzt in $p$ ergibt:

$0=a\cdot 1,35^2+3$

$-\dfrac{3}{1,35^2}=a$

$a= -1,65$

$\underline{\underline{ p:y=-1,65x^2+3,00}}$

Länge des Vordachs berechnen

$2=-1,65x^2+3,00 \quad \scriptsize \mid\;+1,65x^2$

$\begin{array}[t]{rll} 2+1,65x^2&=&3,00 \quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 1,65x^2&=&1\quad \scriptsize \mid\;:1,65\\[5pt] x^2&=&\dfrac{1}{1,65}\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] x&=&0,78 \end{array}$

Länge des Vordachs: $2\cdot 0,78\,\text{m}=\underline{\underline{ 1,56\,\text{m}}}$

Flächeninhalt der Tür berechnen

$1=-1,65x^2+3,00 \quad \scriptsize \mid\;+1,65x^2$

$\begin{array}[t]{rll} 1+1,65x^2&=&3,00 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 1,65x^2&=&2\quad \scriptsize \mid\;:1,65\\[5pt] x^2&=&\dfrac{2}{1,65}\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] x&=&1,1 \end{array}$

$1,1-0,7=0,4$

$A=2\cdot 0,4\,\text{m}\cdot 2,00\,\text{m}$ $=\underline{\underline{ 1,6\,\text{m}^2}}$

Lösung 4

Koordinaten von $\boldsymbol{Q_1}$ berechnen

$p_2:y=(x-1)^2-7$ $=x^2-2x+1-7$ $=x^2-2x-6$

Gleichsetzen von $p_1$ und $p_2:$

$\begin{array}[t]{rll} x^2-8x+12&=&x^2-2x-6\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt] -8x+12&=&-2x-6\quad \scriptsize \mid\;+8x \\[5pt] 12&=&6x-6\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 18&=&6x\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] 3&=&x \end{array}$

$x=3$ in $p_2:$

$y=(3-1)^2-7=-3$

$\underline{\underline{ Q_1(3\mid -3)}}$

Koordinaten von $\boldsymbol{N_1}$ und $\boldsymbol{N_2}$ berechnen

$x^2-8x+12=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-12)} \\[5pt] x_{1,2}&=& 4 \pm 2 \end{array}$

$x_1=2,$ $x_2=6$

$\underline{\underline{ N_1(2\mid 0)}},$ $\underline{\underline{ N_2(6\mid 0)}}$

Flächeninhalt berechnen

Der Abstand zwischen den zwei Nullpunkten $N_1$ und $N_2$ beträgt $6\,\text{LE}-2\,\text{LE}=4\,\text{LE}.$ Die Strecke zwischen den beiden Nullpunkten entspricht der Grundseite $g$ des Dreiecks.

Die Höhe beträgt $3\,\text{LE},$ da diese dem Betrag des $y$ -Werts von $Q_1$ entspricht.

$A=\frac{1}{2}g\cdot h$ $=\frac{1}{2}\cdot 4\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}$ $=\underline{\underline{ 6\,\text{FE}}}$

Lage bestimmen

Wenn $Q_2$ dem Scheitelpunkt entspricht, ist der Flächeninhalt maximal. Dies ist also für $\underline{\underline{ Q_2(1\mid -7)}}$ der Fall.

Maximalen Flächeninhalt berechnen

$A_{\text{max}}=\frac{1}{2}g\cdot h$ $=\frac{1}{2}\cdot 4\,\text{LE}\cdot 7\,\text{LE}$ $=\underline{\underline{ 14\,\text{FE}}}$

Umfang des Dreiecks berechnen

Die Innenwinkel eines Sechsecks sind 120° groß. Daher beträgt der Winkel im Dreiecks rechts 60°.

Die Länge der Strecke $s$ entspricht der Länge der Strecke $\overline{AB}.$

Damit kann die halbe Höhe $\dfrac{h}{2}$ von $h$ berechnet werden, mit der dann die Seitenlänge $\overline{BC}$ berechnet werden kann.

1. Schritt: $h$ berechnen

$\sin(60^\circ)=\dfrac{\frac{h}{2}}{s}\quad\scriptsize\mid \cdot s$

$\dfrac{h}{2}=\sin(60^\circ)\cdot s$

$h=2\cdot \sin(60^\circ)\cdot s$

$h=2\cdot \sin(60^\circ)\cdot \overline{AB}$

$h=2\cdot \sin(60^\circ)\cdot 12,4\,\text{cm}= \underline{ 21,48\,\text{cm}}$

2. Schritt: $\overline{BC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+h^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+h^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\left(6,2\,\text{cm}\right)^2+(21,48\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{BC}&=&\underline{ 22,36\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Umfang berechnen

$u=12,4\,\text{cm}+2\cdot 22,36\,\text{cm}$ $= 57,12\,\text{cm}$

$u=\underline{\underline{ 57,1\,\text{cm}}}$

Beurteilen, ob Tom Recht hat und begründen

Argumentativ:

Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Grundseite $a$ und der Höhe $h_{a}$ . Das Dreieck $ABC$ hat ebenfalls die Grundseite $a$ und die Höhe $h _{\overline{A B}}=2 \cdot h_{a}$ .

Dadurch ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ doppelt so groß wie der eines der sechs gleichseitigen Dreiecke.

Damit ist der Flächeninhalt des Sechsecks dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Rechnerisch:

$A_{ABC}=133\,\text{cm}^2;$ $A_{\text{Sechseck}}$ $=399\,\text{cm}^{2},$ was dem Dreifachen entspricht.

Weitere mögliche Lösung:

$\dfrac{A_{ABC}}{A_{\text{Sechseck}}}$ $=\dfrac{\frac{a^2}{2}\sqrt{3}}{\frac{3a^2}{2}\sqrt{3}}$ $=\dfrac{1}{3}$

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