Pflichtbereich

Aufgabe P1

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck $ABC$ .

Diagramm eines Dreiecks mit den Punkten A, B, C und den Winkeln β und einem kleinen Punkt in der Mitte.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=&5,8 \text{ cm} \\[5pt] \overline{BF}&=&6,6 \text{ cm} \end{array}$

$\overline{BF}$ halbiert den Winkel $\beta$ .

Berechne den Umfang des Dreiecks $ABF$ .

4 P

Aufgabe P2

Im Quadrat $ABCD$ liegen das rechtwinklige Dreieck $BCE$ und das gleichschenklige Dreieck $ABF$ .

Diagramm eines Quadrats mit markierten Punkten und einem Winkel.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=&11,8 \text{ cm} \\[5pt] \epsilon&=&72,0^{\circ} \\[5pt] \overline{AB}&=&\overline{AF} \end{array}$

Berechne die Länge von $\overline{EF}$ .

4 P

Aufgabe P3

Ein Körper setzt sich aus einem halben Zylinder und einer quadratischen Pyramide zusammen.

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit Höhenlinie und Kreisbogen.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h_P&=&16,0 \text{ cm} \\[5pt] \epsilon&=&58,0 ^{\circ} \end{array}$

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

4,5 P

Aufgabe P4

Max und Nele spielen ein Würfelspiel.
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme).
Gewonnen hat der Spieler mit der größeren Augensumme.

Überprüfe die Aussage:
„Die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 6 ist größer als die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 9.“
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung oder Argumentation.

Max hat eine 5 und eine 3 geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt?

3,5 P

Aufgabe P5

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt einer verschobenen Normalparapel $p$ .

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine parabolische Kurve und eine Linie.

Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y= 3x + b$ geht durch den Scheitelpunkt $S$ der Parabel $p$ .

Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes $Q$ von $p$ und $g$ .

3,5 P

Aufgabe P6

Löse die Gleichung:

$(2x-1)(2x+1)-x(x-2)=(x-5)^2+6$

3,5 P

Aufgabe P7

Bei dem Reiseveranstalter Holiday wurden im Jahr 2015 insgesamt 54 000 Reisen gebucht.
Das Balkendiagramm zeigt die Verteilung der Reisen.

Balkendiagramm zeigt die beliebtesten Urlaubsziele 2015 in Prozent. Deutschland führt mit 37,5 %.

Im Kreisdiagramm sind die Reisen innerhalb Deutschlands dargestellt.

Tortendiagramm zeigt den Anteil der Reisen innerhalb Deutschlands nach Bundesländern.

Wie viele Reisen nach Österreich wurden gebucht?

Innerhalb Deutschlands ist Bayern das beliebteste Urlaubsziel.
Wie viele Reisen gingen nach Bayern?

Es wurden 704 Reisen in die USA gebucht.
Wie hoch ist der prozentuale Anteil der Reisen in die USA an den „sonstigen“ Urlaubszielen?

3,5 P

Aufgabe P8

Die Klasse 10a der Mörike-Realschule hat eine Klassenarbeit geschrieben.

Säulendiagramm zeigt die Ergebnisse der Schüler in der Klasse 10 a nach Punkten. Anzahl der Schüler auf der Y-Achse.

Boxplot-Diagramm mit zwei Boxen und einer Punkteskala von 0 bis 14.

Welcher der beiden folgenden Boxplots zeigt die Verteilung der Ergebnisse der Klasse 10a?

Begründe deine Entscheidung mit Hilfe geeigneter Kennwerte.

Die Klasse 10b mit 29 Schülerinnen und Schülern hat die gleiche Klassenarbeit geschrieben.
Das andere Boxplot zeigt die Verteilung der Ergebnisse dieser Klasse.

Für die Punktzahlen 9 und 10 fehlen im Diagramm die Säulen.

Balkendiagramm zeigt die Ergebnisse der Schüler der Klasse 10 b in Punkten.

Zeichne eine mögliche Lösung in das nebenstehende Diagramm ein.

3,5 P

Lösung P1

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BF}}\\[5pt] \cos\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{5,8\,\text{cm}}{6,6 \,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \dfrac{\beta}{2}&=& 28,50 ^{\circ} \\[5pt] \beta&=& \underline{57 ^{\circ}} \end{array}$

Schematische Darstellung eines Dreiecks mit beschrifteten Winkeln und Linien.

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \,\,\,\, \mid\;:\cos(\beta) \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{\overline{BC}}{\cos(\beta)} \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{ 5,8 \,\text{cm}}{\cos(57^{\circ})} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{10,65 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2+\overline{BC}^2&=&\overline{BF}^2 \qquad \scriptsize \mid\;-\overline{BC}^2 \\[5pt] \overline{CF}^2&=& \overline{BF}^2 - \overline{BC}^2 \\[5pt] \overline{CF}^2&=& (6,6 \,\text{cm})^2 - (5,8 \,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{CF}&=& \underline{3,15 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=& \dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BC}\\[5pt] \overline{AC}&=& \tan(\beta) \cdot \overline{BC} \\[5pt] \overline{AC}&=& \tan(57^{\circ}) \cdot 5,8 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AC}&=& \underline{8,93 \,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AF}&=& \overline{AC}-\overline{CF} \\[5pt] \overline{AF}&=& 8,93 \,\text{cm} - 3,15 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AF}&=& \underline{5,78 \,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Umfang $\boldsymbol{u}$ bestimmmen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{AF} \\[5pt] &=& 10,65 \,\text{cm} + 6,6 \,\text{cm} + 5,78 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 23,03 \,\text{cm} \\[5pt] u&=& \underline{\underline{23 \,\text{cm}}} \\[5pt] \end{array}$

Lösung P2

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varepsilon)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE} \,\,\, \mid\;:\sin(\varepsilon) \\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\varepsilon)} \\[5pt] \overline{BE}&=& \dfrac{11,8 \text{ cm}}{\sin(72^{\circ})} \\[5pt] \overline{BE}&=& \underline{12,41\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Größe der gesuchten Winkel bestimmen

$\boldsymbol{\beta_2}$ mit der Winkelsumme bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \beta_2&=& 180^{\circ}- 90^{\circ}-\varepsilon \\[5pt] &=& 180^{\circ}- 90^{\circ}-72^{\circ}\\[5pt] &=& \underline{18^{\circ}} \end{array}$

$\boldsymbol{\beta_1}$ , $\boldsymbol{\gamma}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen

Da das Dreieck $ABE$ gleichschenklig ist, gilt: $\beta_1=\gamma$

$\begin{array}[t]{rll} \beta_1&=& 90^{\circ}-\beta_2 \\[5pt] &=& 90^{\circ}- 18^{\circ} \\[5pt] &=& \underline{72^{\circ}} = \gamma \\[5pt] \end{array}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 180^{\circ}-\beta_1-\gamma \\[5pt] &=& 180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ} = \underline{36 ^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BL}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta_1)&=& \dfrac{\overline{BL}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB}\\[5pt] \overline{BL}&=& \cos(\beta_1) \cdot \overline{AB} \\[5pt] \overline{BL}&=& \cos(72^{\circ}) \cdot 11,8 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{3,65 \,\text{cm} } \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BF}&=& \overline{BL} + \overline{LF} \\[5pt] &=& 2 \cdot\overline{BL} \\[5pt] &=& 2 \cdot 3,65 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{7,30 \,\text{cm} } \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=& \overline{BE}-\overline{BF} \\[5pt] &=&12,41\text{ cm}-7,30\text{ cm} \\[5pt] &=&5,11\text{ cm}\\[5pt] \overline{EF}&=&\underline{\underline{5,1\text{ cm}}} \end{array}$

Lösung P3

1. Schritt: Mantelfläche der Pyramide berechnen

Höhe $\boldsymbol{h_S}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varepsilon)&=& \dfrac{h_P}{h_S} \quad \scriptsize \mid\; \cdot h_S \,\, \mid\; :\sin(\varepsilon)\\[5pt] h_S&=& \dfrac{h_P}{\sin(\varepsilon)} \\[5pt] &=& \dfrac{16 \,\text{cm}}{\sin(58^{\circ})} \\[5pt] h_S&=& \underline{18,87\,\text{cm}} \end{array}$

Geometrische Darstellung eines Kegels mit Beschriftungen zu Höhen und Radien.

Länge der Strecken $\boldsymbol{r}$ und $\boldsymbol{a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_S^2&=& r^2 + h_P^2 \\[5pt] (18,87\,\text{cm})^2-(16\,\text{cm})^2 &=& r^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] r&=& \underline{10 \,\text{cm}} \end{array}$

Damit ergibt sich $a=2 \cdot 10\,\text{cm}=\underline{20\,\text{cm}.}$

Inhalt der Mantelfläche der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\,\text{P}}&=& 2 \cdot a \cdot h_S \\[5pt] &=& 2 \cdot 20 \,\text{cm} \cdot 18,87 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{754,80 \,\text{cm}^2} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Inhalt der Mantelfläche des Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_Z&=& \dfrac{1}{2} (2 \pi r\cdot (r+a)) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} (2 \pi \cdot 10\,\text{cm}\cdot (10\,\text{cm}+20\,\text{cm} )) \\[5pt] &=& \underline{942,48 \,\text{cm}^2 } \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{gesamt}}&=& M_{\,\text{P}} + O_{\text{Z}} \\[5pt] &=& 754,80 \,\text{cm}^2 + 942,48 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 1697,28 \,\text{cm}^2\\[5pt] O_{\text{gesamt}}&=& \underline{\underline{1697,3 \,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung P4

Begründung durch Rechnung

Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 6

Diagramm mit Verzweigungen und Zahlen, das eine Struktur oder Beziehung darstellt.

Die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades beträgt $\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}.$ Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{Augensumme 6})&=& \left(\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}\right) \cdot 5 \\[5pt] &&=& \dfrac{5}{36} \\[5pt] &&\approx& 0,1389 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 6 zu würfeln, beträgt also $\underline{13,89 \%.}$

Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 9

Diagramm mit Verzweigungen und Zahlen zur Darstellung von Beziehungen oder Wahrscheinlichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades beträgt $\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}.$ Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{Augensumme 9})&=& \left(\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}\right) \cdot 4 \\[5pt] &&=& \dfrac{4}{36} \\[5pt] &&\approx& 0,1111 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 9 zu würfeln, beträgt also $\underline{11,11\,\%.}$

Somit stimmt die Aussage.

Begründung durch Argumentation

Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 6

Es gibt insgesamt fünf Möglichkeiten, die Augensumme 6 zu würfeln:

1 und 5
2 und 4
3 und 3
4 und 2
5 und 1

Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 9

Um die Augensumme 9 zu würfeln, gibt es allerdings nur vier Möglichkeiten:

3 und 6
4 und 5
5 und 4
6 und 3

Für jede dieser Möglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit gleich. Somit reicht es, die Anzahl der Möglichkeiten zu vergleichen, um die Aussage zu bewerten. Für die Augensumme 6 gibt es mehr Möglichkeiten, also stimmt die Aussage.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt?

Nele gewinnt dann das Spiel, wenn sie eine größere Augenzahl als 8 würfelt.
Dafür gibt es insgesamt zehn Möglichkeiten:

3 und 6
4 und 5
4 und 6
5 und 4
5 und 5

5 und 6
6 und 3
6 und 4
6 und 5
6 und 6

$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{Augenzahl > 8})&=& \left(\dfrac{1}{6} \cdot\dfrac{1}{6}\right) \cdot 10 \\[5pt] &=& \dfrac{5}{18} \\[5pt] &=& 0,278 \\[5pt] &=& \underline{\underline{27,8\,\%}} \\[5pt] \end{array}$

Lösung P5

1. Schritt: Scheitelpunktform der verschobenen Normalparabel $\boldsymbol{p}$ bestimmen

Scheitelpunktform: $p:y=(x-d)^2+b$

Die $x$ -Koordinate des gesuchten Scheitelpunkts lässt sich ablesen, da sie in der Mitte der Punkte $P_1(-3|0)$ und $P_2(1|0)$ liegt.
Somit ist $d=-1.$

Koordinaten des Punktes $P_1$ in die vorläufige Scheitelpunktform einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&(-3+1)^2+b \\[5pt] 0&=&4+b &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] b&=&-4 \\[5pt] \end{array}$

Damit folgt:

Scheitelpunktform: $\underline{p:y=(x+1)^2-4}$
Koordinaten des Scheitelpunkts: $\underline{S(-1|-4)}$

2. Schritt: Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ aufstellen

Scheitelpunkt in die Geradengleichung $g:y=3x+b$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -4&=& 3\cdot (-1)+b \\[5pt] -4&=& -3+b &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] b&=&-1 \end{array}$

$\underline{ g: y=3x-1}$

3. Schritt: Koordinaten des Schnittpunktes berechnen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1 =& \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2 \\[5pt] x_2 =&\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = -1 \end{array}$

Die $x$ -Koordinate $x_2=-1$ gehört zum Scheitelpunkt $S(-1|-4).$ Somit ist $x_1=2$ die $x$ -Koordinate des zweiten Schnittpunkts $Q.$

$x_1$ in die Geradengleichung $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&3\cdot2-1 \\[5pt] y&=&5 \end{array}$

Die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts sind $\underline{\underline{ Q(2|5)}}$ .

Lösung P6

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 2 \\[5pt] x_2&=& -8 \end{array}$

$\underline{\underline{ L=\{2;-8\}}}$

Lösung P7

Wie viele Reisen nach Österreich wurden gebucht?

$\begin{array}[t]{rll} W_1&=& G \cdot p_1\,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 6,1 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 0,061 = 3 \, 294\\[5pt] \end{array}$

Es wurden insgesamt $\underline{\underline{ 3\, 294}}$ Reisen nach Österreich gebucht.

Wie viele Reisen gingen nach Bayern?

1. Anzahl der Reisen nach Deutschland berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W_2&=& G \cdot p_2 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 37,5 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 0,375 = \underline{ 20 \,250 }\\[5pt] \end{array}$

2. Anzahl der Reisen nach Bayern berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W_3&=& W_2 \cdot p_3 \,\% \\[5pt] &=& 20 \,250 \cdot 18,0 \,\% \\[5pt] &=& 20 \,250 \cdot 0,18 = 3 \, 645 \end{array}$

Es wurden insgesamt $\underline{\underline{ 3\, 645}}$ Reisen nach Bayern gebucht.

Wie hoch ist der prozentuale Anteil der Reisen in die USA an den „sonstigen“ Urlaubszielen?

1. Anzahl der „sonstigen“ Urlaubsziele berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W_4&=& G \cdot p_4\,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 17,6 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 0,176 = \underline{ 9 \, 504}\\[5pt] \end{array}$

2. Prozentualen Anteil der Reisen in die USA berechnen

$:9\, 504$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\cdot 704$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 9\, 504 \\[5pt] 0,0105\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\\[5pt] 7,39\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 704 \end{array}$

$:9\, 504$

$\cdot 704$

Der prozentuale Anteil beträgt also $\underline{\underline{ 7,4\,\%}}$ .

Lösung P8

Welcher der beiden Boxplots zeigt die Verteilung der Ergebnisse der Klasse 10a?

Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im oberen Quartil.

Für $q_{o_1}$ gilt: $n_{o_1} \cdot 0,75 =25 \cdot 0,75 = 18,75 \notin \mathbb{Z}$
$q_{o_1}= x_{19}=9 \,\text{Punkte}$

Das obere Quartil der Klasse 10a liegt also bei 9 Punkten. Somit gehört der erste Boxplot zu den Ergebnissen der 10a.

Eine mögliche Lösung in das untere Diagramm einzeichnen

1. Schritt: Rangliste für die Klasse 10b erstellen

Rangplatz	Punkte
1	2
2	3
3	3
4	4
5	4
6	5
7	6
8	6
9	6
10	6
11	7
12	7
13	7
14	7
15	7

Rangplatz	Punkte
16	8
17	8
18	8
19	9 oder 10
20	9 oder 10
21	9 oder 10
22	10
23	10
24	10
25	10
26	11
27	12
28	12
29	12

2. Schritt: Fehlende Kennwerte ermitteln und in die Rangliste eintragen

$x_{\,\text{min}_2}= 2 \,\text{Punkte}$

$x_{\,\text{max}_2}= 12 \,\text{Punkte}$

$q_{u_2}: n_2 \cdot 0,25 = 29 \cdot 0,25 = 7,25 \notin \mathbb{Z}$
Daraus folgt $q_{u_2}= 6 \,\text{Punkte}$

$z_2: n_{o_2} \cdot 0,5 = 29 \cdot 0,5 = 14,5 \notin \mathbb{Z}$
Daraus folgt $z_2=7 \,\text{Punkte}$

$q_{o_2}: n \cdot 0,75 = 29 \cdot 0,75 = 21,75 \notin \mathbb{Z}$
Daraus folgt $q_{o_2}= 10 \,\text{Punkte}$ in (2) Boxplot ablesen und an Rangplatz 22 eintragen

Für die Rangplätze 19, 20 und 21 kann die Punktzahl 9 oder 10 eingetragen werden.

Für die Rangplätze 23, 24 und 25 muss die Punktzahl 10 eingetragen werden.

3. Schritt: Mögliche Lösung in das Diagramm einzeichnen