Pflichtteil A2

Aufgabe 1

Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ und das Quadrat $ADEF$ überdecken sich teilweise.

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit einem Quadrat und verschiedenen Punkten und Winkeln.

Es gilt:

$\overline{BD}=10,0\,\text{cm}$

$\beta=67,0^\circ$

$\overline{AC}=\overline{BC}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $GEC.$

(3,5 P)

Aufgabe 2

Ein Kunstwerk setzt sich aus einer Halbkugel und einem Kegel zusammen.

Diagramm einer Schale mit geometrischen Elementen wie Höhe und Winkel.

Es gilt:

$s=3,7\,\text{m}$

$h_\text{ges}=5,1\,\text{m}$

$\alpha=72,0^\circ$

Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.

Dieses Kunstwerk soll mit Farbe angestrichen werden.
Eine 1-Liter-Farbdose reicht für $10 \,\text{m}^2.$

Wie viele Dosen müssen gekauft werden?

(3,5 P)

Aufgabe 3

Die beiden Glücksräder werden gedreht.
Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine zweistellige Zahl.
Die Abbildung zeigt die Zahl 43.

Zwei Kreise mit Zahlen und Verbindungen zwischen ihnen, die verschiedene Segmente darstellen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster

eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?
eine durch 12 teilbare Zahl zu sehen?
höchstens einmal die Ziffer 4 zu sehen?

(3,5 P)

Aufgabe 4

Immer mehr Menschen kaufen im Internet ein. Die Grafik zeigt die Umsatzentwicklung des Onlinehandels in Deutschland.

Balkendiagramm zeigt den Umsatz des Onlinehandels in Deutschland von 2013 bis 2019 in Milliarden Euro.

Um wie viel Prozent ist der Umsatz des Onlinehandels von 2016 bis 2019 insgesamt gestiegen?

Das Kreisdiagramm zeigt die Umsatzanteile verschiedener Bereiche am Gesamtumsatz des Onlinehandels im Jahr 2017.

Kreisdiagramm zu Umsatzanteilen im Onlinehandel 2017 mit verschiedenen Kategorien und Prozentangaben.

Wie hoch war der Umsatz (in Euro) für den Bereich „Freizeit und Hobby“?

Laut einer Untersuchung entfielen im Jahr 2017 allein 53,0 % des Bereichs „Elektronik“ auf den Onlinehandel mit Smartphones.

Wie viel Euro wurden nach dieser Untersuchung im Onlinehandel für Smartphones ausgegeben?

(3 P)

Aufgabe 5

Die Parabel $p$ hat die Funktionsgleichung $y=x^2-6x+10.$
Eine Gerade $g$ besitzt die Steigung $m=-2.$
Sie geht durch den Scheitelpunkt $S$ der Parabel $p.$

Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $Q$ der Parabel $p$ mit der Geraden $g.$

Die Gerade $h$ verläuft senkrecht zur Geraden $g$ und geht durch den Punkt $Q.$

Berechne die Funktionsgleichung der Geraden $h.$

(3 P)

Aufgabe 6

Im Rahmen einer Umfrage wurden 25 Männer und 25 Frauen getrennt voneinander befragt, wie viele Stunden sie pro Woche lesen.
Die Ergebnisse dieser Befragungen sind in den beiden Boxplots dargestellt.

Boxplot-Diagramm zeigt Lesezeiten für Männer und Frauen in Stunden.

Außerdem sind die Ergebnisse der Befragungen in den beiden Säulendiagrammen abgebildet, wobei das Diagramm (2) unvollständig ist.

Balkendiagramm zur Lesezeit in Stunden und Anzahl der Personen.

Welcher Boxplot gehört zu Diagramm (1)? Begründe mithilfe der Kennwerte.

Der andere Boxplot gehört zu Diagramm (2). Hier fehlen Säulen von 8 bis 16 Stunden Lesezeit.

Ergänze mögliche Säulen im Diagramm (2) für die Werte von 8 bis 16 Stunden Lesezeit mithilfe des zugehörigen Boxplots.

Finn behauptet: „Über die Hälfte der Männer liest 7 Stunden oder mehr pro Woche."

Hat Finn recht? Begründe.

(3,5 P)

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Lösung 1

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CE}}$ berechnen

Zunächst muss die Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{BD}\\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{BD} &=&\overline{CD}\\[5pt] \tan({67^\circ})\cdot 10,0\,\text{cm} &=&\overline{CD}\\[5pt] 23,56\,\text{cm}&=&\overline{CD}\\ \overline{CD}&=&23,56\,\text{cm} \end{array}$

Als nächstes muss die Länge der Strecke $\overline{DE}$ bestimmt werden. Diese entspricht der Länge der Strecke $\overline{AD},$ da es sich um ein Quadrat handelt. Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig, deshalb sind die Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BD}$ gleich lang.

Also gilt:
$\overline{DE}=\overline{BD}=\overline{AD}=10,0\,\text{cm}.$

Damit folgt für die Länge der Strecke $\overline{CE}:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CE}&=& \overline{CD}-\overline{DE} \\[5pt] &=& 23,56\,\text{cm}-10,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 13,56\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EG}}$ berechnen

Anwendung des Zweiten Strahlensatzes:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AD}}{\overline{EG}}&=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{CE}} \quad \scriptsize \mid \text{Kehrbruch bilden} \\[5pt] \dfrac{\overline{EG}}{\overline{AD}}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}} \quad \scriptsize \mid\cdot\overline{AD} \\[5pt] \overline{EG}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}\cdot\overline{AD} \\[5pt] \overline{EG}&=&\dfrac{13,56\,\text{cm}}{23,56\,\text{cm}}\cdot 10,0\,\text{cm} \\[5pt] \overline{EG}&=&\underline{ 5,76\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CG}}$ berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CG}^2&=&\overline{EG}^2+\overline{CE}^2 \quad \scriptsize \mid \sqrt{.} \\[5pt] \overline{CG}&=&\sqrt{\overline{EG}^2+\overline{CE}^2 }\\[5pt] \overline{CG}&=&\sqrt{(5,76\,\text{cm})^2+(13,56\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{CG}&=&\underline{ 14,73\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \overline{CE}+\overline{EG}+\overline{CG}\\[5pt] &=& 13,56\,\text{cm}+5,76\,\text{cm}+14,73\,\text{cm}\\[5pt] &=& 34,05\,\text{cm}\\[5pt] u&=& \underline{\underline{ 34,1\,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung 2

Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers berechnen

A) Mantelflächeninhalt des Kegels

1. Schritt: Radius $r_{\text{Kegel}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{r_{\text{Kegel}}}{s} \quad \scriptsize \mid\; \cdot s\\[5pt] \cos(\alpha)\cdot s&=& r_{\text{Kegel}} \\[5pt] \cos(72^{\circ})\cdot 3,7\,\text{m} &=& r_{\text{Kegel}} \\[5pt] 1,14\,\text{m}&=& r_{\text{Kegel}} \\[5pt] r_{\text{Kegel}}&=& \underline{ 1,14\,\text{m}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Mantelfächeninhalt des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\,\text{Kegel}}&=& \pi \cdot r_{\,\text{Kegel}} \cdot s \\[5pt] &=& \pi\cdot 1,14\,\text{m}\cdot 3,7\,\text{m} \\[5pt] &=& \underline{ 13,25\,\text{m}^2} \end{array}$

B) Oberflächeninhalt der Halbkugel

1. Schritt: Höhe $h_\text{Kegel}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h_\text{Kegel}}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot s &=& h_\text{Kegel} \\[5pt] \sin(72^{\circ})\cdot 3,7\,\text{m} &=& h_\text{Kegel} \\[5pt] 3,52\,\text{m}&=& h_\text{Kegel} \\[5pt] h_\text{Kegel}&=& \underline{ 3,52\,\text{m}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Radius $r_\text{Halbkugel}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} r_\text{Halbkugel}&=& h_{ges} - h_\text{Kegel} \\[5pt] &=& 5,1\,\text{m}-3,52\,\text{m} \\[5pt] &=& \underline{ 1,58\,\text{m}} \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt der Halbkugel berechnen

Rechenweg anzeigen

$O_\text{Halbkugel}= \underline{ 23,53\,\text{m}^2}$

C) Grundfläche des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi \cdot r_{\text{Kegel}}^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (1,14\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& \underline{ 4,08\,\text{m}^2} \end{array}$

D) Oberflächeninhalt des Kunstwerks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& M_\text{Kegel}+O_\text{Halbkugel}-A \\[5pt] &=& 13,25\,\text{m}^2+23,53\,\text{m}^2-4,08\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 32,7\,\text{m}^2}} \end{array}$

Wie viele Dosen müssen gekauft werden?

$\dfrac{32,7}{10,0}= 3,27$

Es werden also $\underline{\underline{\text{ vier Dosen}}}$ benötigt.

Lösung 3

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{zwei gleiche Ziffern}) \\[5pt] &= P(2;2)+P(3;3)+P(4;4)+P(5;5) \\[5pt] &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} \\[5pt] &= \dfrac{5}{20}\\[5pt] &= \dfrac{1}{4} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $\underline{\underline{ 25\,\%}}.$

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine durch 12 teilbare Zahl zu sehen?

Die einzige Zahl, die durch 12 teilbar ist und im Sichtfenster zu sehen sein kann, ist 24.

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{durch 12 teilbar}) \\[5pt] &=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=\dfrac{2}{20}= \dfrac{1}{10} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $\underline{\underline{ 10\, \%}}.$

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster höchstens einmal die Ziffer 4 zu sehen?

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{höchstens eine 4}) \\[5pt] &= 1-P(\text{zweimal vier}) \\[5pt] &= 1-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{5} \\[5pt] &= 1-\dfrac{1}{10} \\[5pt] &=\dfrac{9}{10} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $\underline{\underline{ 90 \,\%}}.$

Lösung 4

Um wie viel Prozent ist der Umsatz des Onlinehandels von 2016 bis 2019 insgesamt gestiegen?

$\begin{array}[t]{rll} W&=& 58,5 \,\text{Mrd.}\,€-44,2\, \text{Mrd.}\,€ \\[5pt] W&=& 14,3 \,\text{Mrd.}\,€ \end{array}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] \dfrac{W}{G}&=& p\,\% \\[5pt] \dfrac{14,3}{44,2} &=& p\,\% \\[5pt] 0,324&=& p\,\% \\[5pt] 32,4\,\%&=& p\,\% \\[5pt] p\,\%&=& 32,4\,\% \\[5pt] \end{array}$

Der Umsatz ist um $\underline{\underline{ 32,4\,\%}}$ gestiegen.

Wie hoch war der Umsatz (in Euro) für den Bereich „Freizeit und Hobby“?

$48,9 \,\text{Mrd.} \,€ \cdot 0,145= 7,09 \,\text{Mrd.} \,€$

Der Umsatz für diesen Bereich lag also bei $\underline{\underline{ 7,09 \,\text{Mrd.} \,€}} .$

Wie viel Euro wurden nach dieser Untersuchung im Onlinehandel für Smartphones ausgegeben?

$48,9 \,\text{Mrd.} \,€ \cdot 0,249= 12,18 \,\text{Mrd.} \,€$
$12,18 \,\text{Mrd.} \,€ \cdot 0,53 = 6,46 \,\text{Mrd.} \,€$

Im Onlinehandel wurden für Smartphones also $\underline{\underline{ 6,46 \,\text{Mrd.} \,€ }}$ ausgegeben.

Lösung 5

Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $\boldsymbol{Q}$ der Parabel $\boldsymbol{p}$ mit der Geraden $\boldsymbol{g}$ berechnen.

1. Schritt: Scheitelpunkt mit der quadratischen Ergänzung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 \\[5pt] &=& x^2-2\cdot 3x+10 \\[5pt] &=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+10 \\[5pt] &=& (x-3)^2-9+10\\[5pt] &=& (x-3)^2+1 \end{array}$

Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen mit $\underline{ S(3\mid 1)}.$

2. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol g$ aufstellen

$g:y=-2x+c$

$S$ in $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=& -2\cdot 3+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& -6+c \quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] 7&=& c \\ c&=& 7 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{ g:y=-2x+7}$

3. Schritt: Schnittpunkte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} -2x+7&=&x^2-6x+10 \quad \scriptsize \mid\;+2x-7 \\[5pt] 0&=&x^2-4x+3 \\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2 \pm \sqrt{(-2)^2-3} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2 \pm \sqrt{4-3} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2\pm 1 \\[5pt] x_1&=& 2+1=3 \\[5pt] x_2&=& 2-1=1 \end{array}$

$x_2=1$ in $g$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -2\cdot 1+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

Somit folgt für den zweiten Schnittpunkt: $\underline{\underline{ Q(1\mid 5)}}.$

Funktionsgleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ berechnen

1. Schritt: Steigung $\boldsymbol{m_h}$ der Geraden $\boldsymbol h$ bestimmen

$m_h=-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$h:y=\dfrac{1}{2}x+c$

$Q$ in $h$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1+c \quad \scriptsize \\[5pt] 5&=& 0,5+c \quad \scriptsize \mid\; -0,5\\[5pt] 4,5&=& c\\ c&=& 4,5 \end{array}$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{ h:y=\dfrac{1}{2}x+4,5}}.$

Lösung 6

Welcher Boxplot gehört zu Diagramm (1)?

Zu Diagramm (1) gehört der Boxplot der Männer.

Begründung: Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im oberen Quartil. Deswegen genügt es, sich nur diesen Kennwert anzuschauen:
Oberes Quartil der zu Diagramm (1) gehörenden Rangliste:
$q_o=n\cdot 0,75=25\cdot 0,75=18,75$

Aufgerundet ist das obere Quartil also durch den 19. Wert gegeben. Aus dem Diagramm lässt sich ablesen:
$q_o=x_{19}=8 \,\text{Stunden}$

Den Boxplots kann entnommen werden, dass dies dem oberen Quartil des Boxplots der Männer entspricht.

Mögliche Säulen im Diagramm (2) ergänzen

Oberes Quartil:

$\begin{array}[t]{rll} \quad n\cdot 0,75&=& 25 \cdot 0,75&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 18,75 \end{array}$

Dem Boxplot der Frauen kann entnommen werden, dass das obere Quartil $q_0=9 \,\text{Stunden}$ beträgt. Der 19. Wert wird also bei 9 Stunden eingetragen.

Maximum:
Aus dem Boxplot der Frauen kann $x_{\,\text{max}}=25$ abgelesen werden. Der 25. Wert wird also bei 16 Stunden eingetragen.

Eine mögliche Lösung sieht also wie folgt aus:

Balkendiagramm zur Darstellung der Lesezeit in Stunden und der Anzahl der Personen.

Hinweis: Dies ist nur eine mögliche Lösung, es gibt noch weitere. Wichtig ist, dass die Kennwerte des Boxplots korrekt erfüllt sind.

Hat Finn recht?

Finn hat recht.

Die Hälfte aller Männer ist gegeben durch $12,5.$ Dem Diagramm kann entnommen werden, dass $13$ Männer sieben oder mehr Stunden die Woche lesen. Mit $13\gt 12,5$ folgt die Behauptung.

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