Wahlbereich

Aufgabe W1

lm Fünfeck $ABCDE$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}&=&9,5\,\text{cm} \\[5pt] \varepsilon_{1}&=&64,0^{\circ}\\[5pt] \gamma&=&95,0^{\circ}\\[5pt] \overline{AB} &\mid \mid& \overline{CE} \end{array}$

Der Abstand des Punktes $D$ zu $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ beträgt $12,9\,\text{cm}.$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $ABCE.$

(5,5 P)

lm Rechteck $ABCD$ liegen die gleichseitigen Dreiecke $EBF$ und $AGD.$

Geometrische Figuren mit beschrifteten Punkten A bis G in einem Diagramm.

Es gilt:

$\overline{BE}= 4\mathrm{e} \sqrt{3}$

Weise ohne Verwendung gerundeter Werte nach, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ gilt:

$A= 36\mathrm{e}^2 \sqrt{3}$

(4,5 P)

Aufgabe W2

Von einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide sind bekannt:
$a= 6,2\,\text{cm}$
$s= 32,0\,\text{cm}$

Pyramide - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020 Wahlteil

Der Punkt $C$ liegt auf der Höhe $h$ der Pyramide. Das Dreieck $ABC$ soll den gleichen Flächeninhalt haben wie eines der Manteldreiecke.

Berechne die Länge von $\overline{SC}.$

(5,5 P)

Von einem DIN-A4-Blatt $(21,0\,\text{cm}\times 29,7\,\text{cm})$ werden die vier eingefärbten Dreiecke abgeschnitten.

Din A4-Blatt - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Mit diesen vier Dreiecken werden die Diagonalschnittfläche $ACS$ und die Grundfläche einer halben massiven quadratischen Pyramide vollständig beklebt.

Pyramidenhälfte - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Lena behauptet: „Die beiden Manteldreiecke $ABS$ und $BCS$ haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die Restfläche des DlN-A4-Blatts.“

Hat Lena Recht? Begründe durch Rechnung.

(4,5 P)

Aufgabe W3

Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ hat mit der $x$ -Achse die Schnittpunkte $N_{1}(-5|0)$ und $N_{2}(-1\mid 0).$ Sie schneidet die $y$ -Achse im Punkt $A.$

Die Parabel $p_2$ hat die Funktionsgleichung $y=x^2-6x+11$ und schneidet die $y$ -Achse im Punkt $B.$

Durch die Scheitelpunkte $S_1$ und $S_2$ der beiden Parabeln verläuft die Gerade $g.$
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden $g.$

Der Punkt $C$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}.$
Die Gerade $h$ mit der Steigung $m=-1$ geht durch $C.$
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Geraden $g$ und $h$ ?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.

(5,5 P)

Die Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $y=x^2+6x$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_1$ und $N_2.$
Die Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $y=x$ schneidet die Parabel in den Punkten $N_1$ und $C.$
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $N_{1}N_{2}C.$

Die Gerade $h$ mit der Funktionsgleichung $y=\dfrac{1}{2}x$ schneidet die Parabel in den Punkten $N_1$ und $D.$

Peter behauptet: „Die Steigung der Geraden $h$ ist nur halb so groß wie die der Geraden $g.$ Daher ist der Flächeninhalt des Dreiecks $N_{1}N_{2}D$ auch nur halb so groß wie der des Dreiecks $N_{1}N_{2}C.“$
Hat Peter Recht? Begründe rechnerisch.

(4,5 P )

Aufgabe W4

Die beiden Glücksräder werden gedreht. Nachdem sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine Kombination zweier Symbole.

Grafische Darstellung mit geometrischen Formen in zwei Kreisen, die grüne und graue Elemente zeigt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Symbole im Sichtfenster zu sehen?

Die Glücksräder werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird der abgebildete Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
gleiche Symbole	$2,00\,€$
Kreis und Dreieck	$4,00\,€$
restliche Möglichkeiten	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,50 \,€$

Berechne den Erwartungswert.

Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird.

Wie hoch muss dann der Gewinn für das Ereignis „Kreis und Dreieck“ sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5,5 P)

Thea trainiert Aufschläge beim Volleyball (siehe Skizze).

Diagramm eines Balls, der über ein Netz geworfen wird, mit Maßangaben.

Die Flugkurve des Balles lässt sich mit einer Funktionsgleichung der Form $y=ax^{2}+c$ annähernd beschreiben. Der Ball verlässt beim Aufschlag von unten die Hand in einer Höhe von $90 \,\text{cm}$ über der Grundlinie.
Nach $7,8 \,\mathrm{m}$ (horizontal gemessen) erreicht die Flugkurve des Balles ihre maximale Höhe von $4,0 \,\mathrm{m}.$
Gib eine mögliche Funktionsgleichung der zugehörigen Parabel $\mathrm{p}$ an.

ln welchem Abstand überquert der Ball das $2,24 \,\mathrm{m}$ hohe Netz?

Die Grundlinien des Volleyballspielfeldes sind jeweils $9,0 \,\mathrm{m}$ vom Netz entfernt (siehe Skizze).
ln welcher Entfernung zur Grundlinie trifft der Ball auf dem Boden auf?

(4,5 P)

Lösung W1

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A=\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{AB}+\overline{EC})\cdot \overline{AE}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varepsilon_1 )&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin(64^{\circ} )&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{EC} \\[5pt] \sin(64^{\circ} )\cdot \overline{EC} &=& 9,5\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \sin(64^{\circ} ) \\[5pt] \overline{EC}&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\sin(64^{\circ})} \\[5pt] \overline{EC}&= &\underline{ 10,57\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma_1}$ berechnen

$\gamma_1 = 180^{\circ}-64^{\circ}- 90^{\circ} = \underline{ 26 ^{\circ}}$

2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{FD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma_1)&=&\dfrac{\overline{FD}}{\overline{CD}} \quad \scriptsize \\[5pt] \sin(26 ^{\circ} )&=&\dfrac{\overline{FD}}{9,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 9,5\,\text{cm} \\[5pt] \sin(26 ^{\circ} )\cdot 9,5\,\text{cm} &=& \overline{FD} & \\[5pt] \overline{FD} &=& \sin(26 ^{\circ} )\cdot 9,5\,\text{cm} & \\[5pt] \overline{FD} &= &\underline{ 4,16\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& \overline{HD}-\overline{FD} \\ &=& 12,9\,\text{cm}-4,16\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 8,74\,\text{cm} } \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma_2&=& \gamma-\gamma_1 \\[5pt] &=& 95^{\circ}-26^{\circ} \\[5pt] &=& \underline{ 69^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{CG}}$ berechnen

$\overline{BG} = \overline{AE} = 8,74\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma_2)&=&\dfrac{\overline{BG}}{\overline{CG}} \\[5pt] \tan(69^{\circ} )&=&\dfrac{8,74\,\text{cm}}{\overline{CG}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{CG} \\[5pt] \tan(69^{\circ} ) \cdot \overline{CG} &=&8,74 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \tan(69^{\circ} ) \\[5pt] \overline{CG}&=&\dfrac{8,74\,\text{cm}}{\tan(69^{\circ})} \\[5pt] \overline{CG}&= &\underline{ 3,35\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \overline{EC}-\overline{CG}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10,57\,\text{cm}-3,35\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 7,22\,\text{cm}} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{AB}+\overline{EC})\cdot \overline{AE}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot (7,22\,\text{cm}+10,57\,\text{cm}) \cdot 8,74\,\text{cm} \\[5pt] &=& 77,74\,\text{cm}^2 \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 77,7\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A=\overline{AD}\cdot \overline{DC}$

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel $60^{\circ}$ groß:

Skizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020 Wahlteil

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\overline{AD} = \overline{HF}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(60^{\circ})&=&\dfrac{\overline{HF}}{2\mathrm{e}\sqrt{3}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] \tan(60^{\circ}) \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3} &=& \overline{HF}\\[5pt] \overline{HF} &=&\tan(60^{\circ}) \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3}\\[5pt] \overline{HF}&=&\underline{ 6\mathrm{e}} \quad = \overline{AD} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, gilt $\overline{DG} = \overline{AD} = 6\mathrm{e}.$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(30^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{DG}}{\overline{DF}} \\[5pt] \cos(30^{\circ}) &=& \dfrac{6\mathrm{e}}{\overline{DF}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DF}\\[5pt] \cos(30^{\circ}) \cdot \overline{DF} &=& 6\mathrm{e} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(30^{\circ}) \\[5pt] \overline{DF} &=& \dfrac{6\mathrm{e}}{\cos(30^{\circ})} \\[5pt] \overline{DF} &=& \underline{ 4 \mathrm{e}\sqrt{3}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DC}}$ berechnen

$\overline{FC} = \overline{HB} = 2\mathrm{e}\sqrt{3}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DC}&=& \overline{DF} + \overline{FC}\\[5pt] &=& 4 \mathrm{e}\sqrt{3} + 2 \mathrm{e}\sqrt{3}\\[5pt] &=& \underline{ 6\mathrm{e}\sqrt{3}} \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \overline{AD} \cdot \overline{DC} \\[5pt] &=& 6\mathrm{e} \cdot 6\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 36\mathrm{e}^2\sqrt{3}}} \end{array}$

Damit ist die Aussage bewiesen.

Lösung W2

1. Schritt: Flächeninhalt des Manteldreiecks berechnen

Pyramidenskizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Da die Pyramide regelmäßig ist, sind die Manteldreiecke gleichschenklig und es gilt:

Rechenweg anzeigen

$h_s = 31,85\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{\,\text{Manteldreieck}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 6,2\,\text{cm} \cdot 31,85\,\text{cm} \\[5pt] &= &\underline{ 98,74\,\text{cm}^2}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

Die Grundfläche der Pyramide lässt sich in acht gleichschenklige Dreiecke einteilen:

Grundfläche Pyramide - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 360^{\circ}:8 \\[5pt] &=& 45^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\overline{AM}} \\[5pt] \sin(22,5°)&=&\dfrac{3,1\,\text{cm}}{\overline{AM}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AM}\\[5pt] \sin(22,5°)\cdot \overline{AM} &=& 3,1\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \sin(22,5^{\circ} ) \\[5pt] \overline{AM} &=& \dfrac{3,1\,\text{cm}}{ \sin(22,5^{\circ}) } \\[5pt] \overline{AM} &= &8,1\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \overline{AM}\cdot 2 \\[5pt] &=& 8,1\,\text{cm} \cdot 2 \\[5pt] &=& \underline{ 16,2\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Höhe des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen

Pyramidenquerschnitt - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

$A_{ABC} = A_{\,\text{Manteldreieck}} = 98,74\,\text{cm}^2$

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{MC} \\[5pt] 98,74\,\text{cm}^2&=&\dfrac{1}{2} \cdot 16,2\,\text{cm} \cdot \overline{MC} \\[5pt] 98,74\,\text{cm}^2&=& 8,1\,\text{cm} \cdot \overline{MC} \quad \scriptsize \mid\; :8,1 \,\text{cm} \\[5pt] \dfrac{ 98,74\,\text{cm}^2}{ 8,1\,\text{cm}} &=& \overline{MC} \\[5pt] \overline{MC} &=& \dfrac{ 98,74\,\text{cm}^2}{ 8,1\,\text{cm}}\\[5pt] \overline{MC} &=& \underline{ 12,19\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen

Rechenweg anzeigen

$h \approx \underline{ 30,96\,\text{cm}}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{SC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SC}&=& h-\overline{MC} \\[5pt] &=& 30,96\,\text{cm}-12,19\,\text{cm} \\[5pt] &=&18,77\,\text{cm}\\[5pt] \overline{SC}&=& \underline{\underline{ 18,8\,\text{cm}}} \end{array}$

Din A4-Blatt Skizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Inhalt der Restfläche berechnen

Bei der Restfläche handelt es sich um ein Drachenviereck.

$\begin{array}[t]{rll} A_R &=& \frac{1}{2}\cdot l \cdot b \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 29,7\,\text{cm} \cdot 21\,\text{cm}\\[5pt] &=& \underline{ 311,85 \,\text{cm}^2} \\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt der Manteldreiecke berechnen

Skizze Pyramidenhälfte - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

1. Schritt: $\boldsymbol{a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&(10,5\,\text{cm})^2+(10,5\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] a&=& \sqrt{(10,5\,\text{cm})^2+(10,5\,\text{cm})^2} \\[5pt] a&= &\underline{ 14,85\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{h_s}$ berechnen

$h= l-c =29,7\,\text{cm}-10,5\,\text{cm}=19,2\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} h_s^2 &=& h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h_s^2 &=& \left(19,2\,\text{cm} \right)^2 + \left(\frac{14,85\,\text{cm}}{2} \right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h_s &=& \sqrt{\left(19,2\,\text{cm} \right)^2 + \left(\frac{14,85\,\text{cm}}{2} \right)^2} \\[5pt] h_s &=&\underline{ 20,59\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{BCS}&=&\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 14,85\,\text{cm} \cdot 20,59\,\text{cm} \\[5pt] &= & \underline{ 152,9\,\text{cm}^2} \\[5pt] \end{array}$

Da es sich um eine gerade quadratische Pyramide handelt, gilt $A_{ABS} = A_{BCS}.$

$\begin{array}[t]{rll} A_{M}&=& 152,9\,\text{cm}^2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 305,8\,\text{cm}^2 \neq 311,85\,\text{cm}^2 \end{array}$

Da die Restfläche größer als die Fläche der zwei Manteldreiecke ist, hat Lena nicht recht.

Lösung W3

Funktionsgleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ berechnen

1. Schritt: Scheitelpunkt von $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen

$p_1:\; y= x^2 +bx +c$

Durch Einsetzen der Koordinaten von $N_1(-5\mid 0)$ und $N_2(-1\mid 0)$ ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0 &=& (-5)^2 +b\cdot (-5) + c \\ \text{II}\quad& 0 &=& (-1)^2 +b \cdot (-1) + c \\ \hline \text{I}\quad& 0 &=& 25 -5 b + c \quad \scriptsize \mid\; \text{I}-\text{II} \\ \text{II}\quad& 0 &=& 1 -b + c \\ \hline \text{I$

Einsetzen von $b=6$ in $\text{II}:$

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 1-b +c &\quad \scriptsize \mid\;b=6 \\[5pt] 0 &=& 1-6 +c \\[5pt] 0&=& -5 +c &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt] 5 &=& c \\[5pt] c &=& 5 \end{array}$

$p_1:\; y = x^2 +6x +5$

Durch quadratische Ergänzung kann die Funktionsgleichung von $p_1$ in die Scheitelpunktform gebracht werden:

$\begin{array}[t]{rll} p_1:\; y&=& x^2+6x+5 \\[5pt] &=& x^2+2\cdot 3x+5\\[5pt] &=& x^2+2\cdot 3x +3^2 -3^2+5\\[5pt] &=& (x+3)^2-3^2 + 5\\[5pt] y&=& (x+3)^2-4 \end{array}$

$\underline{ S_1(-3\mid -4)}$

2. Schritt: Scheitelpunkt von $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} p_2:\; y&=&x^2-6x+11 \\[5pt] &=&x^2-2\cdot 3x+11\\[5pt] &=&x^2-2\cdot 3x +3^2 -3^2+11\\[5pt] &=&(x-3)^2-3^2+11\\[5pt] y&=&(x-3)^2+2 \end{array}$

$\underline{ S_2(3\mid2)}$

3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ berechnen

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{2-(-4)}{3-(-3)}=1$

$\begin{array}[t]{rll} g: \; y &=& m \cdot x + c \\[5pt] y &=& 1 \cdot x +c &\quad \scriptsize \mid\; S_2(3\mid2) \\[5pt] 2 &=& 1 \cdot 3 + c &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt] -1 &=& c \\[5pt] c &=& -1 \end{array}$

$\underline{\underline{ g:\; y=x-1}}$

Schnittwinkel von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ bestimmen

Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt.

Steigung $h:\; m_h=-1$

Steigung $g:\;m_g=1$

$m_h \cdot m_g= -1 \cdot 1 = -1$

Die beiden Geraden stehen senkrecht zueinander. Daher ist jeder der vier Schnittwinkel $\underline{\underline{ 90^{\circ}}}$ groß.

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Parabel und einer Linie, die ein schattiertes Dreieck bildet.

Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{N_1}$ und $\boldsymbol{N_2}$ berechnen

$N_1$ und $N_2$ liegen auf der $x$ -Achse. Für beide gilt also $y=0.$

$\begin{array}[t]{rll} p:\; y &=& x^2 +6x &\quad \scriptsize \mid\; y = 0\\[5pt] 0 &=& x^2 +6x &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{6}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{6}{2}\right)^2 -0} \\[5pt] &=& -3 \pm 3 \\[5pt] x_1 &=& -3+3 =0 \\[5pt] x_2 &=& -3 -3 = -6 \end{array}$

$\underline{ N_1(0\mid 0)},$ $\underline{ N_2(-6\mid 0)}$

2. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{C}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p &=& g \\[5pt] x^2+6x &=& x \quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] x^2+5x &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 - 0} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{5}{2} \\[5pt] x_1&=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2} = 0 \\[5pt] x_2&=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2} = -\dfrac{10}{2} = -5 \end{array}$

$x_2$ in $y=x$ einsetzen:

$y=-5$

$\underline{ C(-5\mid-5)}$

3. Schritt: Grundseite und Höhe des Dreiecks bestimmen

$\overline{N_1N_2}$ kann als Grundseite des Dreiecks betrachtet werden. Diese liegt auf der $x$ -Achse.
Die Länge der Grundseite ergibt sich deshalb aus den $x$ -Koordinaten von $N_1$ und $N_1:$

$\overline{N_1N_2} = 0-(-6) = \underline{ 6 \,\text{LE}}$

Die Höhe des Dreiecks entspricht dann dem Abstand von $C$ zur $x$ -Achse:

$h= \left|y_C \right| =\left|-5 \right| =\underline{ 5\,\text{LE}}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{N_1N_2C}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{N_1N_2} \cdot \,\text{h} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 6\,\text{LE} \cdot 5\,\text{LE} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 15\,\text{FE}}} \end{array}$

Peters Behauptung überprüfen

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Parabel und verschiedenen Punkten.

1. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{D}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p &=& h \\[5pt] x^2+6x&=& \dfrac{1}{2}x \quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{2}x \\[5pt] x^2+5,5x &=& 0 \quad \scriptsize\mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{5,5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5,5}{2}\right)^2-0}\\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{5,5}{2}\pm\dfrac{5,5}{2}\\[5pt] x_1&=& -\dfrac{5,5}{2}+\dfrac{5,5}{2} = 0 \\[5pt] x_2&=& -\dfrac{5,5}{2}-\dfrac{5,5}{2} = -5,5 \end{array}$

$x_2$ in $y=\dfrac{1}{2}x$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y_D&=& \dfrac{1}{2} \cdot (-5,5) \\[5pt] y_D&=& -2,75 \end{array}$

$\underline{ D(-5,5\mid-2,75)}$

2. Schritt: Neue Höhe berechnen

$h_{\,\text{neu}}= \left|y_D \right| =\left|-2,75 \right| =\underline{ 2,75\,\text{LE}}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{N_1N_2D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{LE} \cdot 2,75\,\text{LE} \\[5pt] &=& \underline{ 8,25\,\text{FE}} \end{array}$

$8,25\,\text{FE} \cdot 2=16,5\,\text{FE}\neq 15\,\text{FE}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $N_1N_2D$ ist nicht halb so groß, wie der Flächeninhalt des Dreiecks $N_1N_2C.$
Peter hat also nicht recht.

Lösung W4

$K:$ Kreis

$Q:$ Quadrat

$D:$ Dreieck

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Symbole im Sichtfenster zu sehen?

Rechenweg anzeigen

$P\text{(2 gleiche Symbole)}= 35\,\%$

Erwartungswert berechnen

Rechenweg anzeigen

$P(\,\text{Kreis und Dreieck}) = \dfrac{1}{8}$

$P(\text{Rest}) = 1- \frac{7}{20}- \dfrac{1}{8} = \dfrac{21}{40}$

Rechenweg anzeigen

$E =\underline{\underline{ -0,3\,€ }}$

Für den abgebildeten Gewinnplan beträgt der Erwartungswert $-0,30\,€.$

Faires Spiel erstellen

Bei einem fairen Spiel gilt $E=0.$

$x:$ Neuer Gewinn für "Kreis und Dreieck"

Rechenweg anzeigen

$x= \underline{\underline{ 6,40 \,€}}$

Der Gewinn für das Ereignis ,,Kreis und Dreieck" muss 6,40 € betragen, wenn nur dieser Gewinn geändert werden und das Spiel fair sein soll.

Mögliche Funktionsgleichung berechnen

Der höchste Punkt der Flugbahn entspricht dem Scheitelpunkt der Parabel:

Scheitelpunkt: $S(0\mid4)$

Da dieser auf der $y$ -Achse liegt, gilt $c=y_S=4.$

Aufschlagspunkt: $P(7,8\mid0,9)$

$\begin{array}[t]{rll} p \; y&=& ax^2+c &\quad \scriptsize \mid\;c=4 \\[5pt] y&=& ax^2+4 &\quad \scriptsize \mid\;P(7,8\mid0,9) \\[5pt] 0,9&=& a \cdot 7,8^2 +4&\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -3,1&=& a \cdot 7,8^2 &\quad \scriptsize \mid\;:7,8^2 \\[5pt] -\dfrac{3,1}{7,8^2}&=& a \\[5pt] a &=& -\dfrac{3,1}{7,8^2} \\[5pt] a &=& -\dfrac{155}{3042} \end{array}$

Eine mögliche Funktionsgleichung der Parabel $p$ lautet also:

$\underline{\underline{ p: y=-\dfrac{155}{3042}x^2+4}}$

ln welchem Abstand überquert der Ball das Netz?

Berechnung der $x$ -Koordinate des Überflugpunkts:

$x = 7,8-9 = -1,2$

$x=-1,2$ in $p$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{155}{3042}\cdot (-1,2)^2+4 \\[5pt] y&= & 3,93 \end{array}$

Abstand $d$ zum Netz berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} d &=& 3,93\,\text{m}- 2,24\,\text{m} \\[5pt] &=& 1,69\,\text{m} \\[5pt] d&=& \underline{\underline{ 1,7\,\text{m}}} \end{array}$

Der Ball überquert das Netz mit einem Abstand von $1,7\,\text{m}.$

ln welcher Entfernung zur Grundlinie trifft der Ball auf dem Boden auf?

Der Boden wird durch die $x$ -Achse dargestellt.

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{155}{3042}x^2+4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -\dfrac{155}{3042}x^2&=& -4 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(-\dfrac{3042}{155}\right)\\[5pt] x^2&=& \dfrac{12168}{155} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] x_1&=& 8,86 \\[5pt] x_2&=& -8,86 \end{array}$

Abstand der Grundlinie zum Netz $n$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} n&=& 9\,\text{m}+1,2\,\text{m} \\[5pt] &=& 10,2\,\text{m} \end{array}$

Die Grundlinie des Gegners ist $10,2\,\text{m}$ vom Nullpunkt entfernt.

Abstand der gegenerischen Grundlinie und des Aufprallpunkts $g$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} g&=& 10,2\,\text{m}-8,86\,\text{m} \\[5pt] &=& 1,34\,\text{m} \end{array}$

ln einer Entfernung von $1,34\,\text{m}$ zur gegnerischen Grundlinie trifft der Ball auf dem Boden auf.

Abstand der eigenen Grundlinie und des Aufprallpunkts $e$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} e&=& 7,8\,\text{m} + 8,86\,\text{m} \\[5pt] &=& 16,66\,\text{m} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 16,7\,\text{m}}} \end{array}$

ln einer Entfernung von $16,7\,\text{m}$ zur eigenen Grundlinie trifft der Ball auf dem Boden auf.