Extremwertaufgaben

Vorgehensweise

1. Sachverhalt veranschaulichen

2. Funktionsterm aufstellen

3. Funktionswert bestimmen

4. Extrempunkt bestimmen

5. Ränder des Definitionsbereiches vergleichen

6. Ergebnis prüfen

7. Ergebnis formulieren

Beispiel

An eine Hauswand angrenzend soll ein rechteckiger Stellplatz für Fahrräder eingezäunt werden. Im Baumarkt hat Anna einen 12 Meter langen Zaun gekauft. Der Stellplatz soll möglichst groß werden.

1. Schritt: Sachverhalt veranschaulichen

2. Schritt: Funktionsterm aufstellen

Breite: $x,$ Länge: $12-2x$

Für den Flächeninhalt des Rechtecks folgt:

$f(x)= x\cdot (12-2x)$ $=12x-2x^2$ mit $0 \leq x \leq 6$

3. Schritt: Funktionswert bestimmen

Der Flächeninhalt des Rechtecks soll möglichst groß sein. Folglich ist der höchste Punkt gesucht.

4. Schritt: Extrempunkt bestimmen

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergeben sich die Koordinaten des Hochpunktes zu $(3 \mid 18).$

5. Schritt: Ränder des Definitionsbereiches vergleichen

Die Randstellen sind $x=0$ und $x=6.$ Eingesetzt in die Funktionsgleichung, ergibt sich für den Flächeninhalt jeweils Null.

6. Schritt: Ergebnis prüfen

$x=3$ ist sinnvoll.

7. Schritt: Ergebnis formulieren

Der Stellplatz wird mit $18 \;\text{m}^2$ am größten, wenn der Zaun im Abstand von $3 \;\text{m}$ parallel zur Hauswand aufgestellt wird.

1. Schritt: Sachverhalt veranschaulichen

2. Schritt: Funktionsterm aufstellen

$f(a)= a\cdot \left(\dfrac{50-2a}{2}\right)$ $= a\cdot (25-a)$ $=25a-a^2$ für $0 \leq a \leq 25$

3. Schritt: Funktionswert bestimmen

Es soll $f(a)\geq 40\;\text{cm}^2$ sein.

4. Schritt: Extrempunkt bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&\geq& 40 \\[5pt] 25a-a^2&\geq& 40 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgen $a_1\approx 23,3$ und $a_2 \approx 1,7.$

5. Schritt: Ränder des Definitionsbereiches vergleichen

Für $a=0$ und für $a=25$ ist $f(a)=0.$

6. Schritt: Ergebnis prüfen

Beide Ergebnisse sind sinnvoll und grenzen $a$ ein.

7. Schritt: Ergebnis formulieren

Wird für die Seitenlänge $a$ ein Wert zwischen $1,7\,\text{cm}$ und $23,3\,\text{cm}$ gewählt, so nimmt das eingeschlossene Rechteck einen Flächeninhalt $\geq 40\;\text{cm}^2$ an.

3. Schritt: Funktionswert bestimmen

Es soll $f(a)=20\;\text{cm}^2$ sein.

4. Schritt: Extrempunkt bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=& 20 \\[5pt] 25a-a^2&=& 20 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners folgt $a_1\approx 24,2$ und $a_2 \approx 0,8.$

5. Schritt: Ränder des Definitionsbereiches vergleichen

Für $a=0$ und für $a=25$ ist $f(a)=0.$

6. Schritt: Ergebnis prüfen

Beide Ergebnisse sind sinnvoll.

7. Schritt: Ergebnis formulieren

Sowohl für $a_1\approx 24,2\,\text{cm},$ als auch für $a_2 \approx 0,8\,\text{cm}$ nimmt das eingeschlossene Rechteck einen Flächeninhalt von $20 \;\text{cm}^2$ an.

3. Schritt: Funktionswert bestimmen

Es soll $f(a)$ maximal sein. Gesucht sind die Koordinaten des Extrempunktes.

4. Schritt: Extrempunkt bestimmen

Mit dem CAS folgen die Koordinaten des Hochpunktes zu $H( 12,5 \mid 156,3).$

5. Schritt: Ränder des Definitionsbereiches vergleichen

Für $a=0$ und für $a=25$ ist $f(a)=0.$

6. Schritt: Ergebnis prüfen

Die Stelle $a=12,5$ ist sinnvoll.

7. Schritt: Ergebnis formulieren

Für $a=12,5\,\text{cm}$ ist der Flächeninhalt des eingeschlossenen Rechtecks zu $156 \;\text{cm}^2$ größtmöglich.

1. Schritt: Sachverhalt veranschaulichen

2. Schritt: Funktionsterm aufstellen

Der Inhalt der Rechtecksfläche lässt sich ausdrücken als:

$\begin{array}[t]{rll} A(r)&=& r\cdot f(r) \\[5pt] &=& r \cdot \left(-\dfrac{3}{10}\cdot r+3\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{10}\cdot r^2+3\cdot r \end{array}$