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SachsenGymnasiumKlasse 9
Mathe
Mathe / Digitales Schulbuch
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Illustration für das Schulfach Mathe
Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis
Potenzen
Potenzen mit ganzzahligem Exponent
Zehnerpotenzen
Potenzen mit rationalem Exponent
Reelle Zahlen
Potenzen multiplizieren
Potenzen dividieren
Wurzelgleichungen
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Quadratische Funktionen
Verschieben der Normalparabel
Strecken und Spiegeln der Normalparabel
Scheitelpunktform
Normalform
pq-Formel
Extremwertaufgaben
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponent
Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligem Exponent
Wurzelfunktionen
Verschieben und Strecken der Graphen von Potenzfunktionen
Parabeln als Ortslinien
Rechtwinklige Dreiecke
Satz des Pythagoras mit Umkehrung
Satz des Pythagoras im Raum
Höhen- und Kathetensatz
Sinus, Kosinus, Tangens
Berechnungen an Dreiecken
Kreis, Zylinder, Kegel & Kugel
Kreisumfang
Kreisfläche
Kreisausschnitte
Zylinder
Kegel
Kugel
Daten
Mittelwerte
Zufallsgrößen – Standardabweichung
Klassenbildung von Daten

Potenzen multiplizieren

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden miteinander multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.

Definition

\(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\quad (n,m \in \mathbb{Z},\quad a\neq 0)\)

Beispiele

\(2^2\cdot 2^6=2^{2+6}=2^8\)
\(3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{5}{6}}\) \(=3^{ \frac{1}{3} - \frac{5}{6} }\) \(=3^{ \frac{2}{6} - \frac{5}{6} }\) \(=3^{ -\frac{3}{6}} = 3^{ -\frac{1}{2}}\)

Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten

Potenzen mit gleichen Exponenten werden miteinander multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

Definition

\(a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^m\quad (m\in \mathbb{Z},\quad a,b\neq 0)\)

Beispiele

\(2^6\cdot 3^6=(2\cdot 3)^6=6^6\)
\(3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}\) \(=(3\cdot 5)^{\frac{1}{3}}\) \(= 15^{\frac{1}{3}}\)

Potenzen potenzieren

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Definition

\((a^n)^m=a^{n\,\cdot \,m} \quad (n,m \in \mathbb{Z},\quad a\neq 0)\)

Beispiele

\((3^2)^4=3^{2\cdot 4}=3^8\)
\((3^{\frac{1}{3}})^{-\frac{5}{6}}\) \(=3^{\frac{1}{3}\cdot {\big(-\frac{5}{6}\big)}}\) \(=3^{-\frac{5}{18}}\)
1
Vereinfache.
a)
\(5^3\cdot 5^4\)
b)
\(3^5\cdot 4^5\)
c)
\(11^4\cdot 3^4 \)
d)
\(53^2\cdot 53^4 \)
e)
\(5^5\cdot 5^7 \)
f)
\(2^{11}\cdot 6^{11} \)
g)
\(9^c\cdot 9^2 \)
h)
\(8^3\cdot 2^3 \)
2
Fasse zu einer Potenz mit einem Exponenten zusammen.
a)
\((3^2)^3\)
b)
\((10^{-4})^6\)
c)
\(\left(\left(\dfrac{3}{14}\right)^6\right)^5\)
d)
\(\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^4\right)^5\)
e)
\(((15x)^2)^6\)
f)
\((6^{-2x})^x\)
3
Kontrolliere, ob hier richtig gerechnet wurde. Korrigiere gegebenenfalls.
a)
\(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}\) \(=a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\) \(=a^{ \frac{5}{6} }\)
b)
\((10^{-5})^{-7} = 10^{-13}\)
c)
\(\sqrt{5^4} \cdot \sqrt{5^{-4}}=\sqrt{5^0}=1\)
d)
\(b^{\frac{x}{7}} \cdot 3^{\frac{x}{7}}\) \(=b^{\frac{x^2}{49}}\)

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1
a)
\(5^{3+4} = 5^{7}\)
b)
\((3\cdot 4)^5 = 12^5\)
c)
\((11\cdot 3)^4 = 33^4 \)
d)
\(53^{2+4} = 53^6 \)
e)
\(5^{5+7}= 5^{12} \)
f)
\((2\cdot 6)^{11}= 12^{11} \)
g)
\(9^{c+2} \)
h)
\((8\cdot 2)^3 = 16^3 \)
2
a)
\((3^2)^3=3^{2\cdot 3}=3^6\)
b)
\((10^{-4})^6=10^{(-4)\cdot 6}=10^{-24}\)
c)
\(\left(\left(\dfrac{3}{14}\right)^6\right)^5=\left(\dfrac{3}{14}\right)^{6\cdot 5}=\left(\dfrac{3}{14}\right)^{30}\)
d)
\(\quad \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^4\right)^5\)
\(\begin{array}[t]{rll} &=& \left(\left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\right)^4\right)^5 \\[5pt] &=& \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\right)^5 \\[5pt] &=&\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20} \\[5pt]\end{array}\)
e)
\(((15x)^2)^6=(15x)^{2\cdot 6}=(15x)^{12}\)
f)
\((6^{-2x})^x=6^{-2x\cdot x}=6^{-2x^2}\)
3
a)
✔️
b)
\((10^{-5})^{-7} \)\(= 10^{(-5)\cdot (-7)}\) \(=10^{35}\)
c)
✔️
d)
\(b^{\frac{x}{7}} \cdot 3^{\frac{x}{7}}\) \(=(3b)^{\frac{x}{7}}\)

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