Berechnungen an Dreiecken
Bei der Berechnung von Größen in Dreiecken hilft es, systematisch in einzelnen Schritten vorzugehen.
Rechtwinklige Dreiecke
Zunächst wird eine Skizze angefertigt, in welche die gegebenen und gesuchten Größen eingetragen und markiert werden.
Im zweiten Schritt wird zur Berechnung der gesuchten Größe eine der drei Gleichungen für Sinus, Kosinus und Tangens ausgesucht, in der die zwei gegebenen und die gesuchte Größe vorkommen.
Anschließend werden die gegebenen Größen in die Gleichung eingesetzt und nach der gesuchten Größe umgeformt, um diese zu berechnen.
Beispiel
Die Größe des Winkels 
ist gesucht, somit wird dieser in der Skizze grün markiert:
In diesem Fall sind die Ankathete und die Hypotenuse von gegeben, das heißt der Kosinus wird verwendet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{b}{c} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{6\;\text{m}}{7\;\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha&\approx&31^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7926e81c97ef9efcef3bf45276d5657f61ef6ef266756f53b6c2537e35a15366?color=5a5a5a)
Gleichschenklige Dreiecke
Auch hier wird als Erstes eine Skizze angefertigt.
Das eingezeichnete gleichschenklige Dreieck wird dann durch die Höhe in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt.
Anschließend werden die restlichen der obigen Schritte für rechtwinklige Dreiecke auf die beiden entstandenen Teildreiecke angewendet. Hierbei kann auch die Winkelsumme der einzelnen Dreiecke helfen.
Skizze
1
Berechne die in den Abbildungen jeweils grün markierte Größe.
a)
b)
c)
d)
2
Von der abgebildeten Raute sind die Längen der grün markierten Diagonalen 
und 
bekannt, sie betragen 
und 
Berechne die eingezeichneten Winkel und 
sowie den Wert von 
Berechne die eingezeichneten Winkel
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1
a)
Ankathete: 
Hypotenuse: 
Mit dem Kosinus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{b}{6}&=&\cos(63^\circ) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6 \\[5pt]
b&=&6\cdot\cos(63^\circ) \\[5pt]
b&\approx&2,72\;[\text{m}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5ef14a5a61741890ea522c049431bcd53bdb824c7f2a2705fbb04807b878523f?color=5a5a5a)
b)
Gegenkathete: 
Hypotenuse: 
Der Sinus liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=&\dfrac{7}{9} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt]
\alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{7}{9}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&51,06^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f0f62da6a673d168e002c4803b7a951ca9f0bf53c890e9215b40ec95778aa5af?color=5a5a5a)
c)
Ankathete:
Hypotenuse: 
Mit dem Kosinus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{6}{8} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{6}{8}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&41,41^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/05476224699304180ddf148b36d744f19037eef4df7d9220024cfc51ba9e3470?color=5a5a5a)
d)
Ankathete: 
Hypotenuse:
Der Kosinus liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(60^\circ)&=&\dfrac{4}{c} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt]
c\cdot\cos(60^\circ)&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;:\cos(60^\circ) \\[5pt]
c&=&\dfrac{4}{\cos(60^\circ)} \\[5pt]
c&=&8\;[\text{m}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/804400a854a1904f47f247d24eb803c53978566f9f029e5cca7d19496f485b13?color=5a5a5a)
2
Da es sich um eine Raute handelt, sind alle vier Seiten gleich lang. Somit lässt sich die Raute entlang der beiden Diagonalen in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke teilen:
Anhand der Skizze wird erkenntlich, dass ein Dreieck mit Seitenlängen 
und 
sowie Winkeln 
und 
entsteht. Für den Winkel 
sind die Werte der Ankathete und der Gegenkathete bekannt, somit folgt mit dem Tangens:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{3}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\dfrac{\alpha}{2}&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2 \\[5pt]
\alpha&=&2\cdot\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{2}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&112,62^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1bd9e2dab4f8fe8a14a6f2e8e70fc88184c3b85f13110bf96a7f28a6eb899c5a?color=5a5a5a)
Für den Winkel 
beschreibt 
den Wert der Ankathete und 
den Wert der Gegenkathete. Der Tangens liefert daher:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=&\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\dfrac{\beta}{2}&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2 \\[5pt]
\beta&=&2\cdot\tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) \\[5pt]
\beta&\approx&67,38^\circ
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ec3a6232b8c05d2934bc501bee1ea614ae01b1625f36eb2a954de1620dd1e1e1?color=5a5a5a)
Mit Hilfe z.B. des Werts von 
kann nun der Wert von berechnet werden. Die Seite ist die Hypotenuse des Dreiecks, zudem ist z.B. die Ankathete 
des Winkels gegeben. Mit dem Kosinus folgt somit: