Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a$ $(a>3 \,\text{cm}).$ Die Länge eines Rechtecks ist um $2 \,\text{cm}$ größer und die Breite des Rechtecks um $3\,\text{cm}$ kleiner als bei dem Quadrat.

Bestimme für einen selbstgewählten Wert $a$ den Unterschied zwischen dem Umfang des Quadrats und dem Umfang des Rechtecks.

(3 BE)

Zeige, dass gilt: $(a+2) \cdot(a-3)=a^2-a-6$

(1 BE)

Im Zusammenhang mit den oben betrachteten Vierecken wird mit der Gleichung $(a+2) \cdot(a-3)=42,75$ eine Größe berechnet.

Löse die Gleichung und deute den Wert $42,75$ im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Wahlpflichtaufgabe 2

Die Abbildung 1 zeigt ein Mausoleum in Derneburg.
Vereinfacht wird das Mausoleum als Pyramide mit quadratischer Grundfläche betrachtet.
Die Pyramide hat eine Höhe von $10,5 \,\text{m}$ und eine Grundkante hat eine Länge von $11,8 \,\text{m}.$

Abbildung 1 (nicht maßstäblich)

Sjoehest, Derneburg Mausoleum.1, CC BY-SA 3.0

Zeige, dass der Neigungswinkel einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche der Pyramide etwa $61^{\circ}$ beträgt.

(2 BE)

Für den Bau des Mausoleums wurden Sandsteinquader verwendet. Die Sandsteinquader haben eine Länge von $2,5 \,\text{m},$ eine Höhe von $0,3\,\text{m}$ und eine Breite von $0,4 \,\text{m}.$ Die verwendeten Sandsteinquader besitzen eine Gesamtmasse von $506,25$ Tonnen.

Berechne die Anzahl der Sandsteinquader, die zum Bau der Pyramide mindestens verwendet wurde.

Hinweis:
Ein Kubikmeter Sandstein hat eine Masse von $2,7$ Tonnen.

(3 BE)

Das Mausoleum hat insgesamt 34 Stufen. Eine modellhafte Ansicht der Stufen 30 bis 34 ist in Abbildung 2 gezeigt.

Abbildung 2 (nicht maßstäblich)

Die Länge der 34. Stufe kann mithilfe des Terms $2,0-8 \cdot \dfrac{0,3}{\tan 61^{\circ}}$ berechnet werden.

Ermittle die Länge der 33. Stufe.

Erläutere mithilfe einer geeigneten Skizze die Bedeutung des Faktors $\dfrac{0,3}{\tan 61^{\circ}}$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Wahlpflichtaufgabe 3

Im Mai 2022 wurden $207\,200$ Pkw mit unterschiedlichen Antriebsarten zugelassen. In der Abbildung sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten dargestellt.

Abbildung

Beurteile die folgende Aussage.

Ein Fünftel aller im Jahr 2022 zugelassenen Pkw waren Elektroautos.

(1 BE)

Im Mai 2021 wurden $26\,754$ Elektroautos zugelassen.
Ermittle, um wie viel Prozent die Anzahl der Elektroautos im Mai 2022 gegenüber der Anzahl der Elektroautos im Mai 2021 gestiegen ist.

(3 BE)

Die maximale Wegstrecke, die ein vollständig aufgeladenes Elektroauto zurücklegen kann, wird bestimmt durch den Energiebedarf pro $100 \,\text{km}$ und die Batteriekapazität.

Die Abhängigkeit der verbleibenden Batteriekapazität von der zurückgelegten Wegstrecke eines ausgewählten Elektroautos kann annähernd durch die lineare Funktion $f$ mit $f(x)=-\dfrac{17,4}{100} x+42$ beschrieben werden. Dabei beschreibt $x$ die Wegstrecke in Kilometer (km) und $f(x)$ die verbleibende Batteriekapazität in Kilowattstunden (kWh).

Gib die Bedeutung des Werts 42 im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$ und interpretiere diese im Sachzusammenhang.

(3 BE)

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Lösung 1

Beispielrechnung für $a=5\,\text{cm}:$

Umfang Quadrat: $4\cdot 5\,\text{cm}=20\,\text{cm}$

Umfang Rechteck: $2\cdot (5+2)\,\text{cm}+2\cdot (5-3)\,\text{cm}=18\,\text{cm}$

Unterschied: $20\,\text{cm}-18\,\text{cm}=2\,\text{cm}$

Für $a=5\,\text{cm}$ beträgt der Unterschied $2\,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} & (a+2)\cdot (a-3) \\[5pt] =& a^2-3a+2a-6 \\[5pt] =& a^2-a-6 \end{array}$

Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} (a+2)\cdot (a-3)&=& 42,75 \\[5pt] a^2-a-6&=& 42,75 \quad \scriptsize \mid\; -42,75 \\[5pt] a^2-a-48,75&=& 0 \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2}&=& -\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(-48,75)}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{49}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\pm 7\\[5pt] a_1&=& -6,5 \\[5pt] a_2&=& 7,5 \end{array}$

Wegen $a\gt 3$ gilt $a=7,5.$

Wert im Sachzusammenhang deuten

Der Wert $42,75$ ist der Betrag des Flächeninhalts eines Rechtecks mit den Seitenlängen $9,5\,\text{cm}$ und $4,5\,\text{cm}.$

Lösung 2

Skizze

Der Neigungswinkel $\alpha$ lässt sich mit dem Tangens berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{10,5\,\text{m}}{\frac{11,8\,\text{m}}{2}} \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 61° \end{array}$

Volumen aller verbauten Sandsteinquader:

$\dfrac{506,25\,\text{t}}{2,7\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}}=187,5\,\text{m}^3$

Volumen eines einzelnen Steinquaders:

$2,5\,\text{m}\cdot 0,3\,\text{m}\cdot 0,4\,\text{m}=0,3\,\text{m}^3$

Anzahl der verwendeten Steinquader:

$\dfrac{187,5\,\text{m}^3}{0,3\,\text{m}^3}=625$

Zum Bau der Pyramide wurden mindestens 625 Sandsteinquader verwendet.

Länge der 33. Stufe ermitteln

$2,0-6\cdot \dfrac{0,3}{\tan 61°}\approx 1,0$

Die 33. Stufe ist ungefähr einen Meter lang.

Faktor im Sachzusammenhang erläutern

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan 61°&=& \dfrac{0,3}{x}\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] \tan 61°\cdot x&=& 0,3\quad \scriptsize \mid\; : \tan 61° \\[5pt] x&=& \dfrac{0,3}{\tan 61°} \end{array}$

Für jede Stufe verkürzt sich die Länge daher um zweimal den Faktor $x.$

Lösung 3

Ein Fünftel entspricht $\dfrac{1}{5}=0,2=20\,\%.$ Der Anteil an Elektroautos lag jedoch nur bei $14\,\%.$

Die Aussage ist daher falsch.

Anzahl der im Mai 2022 zugelassenen Elektroautos:

$207\,200\cdot \dfrac{14}{100}=29\,008$

Differenz zu 2021:

$29\,008-26\,754=2\,254$

Steigerung berechnen:

$\dfrac{2\,254}{26\,754}\approx 0,084=8,4\,\%$

Die Anzahl der Elektroautos ist um ungefähr $8,4\,\%$ gestiegen.

Der Wert 42 gibt die Batteriekapazität eines vollständig geladenen Elektroautos in kWh an.

Nullstelle ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{17,4}{100}x+42&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -42 \\[5pt] -\dfrac{17,4}{100}x&=& -42 \quad \scriptsize \mid\; :\left(-\dfrac{17,4}{100}\right) \\[5pt] x&\approx& 241,4 \end{array}$

Nullstellen im Sachzusammenhang erläutern

Ist der Wert der Funktion gleich $0,$ so hat das Auto keine verbleibende Batteriekapazität mehr.

Ein vollständig geladenes Elektroauto kann also ungefähr $241\,\text{km}$ weit fahren.

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