Pflichtteil 2

Pflichtaufgabe 1

Gegeben ist eine lineare Funktion $f$ durch $y=f(x)=2 x+3, x \in R.$
Zeichne den Graphen von $f$ mindestens im Intervall $-2 \leq x \leq 1$ in ein Koordinatensystem.

In der Abbildung ist ein Viertel einer Kreisfläche als schraffierte Fläche dargestellt. Der Radius des zugehörigen Kreises beträgt $6\,\text{cm}.$
Berechne den Umfang der schraffierten Fläche.

Abbildung (nicht maßstäblich)

In der Tabelle sind Ergebnisse einer Verkehrszählung dargestellt. Erfasst wurde jeweils die Anzahl der Fahrzeuge, die einen Straßenabschnitt in den angegebenen Zeiträumen passieren.

	Mo	Mi	Fr	So
6 bis 9 Uhr	$4563$	$1648$	$3501$	$219$
9 bis 12 Uhr	$3391$	$2652$	$1753$	$1021$
12 bis 15 Uhr	$2598$	$2009$	$3984$	$2673$
15 bis 18 Uhr	$3520$	$2982$	$4792$	$984$

(I)

Ermittle die Spannweite dieser Daten.

(II)

Berechne die durchschnittliche Anzahl der Fahrzeuge pro Stunde für den Beobachtungszeitraum von 6 bis 18 Uhr am Montag.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

$5 \cdot(8 a-0,4 b)-(35 a-0,8 b)$

Gegeben ist eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche. Die Seitenlängen des Rechtecks sind $a=7\,\text{cm}$ und $b=5 \,\text{cm}.$ Die Körperhöhe beträgt $h=8\,\text{cm}.$
Zeichne ein Schrägbild dieser Pyramide.

10 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit $\overline{A B}=8\,\text{cm}, \overline{B C}=7\,\text{cm}$ und $\sphericalangle C B A=\beta=100^{\circ}.$

Konstruieren Sie das Dreieck $ABC.$

Berechne die Länge der Seite $\overline{AC}$ sowie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC.$

Die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks $ABC$ werden wie folgt bezeichnet.

Seite	Mittelpunkt der Seite
$\overline{AB}$	$M_1$
$\overline{BC}$	$M_2$
$\overline{AC}$	$M_3$

Ermittle das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Dreiecke $A B C$ und $M_1 B M_2$ zueinander.

8 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 3

Laut einer Studie tippen 4,5 Prozent der Autofahrer während der Fahrt auf ihrem Handy. Wissenschaftler hatten an 30 zufällig ausgewählten Standorten knapp 12000 Autofahrer beobachtet.
Gib die Anzahl der Autofahrer in dieser Studie an, die beim Tippen auf dem Handy beobachtet wurden.

Ein Autofahrer fährt auf einer Landstraße mit einer Geschwindigkeit von $90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und schaut dabei ca. 4 Sekunden auf das Display seines Handys.
Berechne den Weg, den er in dieser Zeit ohne Blick auf die Straße zurücklegt.

Die Tabelle zeigt durch Handy-Nutzung am Steuer entstehende kritische Situationen und deren prozentuales Auftreten.

Situation	Angabe in %
Umschalten der Ampel zu spät erkannt	$25$
Verkehrsbedingtes Bremsen zu spät erkannt	$15$
Von der Fahrspur abgekommen	$15$
Geschwindigkeitsbegrenzung übersehen	$10$
Andere

Stelle diesen Sachverhalt in einem Kreisdiagramm dar.

6 BE erreichbar

Lösung 1

Der Umfang der schraffierten Fläche setzt sich aus zwei Radien und einem Viertel des Umfangs des Kreises zusammen.

$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2\cdot r+\dfrac{1}{4}\cdot 2\cdot \pi\cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot 6\,\text{cm}+\dfrac{1}{4}\cdot 2\cdot \pi\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 21,4\,\text{cm} \end{array}$

Die Kreisfläche hat einen Umfang von $21,4\,\text{cm}.$

(I)

$\begin{array}[t]{rll} R&=& x_{\text{max}}-x_{\text{min}} \\[5pt] &=& 4\,792-219 \\[5pt] &=& 4\,573 \end{array}$

(II)

Anzahl Stunden: $18-6=12$

Gesamtanzahl Fahrzeuge im Zeitraum: $4563+3391+2598+3520=14\,072$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{\text{Gesamtanzahl Fahrzeuge}}{\text{Anzahl Stunden}} \\[5pt] &=& \dfrac{14\,072}{12} \\[5pt] &\approx& 1\,172,7 \end{array}$

Die Durchschnittliche Anzahl der Fahrzeuge pro Stunde beträgt $1\,172,7.$

$\begin{array}[t]{rll} & 5\cdot (8a-0,4b)-(35a-0,8b) \\[5pt] =& 40a-2b-35a+0,8b \\[5pt] =& 5a-1,2b \end{array}$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Lösung 2

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

Mit dem Kosinussatzes gilt:

Rechenweg anzeigen

$\overline{AC}\approx 11,5\,\text{cm}$

Die Seite $\overline{AC}$ ist ungefähr $11,5\,\text{cm}$ lang.

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BC} \cdot \sin(\beta) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 8~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} \cdot \sin(100^{\circ}) \\[5pt] &\approx& 27,6\,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von ungefähr $27,6\,\text{cm}^2.$

Das Dreieck lässt sich in 4 gleich große Dreiecke unterteilen, die alle kongruent sind zum Dreieck $M_1BM_2.$

Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke haben daher ein Verhältnis von $4:1.$

Lösung 3

Lösung mit Dreisatz

$:100$

$\cdot 4,5$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 12\,000\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 120 \\[5pt] 4,5\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 540 \end{array}$

$:100$

$\cdot 4,5$

Lösung mit Prozentformel

$\text{Grundwert }G: 12\,000$

$\text{Prozentsatz }p\,\%: 4,5\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} W&=& \dfrac{p\,\%}{100\,\%}\cdot G \\[5pt] W&=& \dfrac{4,5\,\%}{100\,\%}\cdot 12\,000 \\[5pt] W&=& 540 \end{array}$

Es wurden $540$ Autofahrer beim Tippen auf dem Handy beobachtet.

Für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit $v$ , Strecke $s$ und Zeit $t$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=& v\cdot t \\[5pt] &=& 90\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 4\,\text{s} \\[5pt] &=& 90\,\dfrac{1\,000\text{m}}{3\,600\text{s}}\cdot 4\,\text{s} \\[5pt] &=& 100\,\text{m} \end{array}$

Der Autofahrer legt in der Zeit $100\,\text{m}$ zurück.

Prozentzahlen in Grad umrechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 25\,\%&:& 0,25\cdot 360^{\circ}=90^{\circ} \\[5pt] 15\,\%&:& 0,15\cdot 360^{\circ}=54^{\circ} \\[5pt] 10\,\%&:& 0,10\cdot 360^{\circ}=36^{\circ} \end{array}$