Pflichtteil 2

Pflichtaufgabe 1

Ein Zug fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $160\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}.$
Ermittle die Zeit, die der Zug für eine Strecke von $400\,\text{km}$ benötigt.

Die Abbildung zeigt ein Glücksrad mit fünf gleich großen Sektoren. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Ermittelt wird die Summe der beiden angezeigten Zahlen.

Abbildung 1

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden angezeigten Zahlen $18$ ist.

Fotos werden in den Bildformaten 9x13, 10x15, 13x18 und 20x30 angeboten.
Gib die zwei zueinander ähnlichen Bildformate an und begründe deine Angabe.

Abbildung 2 zeigt ein gerades Prisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

Abbildung 2
(nicht maßstäblich)

Die Höhe des Prismas beträgt $6,0\,\text{cm},$ eine Dreiecksseite hat eine Länge von $3,0\,\text{cm}.$

Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $y=f(x)=(x-1)^2-4$ und $x \in \mathbb{R}.$
Gib die Scheitelpunktkoordinaten des Graphen der Funktion $f$ an.
Zeichne den Graphen von $f$ mindestens im Intervall $-2\leq x \leq 4$ in ein Koordinatensystem.

Gib eine Größe für den Winkel $\gamma$ an, so dass gilt:

$a^2+b^2-2ab\cdot \cos\,\gamma=a^2+b^2$

11 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist das Fünfeck $ABCDE$ (siehe Abbildung) mit:

$\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=6\,\text{cm}$
$\overline{AB}=\overline{AE}=5\,\text{cm}$

Abbildung (nicht maßstäblich)

Konstruiere das Fünfeck $ABCDE.$

Berechne die Größe des Winkels $\alpha =\sphericalangle BAE.$

Beurteile die Aussage:

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABE$ ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Vierecks $BCDE.$

7 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 3

In einem Tabellenkalkulationsprogramm sind die Zuckerrübenerträge in Tonnen je Hektar von zehn landwirtschaftlichen Betrieben erfasst.

Veranschauliche die Erträge der Betriebe I, II, und III in einem Säulendiagramm.

Gib die Bedeutung des Wertes in Zelle B4 im Sachzusammenhang an.

Durchschnittlich hat eine Zuckerrübe eine Masse von $920\,\text{g}$ und einen Zuckergehalt von $19\,\%$ .
Ermittle die Anzahl der Zuckerrüben, die für die Herstellung von einem Kilogramm Zucker mindestens benötigt wird.

6 BE erreichbar

Lösung 1

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot t \\[5pt] v\cdot t&=&s &\quad \scriptsize \mid\;:v \\[5pt] t&=&\dfrac{s}{v} \\[5pt] t&=&\dfrac{400\,\text{km}}{160\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}} \\[5pt] t&=&2,5\,\text{h} \end{array}$

Der Zug benötigt $2,5\,\text{h}.$

Um $18$ als Summe zu erhalten, muss beim ersten und zweiten Drehen die Zahl $9$ angezeigt werden.

Für die Wahrscheinlichkeit, dass beim Drehen des Glücksrads die Zahl $9$ angezeigt wird, gilt: $P(9)=\dfrac{1}{5}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(18)&=&P(9)\cdot P(9) \\[5pt] P(18)&=&\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5} \\[5pt] P(18)&=&\dfrac{1}{25}\\[5pt] P(18)&=&0,04=4\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $4\,\% .$

Zueinander ähnliche Bildformate angeben

10x15 und 20x30

Begründung

Die Bildformate haben jeweils die gleichen Längenverhältnisse. Sie entsprechen dem Faktor $2.$

Höhe des gleichseitigen Dreiecks berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} h^2+ \left(\dfrac{3,0\,\text{cm}}{2} \right)^2&=& (3,0\,\text{cm})^2&\quad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{3,0\,\text{cm}}{2} \right)^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& (3,0\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{3,0\,\text{cm}}{2} \right)^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h&=& \sqrt{(3,0\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{3,0\,\text{cm}}{2} \right)^2} \\[5pt] h&\approx& 2,6\,\text{cm} \end{array}$

Grundflächeninhalt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] G&=&\dfrac{1}{2}\cdot 3,0\,\text{cm}\cdot 2,6\,\text{cm} \\[5pt] G&=&3,9\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Mantelflächeninhalt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} M&=&u_G\cdot h \\[5pt] M&=&3\cdot 3,0\,\text{cm}\cdot h \\[5pt] M&=&3\cdot 3,0\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] M&=&54\,\text{cm}^2 \end{array}$

Oberflächeninhalt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} O&=&2\cdot G+M \\[5pt] O&=&2\cdot 3,9\,\text{cm}^2+54\,\text{cm}^2 \\[5pt] O&=&61,8\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Scheitelpunktkoordinaten angeben

$S(1\mid -4)$

Graphen von $\boldsymbol{f}$ zeichnen

$\gamma=90^\circ$

Denn dann gilt:

$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2-2ab\cdot \cos(90^\circ)&=& a^2+b^2 \\[5pt] a^2+b^2-2ab\cdot 0&=& a^2+b^2 \\[5pt] a^2+b^2-0&=& a^2+b^2 \\[5pt] a^2+b^2&=& a^2+b^2 \\[5pt] \end{array}$

Lösung 2

Strecke $\overline{BC}=6\,\text{cm}$ zeichnen.
Strecke $\overline{CD}=6\,\text{cm}$ zeichnen.
Strecke $\overline{DE}=6\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um $B$ mit dem Radius $5\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um $E$ mit dem Radius $5\,\text{cm}$ zeichnen. Es entsteht Punkt $A.$
Punkte $A$ und $B$ sowie $A$ und $E$ verbinden.

Kosinussatz anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) &\scriptsize \mid\;-b^2 \\[5pt] a^2-b^2&=&c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) & \scriptsize \mid\;-c^2 \\[5pt] a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha) & \scriptsize \mid\;:(-2bc) \\[5pt] \dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}&=&\cos(\alpha) \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} &\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{(6\,\text{cm})^2-(5\,\text{cm})^2-(5\,\text{cm})^2}{-2\cdot 5\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}} &\\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,28 & \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx &74^\circ \end{array}$

Die Größe des Winkels beträgt $74^\circ .$

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks: $A_R=a\cdot b$
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks: $A_D=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Für die gegebenen Flächeninhalte gilt:

$A_{BCDE}=a\cdot b=6\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}$
$A_{ABE}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm}\cdot h$

Damit die Aussage stimmt, muss für die Höhe des Dreiecks gelten: $h=6\,\text{cm}$

Höhe des Dreiecks berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} h^2+\left(\dfrac{g}{2}\right)^2&=& \left(\overline{AB}\right)^2& \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{g}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=& \left(\overline{AB}\right)^2-\left(\dfrac{g}{2}\right)^2& \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h&=& \sqrt{\left(\overline{AB}\right)^2-\left(\dfrac{g}{2}\right)^2} \\[5pt] h&=& \sqrt{(5\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{6\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] h&=& \sqrt{(5\,\text{cm})^2-(3\,\text{cm})^2} \\[5pt] h&=& 4\,\text{cm}^2 \end{array}$

Somit gilt:

$A_{BCDE}=6\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}$
$A_{ABE}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABE$ ist nicht halb so groß wie der Flächeninhalt des Vierecks $BCDE.$

Lösung 3

Die Zelle B4 gibt den Durchschnitt bzw. Mittelwert der Erträge aller Betriebe an.

Zuckergehalt einer Zuckerrübe berechnen:

$:100$

$\cdot 19$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 920\,\text{g} & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 9,2\,\text{g} & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,\%\\[5pt] 174,8\,\text{g} & \mathrel{\widehat{=}}& 19\,\%\\[5pt] \end{array}$

$:100$

$\cdot 19$

Daraus folgt für die Anzahl der Zuckerrüben:

$1\,\text{kg}:174,8\,\text{g}=1\,000\,\text{g}:174,8\,\text{g}\approx 5,7$

Für die Herstellung von einem Kilogramm Zucker werden mindestens 6 Zuckerrüben benötigt.