Pflichtteil 2

Pflichtaufgabe 1

Die Abbildung zeigt ein Dreieck $ABC.$

Abbildung (nicht maßstäblich)

Es gilt:

$\overline{AC}=4,0\,\text{cm}$
$\overline{AB}=8,0\,\text{cm}$

Berechne die Länge der Seite $\overline{BC}.$

Die Einwohnerzahl einer Gemeinde ist um $4\,\%$ gestiegen. Die Gemeinde zählt nun $23\,400$ Einwohner.
Ermittle die Anzahl der Einwohner, die hinzugekommen sind.

Flüssigdünger wird in konzentrierter Form angeboten. Ein Hersteller empfiehlt folgende Dosierung:

„Für 1000 Liter Gießwasser werden vier Liter Flüssigdünger benötigt.“

Untersuche, ob $20\,\text{ml}$ Flüssigdünger pro $5$ Liter Gießwasser der empfohlenen Dosierung entsprechen.

Bestimme $q,$ sodass $-4$ eine Lösung der Gleichung $x^2+6x+q=0$ ist.

Betrachtet werden reelle Zahlen $a$ und $b$ mit $a\neq0,$ $b\neq0.$
Untersuche, ob die Differenz der Quadrate von $a$ und $b$ und das Quadrat der Differenz von $a$ und $b$ zueinander äquivalent sind.

11 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 2

Gegeben sind die linearen Funktionen $f$ und $g$ durch

$y=f(x)=-2x+5$ .
Der Graph der Funktion $g$ verläuft durch die Punkte $P(0\mid-2)$ und $Q(3\mid2,5).$

Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden einander im Punkt $S$ .
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\,\text{cm}.$

Zeichne die Graphen von $f$ und $g$ mindestens im Intervall von $-2\leq x\leq4$ in ein und dasselbe Koordinatensystem.

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $R$ .
Der Punkt $\(S$ ist der Bildpunkt von $S$ bei Spiegelung an der $y$ -Achse.

Zeichne das Viereck $\(PSRS$ in das unter a) angelegte Koordinatensystem.
Bestimme den Flächeninhalt des Vierecks $\(PSRS$

Gib eine Gleichung einer linearen Funktion an, deren Graph parallel zum Graphen von $g$ verläuft.

7 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 3

Die Abbildung zeigt eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Eine Grundkante hat die Länge $a=2,5\,\text{cm},$ eine Seitenkante hat die Länge $s=4,0\,\text{cm}.$

Zeichne ein Netz der Pyramide.

Berechne die Größe der Innenwinkel einer Seitenfläche.

6 BE erreichbar

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Lösung 1

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{\,\text{BC}}^2&=&\overline{\,\text{AC}}^2+\overline{\,\text{AB}}^2 \\[5pt] \overline{\,\text{BC}}^2 &=& (4 \,\text{cm})^2+ (8\,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{\,\text{BC}} &=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2+ (8\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{\,\text{BC}} &\approx& 8,9 \,\text{cm} \end{array}$

Die Seite $\overline{BC}$ ist etwa $8,9 \,\text{cm}$ lang.

Lösung mit Dreisatz

Ursprüngliche Einwohnerzahl ermitteln:

$:104$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 104\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 23\,400\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 225\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 22\,500 \end{array}$

$:104$

$\cdot 100$

$23\,400 - 22\,500 = 900$

Lösung mit Lösungsformel

Ursprüngliche Einwohnerzahl ermitteln:

$\text{Prozentsatz } p\,\%=104\,\%$

$\text{Prozentwert } W=23\,400$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{23\,400\cdot 100\,\%}{104\,\%} \\[5pt] G&\approx& 22\,500 \end{array}$

$23\,400 - 22\,500 = 900$

Es sind 900 Menschen in die Gemeinde eingetreten.

$:1\,000$

$\cdot 5$

$\begin{array}{rcl} 1\,000 \,\ell&\mathrel{\widehat{=}}& 4\,\ell\\[5pt] 1\,\ell &\mathrel{\widehat{=}}& 0,004\,\ell\\[5pt] 5\,\ell &\mathrel{\widehat{=}}& 0,02\,\ell \end{array}$

$:1\,000$

$\cdot 5$

Für $5\,\ell$ Gießwasser werden $0,02\,\ell=20\,\text{m}\ell$ Dünger empfohlen.

Die Dosierung entspricht der Empfehlung.

$x=-4$ in die Gleichung einsetzen und nach $q$ umstellen:

$\begin{array}[t]{rll} (-4)^2+6 \cdot(-4)+q&=& 0 \\[5pt] 16+(-24)+q&=& 0 \\[5pt] -8+q&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] q&=& 8 \end{array}$

Die Gleichung ist mit $x=-4$ für $q=8$ erfüllt.

Beispielwerte: $\,a=3 ,$ $b=2$

Differenz der Quadrate von $a$ und $b:$

$3^2-2^2 = 9 -4 = 5$

Quadrat der Differenz von $a$ und $b:$

$(3-2)^2=1$

Die Terme sind zueinander nicht äquivalent, da $5 \neq 1$ gilt.

Lösung 2

Viereck einzeichnen

Flächeninhalt berechnen

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 14\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Vierecks beträgt $14\,\text{cm}^2.$

Der Abbildung aus Teilaufgabe b) kann die Steigung $m=\dfrac{3}{2}$ und der $y$ -Achsenabschnitt $c=-2$ entnommen werden.

Jede lineare Funktion, die die gleiche Steigung, aber einen anderen $y$ -Achsenabschnitt hat, ist eine Parallele zu $g.$

Eine mögliche Lösung ist beispielsweise:

$y=h(x)=\dfrac{3}{2}x+1$

Lösung 3

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Skizze einer Seitenfläche

Die Größe des Winkels $\alpha$ kann mit dem Kosinus im rechtwinkligen Dreieck berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{0,5\cdot 2,5\,\text{cm}}{4\,\text{cm}} \\[5pt] \cos \alpha&=& 0,3125 \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 71,8 \end{array}$

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt $180^{\circ}.$ Da das Dreieck gleichschenklig ist, ergibt sich für den Winkel $\gamma$ :

$\gamma=180^{\circ}- 2\cdot 71,8^{\circ}= 36,4^{\circ}$

Die Innenwinkel einer Seitenfläche sind folglich $\alpha= 71,8^{\circ}$ und $\gamma=36,4^{\circ}.$

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