Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Ein Blumenbeet soll mit einem Weg der Breite $x$ wie in der Abbildung umgeben werden. Das Blumenbeet wird durch ein Rechteck mit den in der Abbildung angegeben Maßen beschrieben. Durch das Anlegen des Weges entsteht ein größeres Rechteck. Die durch Blumenbeet und Weg entstandene rechteckige Gesamtfläche steht zur Fläche des Blumenbeetes im Verhältnis 5:3.

Abbildung nicht maßstäblich

Die Breite $x$ des angelegten Weges kann mithilfe einer quadratischen Gleichung ermittelt werden.

Zeige, dass die Gesamtfläche aus Blumenbeet und Weg mit der Gleichung

$A=4x^2 + 140x+1200$

berechnet werden kann.

Ermittle die Breite $x$ des angelegten Weges.

Wahlpflichtaufgabe 2

Gegeben sind eine Funktion $f$ mit $y=f(x)=x^3,\; x \in \mathbb{R},$ sowie eine lineare Funktion $g.$ Die Graphen von $f$ und $g$ haben die Punkte $A$ und $B$ gemeinsam. Im Koordinatensystem sind die Graphen beider Funktionen dargestellt. Eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{cm}.$

Ein Funktionswert der Funktion $f$ ist $64.$ Bestimme das zugehörige Argument.

Zeige, dass die Funktion $g$ den Anstieg $m=3$ hat, und ermittle eine Gleichung der Funktion $g.$

Berechne $g(1)-f(1)$ und gib an, was der Term im Zusammenhang beschreibt.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}.$

8 BE erreichbar

Wahlpflichtaufgabe 3

Eine Photovoltaikanlage, die zur Stromproduktion verwendet wird, besteht aus Solarmodulen, die jeweils eine Fläche von $1,7\,\text{m}^2$ haben.
Mit einem Solarmodul werden durchschnittlich pro Tag ca. $0,450$ Kilowattstunden erzeuget.
Der nicht für den Eigenbedarf benötigte Strom wird zu einem Preis von $13,2$ Cent pro Kilowattstunde verkauft.

Ermittle, wie viele Kilowattstunden eine solche Photovoltaikanlage mit einer Fläche von $85\,\text{m}^2$ in einem Jahr durchschnittlich erzeugen kann.

Der Eigenbedarf an Strom beträgt bei einer Familie durchschnittlich $3\,500$ Kilowattstunden pro Jahr.

Ohne Photovoltaikanlage kauft die Familie den Strom bei einem Stromanbieter. Die Stromkosten setzen sich aus einem Grundpreis von $8,05$ Euro je Monat und einem Verbrauchspreis von $27,1$ Cent pro Kilowattstunde zusammen. Berechne, welche Stromkosten der Familie jährlich enstehen.

Die Familie plant den Erwerb einer solchen Photovoltaikanlage mit einer Fläche von $85\,\text{m}^2$ und einem Kaufpreis von $18\,000$ Euro. Untersuche, ob die Familie den Kaufpreis für die Photovoltaikanlage durch das Einsparen der Stromkosten und den Verkauf des nicht benötigten Stroms innerhalb von zehn Jahren erwirtschaftet.

8 BE erreichbar

Lösung 1

Die Gesamtfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $30\,\text{cm}+2x$ und $40\,\text{cm}+2x.$ Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&(30\,\text{m}+2 x)\cdot (40\,\text{m}+2 x)\\[5pt] &=& 1\,200\,\text{m}^2+60\,\text{m}\cdot x+80\,\text{m}\cdot x+4 x^2\\[5pt] &=& 4x^2+140\,\text{m}\cdot x+1\,200\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$

Die vereinfachte Formel entspricht der in der Aufgabenstellung gegebenen Formel.

Flächeninhalt des Blumenbeets:

$\begin{array}[t]{rll} A_B&=& 30\,\text{m}\cdot 40\,\text{m}\\[5pt] &=& 1\,200\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt der Gesamtfläche mit dem Dreisatz berechnen:

$:3$

$\cdot 5$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{3}{5} & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,200\,\text{m}^2\\[5pt] \dfrac{1}{5} & \mathrel{\widehat{=}}& 400\,\text{m}^2\\[5pt] \dfrac{5}{5} & \mathrel{\widehat{=}}& 2\,000\,\text{m}^2 \end{array}$

$:3$

$\cdot 5$

Einsetzen des Flächeninhalts der Gesamtfläche in die Formel aus Aufgabenteil a) liefert mit der $pq$ -Formel den gesuchten Wert für $x:$

Rechenweg anzeigen

$x_1= 5\,\text{m}$
$x_2=-40\,\text{m}$

Die Lösung $x_2=-40\,\text{m}$ entfällt im Sachzusammenhang. Der Weg ist demnach $5\,\text{m}$ breit.

Lösung 2

$y=64$ in die Funktionsgleichung einsetzten und nach $x$ umformen:

$\begin{array}[t]{rll} 64&=& x^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 4&=& x \\[5pt] \end{array}$

Das zugehörige Argument zu $64$ ist $x=4.$

Anstieg zeigen

Der Graph der Funktion $g$ verläuft durch die beiden Punkte $A\,(-1\mid-1)$ und $B\,(2\mid8).$ Damit kann die Steigung der Funktion bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\[5pt] &=& \dfrac{8-(-1)}{2-(-1)}\\[5pt] &=& \dfrac{9}{3}\\[5pt] &=& 3\\[5pt] \end{array}$

Die Steigung der Funktion $g$ entspricht $m=3$ .

Funktionsgleichung bestimmen

Die Steigung $m=3$ der Funktion wurde bereits berechnet. Der $y$ -Achsenabschnitt $n=2$ lässt sich aus dem Schaubild ablesen.

Die Gleichung der Funktion $g$ lautet also $g(x)=3x+2$ .

Term berechnen

$g(1)=3\cdot 1+2=5$

$f(1)=1^3=1$

$g(1)-f(1)=5-1=4$

Term im Sachzusammenhang erklären

Im Zusammenhang beschreibt die angegebene Differenz den vertikalen Abstand zwischen den Graphen der Funktionen $g$ und $f$ an der Stelle $x=1.$

Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ kann mithilfe eines Steigungsdreiecks und dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Die entsprechenden Längen können dem Schaubild entnommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}^2&=&3^2+9^2 \\[5pt] \overline{AB}^2&=&9+81 \\[5pt] \overline{AB}^2&=& 90 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AB}&\approx&9,49\\[5pt] \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ beträgt $9,49\,\text{cm}.$

Lösung 3

Anzahl der Anlagen auf der gegebenen Fläche:

$\dfrac{85\,\text{m}^2}{1,7\,\text{m}^2}=50$

Jede der 50 Anlagen erzeugt im Durchschnitt $0,450\,\text{kWh}$ pro Tag:

$50\cdot 0,450\,\text{kWh}=22,5\,\text{kWh}$

Ein Jahr hat 365 Tage:

$365\cdot 22,5\,\text{kWh}=8\,212,5\,\text{kWh}$

Pro Jahr erzeugen die Photovoltaikanlagen auf der $85\,\text{m}^2$ großen Fläche $8\,212,5\,\text{kWh}$ Strom.

$\begin{array}[t]{rll} & 12\cdot 8,05\,€+3\,500\cdot27,1\,\text{ct} \\[5pt] =& 96,60\,€ +94\,850\,\text{ct} \\[5pt] =& 96,60\,€ +948,50\,€ \\[5pt] =& 1\,045,10\,€ \end{array}$

Pro Jahr muss die Familie $1\,045,10\,€$ für Strom bezahlen.

Pro Jahr spart die Familie $1\,045,10\,€$ an Stromkosten. Innerhalb von $10$ Jahren ergibt das:

$1\,045,10\,€\cdot 10=10\,451\,€$

Außerdem kann die Familie die Kilowattstunden verkaufen, die sie selbst nicht verbraucht. In 10 Jahren sind das:

$10\cdot (8\,212,5\,\text{kWh}-3\,500\,\text{kWh}) =47\,125\,\text{kWh}$

Diese Menge unverbrauchten Strom verkauft die Familie zu je $13,2\,\text{ct}$ pro Kilowattstunde. Dadurch ergibt sich folgender Gewinn:

$47\,125\,\text{kWh}\cdot13,1\,\text{ct}=617\,337,5\,\text{ct}$ $=6\,173,38\,€$

Zusammen mit den gesparten Stromkosten erwirtschaftet sich die Familie in den 10 Jahren insgesamt den folgenden Betrag:

$10\,451\,€+6\,173,38\,€=$ $16\,624,38\,€$

Das reicht nicht ganz, um den Kaufpreis der Photovoltaikanlage von $18\,000\,€$ auszugleichen.