Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Im Rahmen von Hochwasserschutzmaßnahmen wurde ein Deich neu gebaut.

In der Abbildung ist ein vereinfachter trapezförmiger Querschnitt dieses Deiches dargestellt.
Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ bezeichnet man als Böschungswinkel. Die Höhe $h$ beträgt $3,9\,\text{m}.$

Der Böschungswinkel $\beta$ soll nicht größer als $26,5^\circ$ sein.
Untersuche, ob der Deich diese Bedingung erfüllt.

Dieser Deich verläuft auf einer Länge von $1,2\,\text{km}$ geradlinig.
Berechne näherungsweise das Volumen des Deiches.

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Wahlpflichtaufgabe 2

Eine Firma stellt 300 Kunden ein neues Smartphone vor. Nach der Präsentation werden diese Kunden gebeten, das Smartphone hinsichtlich der Kriterien Ausstattung und Handhabung zu bewerten.
$74\,\%$ dieser Kunden sind mit der Ausstattung des Smartphones zufrieden. Von den mit der Ausstattung zufriedenen Kunden sind $93\,\%$ auch mit der Handhabung des Smartphones zufrieden. Von den Kunden, die nicht mit der Ausstattung des Smartphones zufrieden sind, sind $86\,\%%$ mit der Handhabung des Smartphones zufrieden.

Zeichne ein Baumdiagramm für diesen Sachverhalt und trage die Wahrscheinlichkeiten an allen Pfaden an.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde weder mit der Ausstattung noch mit der Handhabung des Smartphones zufrieden ist.

Beurteile folgende Aussage:

"Mindestens 82 der 300 Kunden sind mit genau einem Bewertungskriterium zufrieden."

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Wahlpflichtaufgabe 3

Ausgehend vom Neuwert eines PKW zeigt der abgebildete Graph die Entwicklung des Wertes dieses PKW in Abhängigkeit von der Zeit.

Bestimme mithilfe der graphischen Darstellung näherungsweise den Wertverlust des PKW nach acht Jahren.

Beurteile folgende Aussage:

"Der Wert des PKW beträgt nach den ersten drei Jahren noch $60 \,\%$ des Neuwertes."

Ermittle den durchschnittlichen jährlichen Wertverlust des PKW innerhalb der ersten drei Jahre.

Begründe mithilfe einer Eigenschaft des dargestellten Graphen, dass der durchschnittliche jährliche Wertverlust des PKW vom 5. bis zum 8. Jahr deutlich geringer ist als innerhalb der ersten drei Jahre.

Der Wert $W_n$ des PKW nach $n$ Jahren wird mit der Formel $W_n=W_0 \cdot(1-0,2)^n$ berechnet, wobei $W_0$ der Neuwert des PKW ist.
Gib die Bedeutung der Zahl $0,2$ in dieser Formel an.

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Lösung 1

Für die gegebene Abbildung folgt durch Einzeichnen einer weiteren Höhe und der Benennung der Seiten die nebenstehende Abbildung.

Für die Länge $x_1$ folgt mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck:

$\begin{array}[t]{rll} x_1^2 + h^2&=& (6\,\text{m})^2 \\[5pt] x_1^2 + (3,9\,\text{m})^2&=& (6\,\text{m})^2 \quad \scriptsize \mid\; -(3,9\,\text{m})^2\\[5pt] x_1^2&=& (6\,\text{m})^2-(3,9\,\text{m})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_1&=& \sqrt{(6\,\text{m})^2-(3,9\,\text{m})^2} \\[5pt] x_1&\approx& 4,56\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

Für die Länge $x_2$ folgt entsprechend:

$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& 16\,\text{m}-x_1 -3,5\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 16\,\text{m}-4,56 -3,5\,\text{m} \\[5pt] &=& 7,94\,\text{m} \end{array}$

Für den Winkel $\beta$ folgt mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta&=&\dfrac{h}{x_2} \\[5pt] \tan \beta&=&\dfrac{3,9\,\text{m}}{7,94\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1}(\,) \\[5pt] \beta&=&\tan^{-1} \left(\dfrac{3,9\,\text{m}}{7,94\,\text{m}} \right) \\[5pt] &\approx& 26,16° \\[5pt] \end{array}$

Der Böschungswinkel ist nicht größer als $26,5°$ und damit ist die Bedingung erfüllt.

Für den Flächeninhalt $A$ des Querschnitts folgt mit den gegebenen Werten und der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot (16,0\,\text{m} + 3,5\,\text{m}) \cdot 3,9\,\text{m} \\[5pt] &=& 38,025\,\text{m}^2 \end{array}$

Somit folgt näherungsweise für das Volumen $V$ des Deiches mit der gegebenen Länge:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 1\,200\,\text{m} \\[5pt] &=& 38,025\,\text{m}^2 \cdot 1\,200\,\text{m} \\[5pt] &=& 45\,630\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Das Volumen des Deiches beträgt näherungsweise $45\,630\,\text{m}^3.$

Lösung 2

$A:$ Ein Kunde ist mit der Ausstattung des Smartphones zufrieden
$H:$ Ein Kunde ist mit der Handhabung des Smartphones zufrieden

$\begin{array}[t]{rll} P\left(\overline{A}; \overline{H}\right)&=& 0,26 \cdot 0,14\\[5pt] &=& 0,0364\\[5pt] &=& 3,64\,\% \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde weder mit der Ausstattung noch mit der Handhabung des Smartphones zufrieden ist, beträgt $3,64\,\%.$

Für den relativen Anteil $p$ der Kunden, welche mit genau einem Bewertungskriterium zufrieden sind, gilt mit dem zuvor bestimmten Baumdiagramm und den Pfadregeln:

$\begin{array}[t]{rll} p&=& 0,74 \cdot 0,07 + 0,26 \cdot 0,86 \\[5pt] &=& 0,2754 \end{array}$

Somit folgt für die Anzahl der Kunden $n$ , welche mit genau einem Bewertungskriterium zufrieden sind, bei insgesamt $300$ Kunden:

$\begin{array}[t]{rll} n&=& p \cdot 300 \\[5pt] &=& 0,2754 \cdot 300 \\[5pt] &=& 82,62 \\[5pt] \end{array}$

Die Aussage ist korrekt. Es sind mindestens $82$ der $300$ Kunden mit genau einem Bewertungskriterium zufrieden.

Lösung 3

Aus dem Schaubild lässt sich ablesen:

Nuewert des Autos: $24\,000\,€$

Wert nach 8 Jahren: $4\,000\,€$

Somit folgt für den Wertverlust $W_8$ nach acht Jahren:

$\begin{array}[t]{rll} W_8&=& 24\,000\,€ - 4\,000\,€ \\[5pt] &\approx& 20\,000\,€ \end{array}$

Das Auto verliert in den ersten acht Jahren ungefähr $20\,000\,€$ an Wert.

Nach drei Jahren beträgt der Wert des PKW noch ungefähr $12\,000\,€$ .

Lösung mit Dreisatz

$:24$

$\cdot 12$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 24\,000\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\% \\[5pt] 1\,000\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{24}\,\% \\[5pt] 12\,000\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& 50\,\% \end{array}$

$:24$

$\cdot 12$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Grundwert }G: 24\,000\,€$

$\text{Prozentwert }W: 12\,000\,€$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{12\,000\,€}{ 24\,000\,€}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& 50\,\% \end{array}$

Die Aussage ist falsch. Der Wert des PKW nach den ersten drei Jahren entspricht noch ungefähr $50\,\%$ des Neuwerts.

In den ersten drei Jahren besitzt der PKW einen Wertverlust von ungefähr $12\,000\,€.$ Somit folgt für den durchschnittlichen jährlichen Wertverlust $\overline{W_{3}}$ des PKWs innerhalb der ersten drei Jahre:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{W_{3}}\approx\dfrac{12\,000\,€}{3 \,\text{Jahre}}= 4\,000\,\frac{€}{\text{Jahr}} \end{array}$

Daraus folgt, dass der PKW einen durchschnittlichen jährlichen Wertverlust von $4\,000\,€$ in den ersten drei Jahren besitzt.

Die Steigung des Graphen nimmt mit zunehmender Zeit immer weiter ab. Dadurch wird auch der durchschnittliche jährliche Wertverlust mit zunehmendem Alter des PKW geringer.

$0,2$ gibt den Wertverlust des PKW im Bezug zu dem vorherigen Jahr an. In einem Jahr sinkt der Wert des Autos um $20\,\%.$ Somit beträgt der Wertverlust pro Jahr $20\,\%$ des vorherigen Wertes.