Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Fibonacci-Zahlen sind die Zahlen der Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Mit einer Tabellenkalkulation werden die Fibonacci-Zahlen erzeugt.

Die nächste Fibonacci-Zahl wird in Zelle C8 erzeugt.
Gib diese Fibonacci-Zahl sowie eine zugehörige Formel zur Berechnung der Zelle C8 an.

Hinweis: In der Formel sind Zellbezüge zu verwenden.

Der Quotient aus einer Fibonacci-Zahl und der vorhergehenden Fibonacci-Zahl ergibt annähernd die Verhältniszahl des Goldenen Schnitts.
Berechne unter Verwendung der Fibonacci-Zahlen 89, 144, 233 die Verhältniszahl auf Hundertstel genau.

Bei dem im 16. Jahrhundert erbauten Leipziger Rathaus teilt der Turm die Fassade im Verhältnis des Goldenen Schnitts (siehe Abbildung). Die Fassade hat eine Gesamtlänge von $93,0$ Meter.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die zugehörigen Streckenverhältnisse (siehe Abbildung) können mit der Gleichung $\dfrac{x}{93-x} = \dfrac{93}{x}$ berechnet werden.

Durch Umformen ergibt sich die Gleichung $x^2 = 93 \cdot (93-x).$

Berechne die Längen der beiden Teilstrecken und zeige, dass diese die unter b) ermittelte Verhältniszahl liefern.

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Wahlpflichtaufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Kreis durch die Punkte $A$ und $B.$ $M$ ist der Mittelpunkt des Kreises.
Der grau gefärbte Anteil des Kreises hat einen Flächeninhalt von $50,3\,\text{cm}^2.$

Abbildung (nicht maßstäblich)

Begründe, dass der Kreis einen Flächeninhalt von $75,45\,\text{cm}^2$ hat.

Die Punkte $A,$ $B$ und $M$ bilden das Dreieck $ABM.$
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABM.$

Der Punkt $B$ wird auf dem Kreis verschoben.
Gib eine Bedingung dafür an, dass ein gleichseitiges Dreieck entsteht.
Begründe deine Angabe.

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Wahlpflichtaufgabe 3

Im Jahr 2020 lagerten in Deutschland rund $200$ Millionen ungenutzte Handys. Ein Handy enthält durchschnittlich $30\,\text{mg}$ Gold.
Im Folgenden wird angenommen, dass dieses Gold wiederverwendet wird.

Das Gold wird zu Goldbarren mit einer Masse von je $250\,\text{g}$ verarbeitet.
Berechne die Anzahl der Goldbarren, die aus $200$ Millionen Handys hergestellt werden.

Aus dem Gold von $117$ ungenutzten Handys wird ein Ring mit einer Masse von $6\,\text{g}$ hergestellt. Auf diesem Ring soll der Feingehalt eingraviert werden.

Der Feingehalt gibt den Goldanteil an der Gesamtmasse des Ringes an (siehe Tabelle).

Feingehalt	$333$	$585$	$750$
Goldanteil in %	$33,3$	$58,5$	$75,0$

Ermittle den Feingehalt, der auf diesem Ring eingraviert werden muss.

Zwei Werkstücke mit gleicher Masse und gleichem Volumen werden im Folgenden betrachtet.
Werkstück l besteht aus Gold und Eisen. Es hat eine Masse von $80\,\text{g}.$ Der Anteil der Masse des Goldes im Werkstück l beträgt $75\,\%.$
Werkstück ll besteht aus Gold und Silber.

Die Tabelle enthält die Dichten der jeweiligen Bestandteile.

Hinweis:
Zum Beispiel hat ein Kubikzentimeter Gold eine Masse von $19,3$ Gramm.

Metall	Dichte in $\color{#ffffff}{\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$
Gold	$19,3$
Silber	$10,5$
Eisen	$7,86$

Berechne das Volumen $V$ des Werkstücks l.

Gib die Bedeutung der Variable $x$ in der Formel
$V = \dfrac{x}{19,3} + \dfrac{(80-x)}{10,5}$
im Sachzusammenhang an. Begründe deine Angabe.

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Lösung 1

Nächste Fibonacci-Zahl angeben

Die nächste Fibonacci-Zahl ergibt sich immer aus der Addition der beiden vorangegangenen Zahlen. Damit ergibt sich die nächste Zahl wie folgt:

$21 + 34 = 55$

Formel zur Berechnung von C8 angeben

Formel: $=\text{B}7+\,\text{C}7$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{233}{144}&\approx& 1,62 & \\[5pt] \end{array}$

Längen der beiden Teilstrecken berechnen

Die Länge der Teilstrecke $x$ kann mit der $pq$ -Formel berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} x^2 &=& 93 \cdot (93-x) \\[5pt] x^2 &=& 8\,649 - 93x \quad \scriptsize \mid\;+93x \\[5pt] x^2+93x &=& 8\,649 \quad \scriptsize \mid\;-8\,649 \\[5pt] x^2+ 93x -8649&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{93}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{93}{2}\right)^2-(-8649)} \\[5pt] x_{1}&=& -\dfrac{93}{2}+ \sqrt{10811,25} \, \approx 57,5 \\[5pt] x_{2}&=& -\dfrac{93}{2}- \sqrt{10811,25} \, \approx -150,5 \\[5pt] \end{array}$

Die Lösung $x_2=-150,48$ entfällt im Sachzusammenhang. Die Länge der Strecke $x$ beträgt $x_1\approx 57,5\,\text{m}.$

Somit gilt für die zweite Teilstrecke:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 93\,\text{m}-x_1 & \\[5pt] &\approx& 93\,\text{m}-57,5\,\text{m} & \\[5pt] &=& 35,5\,\text{m} \end{array}$

Verhältniszahl ermitteln

$\dfrac{57,5}{35,5}\approx 1,62$

Damit ist gezeigt, dass die Verhältniszahl mit der Verhältniszahl des goldenen Schnitts übereinstimmt.

Lösung 2

Der Innenwinel eines Kreises beträgt $360°.$ Der Anteil der grau gefärbten Fläche beträgt damit $1-\dfrac{120°}{360°}=\dfrac{2}{3}.$

$\dfrac{2}{3}$ des Flächeninhalts des Kreises beträgt $\dfrac{2}{3} \cdot 75,45\,\text{cm}^2= 50,3\,\text{cm}^2.$

Da die beiden Flächeninhalte übereinstimmen, muss der Kreis einen Flächeninhalt von $75,45\,\text{cm}^2$ haben.

Die Länge der Schenkel des Dreiecks entspricht dem Raduis des Kreises. Dieser lässt sich mit der Formel für den Flächeninhalt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{A}{\pi}&=& r^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}&=& r \\[5pt] \sqrt{\dfrac{75,45\,\text{cm}^2}{\pi}}&=& r\\[5pt] 4,9\,\text{cm}&\approx& r \end{array}$

Damit lässt sich der Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AM} \cdot \overline{BM} \cdot \sin(120°) \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2} \cdot 4,9\,\text{cm} \cdot 4,9\,\text{cm} \cdot \sin(120^{\circ}) \\[5pt] &\approx& 10,4\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt etwa $10,4\,\text{cm}^2.$

Bei einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel $60°$ groß. Da $\overline{AM}=\overline{BM}$ gilt, ist dies bereits durch $\sphericalangle AMB = 60°$ erfüllt.

Bedingung: $\sphericalangle AMB= 60°$

Lösung 3

Gesamtmasse des Goldes:

$0,03\,\text{g} \cdot 200\,000\,000= 6\,000\,000\,\text{g}$

Anzahl der Goldbarren berechnen:

$6\,000\,000\,\text{g}:250\,\text{g}= 24\,000$

Es werden $24\,000$ Goldbarren hergestellt.

Gold aus 117 Handys:

$117\cdot 0,03\,\text{g}=3,51\,\text{g}$

Anteil an Gold am $6\,\text{g}$ schweren Ring:

$\dfrac{3,51\,\text{g}}{6\,\text{g}}\approx 0,585=58,5\,\%$

Aus der Tabelle lässt sich ablesen, dass auf dem Ring der Feingehalt 585 eingraviert werden muss.

Der Anteil der Masse des Goldes im Werkstück I beträgt $75\,\%.$ Das entspricht einer Masse von $0,75\cdot 80\,\text{g}=60\,\text{g}.$ Der Anteil an Eisen hat also eine Masse von $20\,\text{g}.$ Mit den Dichten der jeweiligen Bestandteile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{60\,\text{g}}{19,3\frac{\,\text{g}}{\,\text{cm}^3}}+\dfrac{20\,\text{g}}{7,68\frac{\,\text{g}}{\,\text{cm}^3}} \\[5pt] &\approx& 5,71\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Werkstücks l beträgt $5,71\,\text{cm}^3.$

Die Formel gibt das Volumen des Werkstücks II an.

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{\,\text{Gold}}+ V_{\,\text{Silber}} & \\[5pt] \end{array}$

Dabei gibt $x$ die Masse des Goldes im Werkstück II an.

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