Pflichtteil 2

Pflichtaufgabe 1

Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems.

$\begin{array}{lrll} \text{I}& y+4x&=& 7 &\quad \\ \text{II}& y&=&0,5x -2 &\quad \\ \end{array}$

Der Berliner Fernsehturm ist $365 \,\text{m}$ hoch. Das höchste Gebäude der Welt ist ein Hochhaus in Dubai mit einer Höhe von $828\,\text{m}.$
Berechne, um wie viel Prozent das Hochhaus in Dubai höher ist als der Berliner Fernsehturm.

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit folgenden Stücken:

$c=\overline{AB}=8,7\,\text{cm}$
$b=\overline{AC}=6,4\,\text{cm}$
$\alpha=\sphericalangle{BAC}=54^{\circ}$

Ermittle die Länge der Seite $a$ dieses Dreiecks durch Konstruktion und überprüfe diese rechnerisch.

Schreibe als Gleichung.

Das Produkt aus dem Vorgänger und dem Nachfolger einer natürlichen Zahl $n$ ist gleich dem Vorgänger des Quadrates der Zahl $n.$

In einer Lostrommel befinden sich Lose. Ein Los ist entweder ein Gewinnlos oder eine Niete. Die Wahrscheinlichkeit, ein Gewinnlos zu ziehen, beträgt $0,2.$

Untersuche, ob für den Inhalt der Lostrommel folgende Beschreibung zutreffen kann.

„In der Lostrommel sind genau $100$ Nieten und genau $20$ Gewinnlose.“

12 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist eine quadratische Funktion $f$ durch die Gleichung $y=f(x)=(x+2)^2-3.$

Gib die Scheitelpunktkoordinaten des Graphen der Funktion $f$ an und zeichne den Graphen der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem mindestens im Intervall $-4 \leq x \leq 1.$

Gib den Wertebereich der Funktion $f$ an.

Zeige, dass die Funktion $f$ auch durch die Gleichung $y=x^2+4x+1$ beschrieben wird.

Der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung $y=g(x)=x^2 -2x +1$ schneidet den Graphen der Funktion $f$ in genau einem Punkt.
Ermittle die Koordinaten dieses Schnittpunktes.

7 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 3

Ein $2\,\text{m}$ tiefer Swimmingpool hat die Form eines Quaders und fasst bei vollständiger Befüllung bis zum Rand $24\,000$ Liter Wasser.

Ermittle eine mögliche Länge und die dazugehörige Breite, die ein solcher Swimmingpool haben kann.

Das vollständige Befüllen des Swimmingpools erfolgt gleichzeitig mit zwei Pumpen in $2$ Stunden. Eine der Pumpen fördert $50$ Liter Wasser pro Minute.
Ermittle, wie viel Liter Wasser die andere Pumpe pro Minute fördern muss, um den Swimmingpool in der vorgegebenen Zeit vollständig zu befüllen.

5 BE erreichbar

Lösung 1

Es bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Durch Einsetzen der Gleichung $\text{II}$ in die Gleichung $\text{I}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 0,5x-2+4x&=& 7&\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 4,5x&=& 9&\quad \scriptsize \mid\; :4,5\\[5pt] x&=& 2 \end{array}$

Mit $x=2$ folgt mit der Gleichung $\text{II}$ :

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,5 \cdot 2 -2\\[5pt] &=& -1 \end{array}$

Somit lautet die Lösung des linearen Gleichungssystems $x=2$ und $y=-1.$

Lösung mit Dreisatz

$:365$

$\cdot 828$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 365\,\text{m} & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,\text{m} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{365}\,\%\\[5pt] 828\,\text{m} & \mathrel{\widehat{\approx}}& 226,85\,\% \end{array}$

$:365$

$\cdot 828$

$226,85\,\%-100\,\%=126,85\,\%$

Lösung mit Prozentformel

$\text{Grundwert }G: 365\,\text{m}$

$\text{Prozentwert }W: 828\,\text{m}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{828\,\text{m}}{365\,\text{m}}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 226,85\,\% \end{array}$

$226,85\,\%-100\,\%=126,85\,\%$

Damit ist das Hochhaus in Dubai etwa um $126,85\,\%$ größer als der Berliner Fernsehturm.

Länge der Seite zeichnerisch ermitteln

Durch Konstruktion des Dreiecks $ABC$ folgt die Darstellung:

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Somit folgt mit der Konstruktion durch Abmessen $a \approx 7,2\,\text{cm}.$

Länge der Seite rechnerisch bestimmen

Mit dem Kosinussatz für das Dreieck $ABC$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$a\approx 7,16\,\text{cm}$

Damit gilt durch Rechnung $a \approx 7,16\,\text{cm}.$ Die bestimmte Länge $a$ durch Konstruktion ist also korrekt.

$\begin{array}[t]{rll} (n-1)\cdot (n+1)&=& n^2 - 1\\[5pt] \end{array}$

Gesamtanzahl der Lose: $100+20=120$

Anzahl der Gewinnlose: $20$

Wahrscheinlichkeit $p$ für ein Gewinnlos berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{\text{Anzahl der Gewinnlose}}{\text{Gesamtanzahl der Lose}} \\[5pt] &=&\dfrac{20}{120} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \\[5pt] &\approx& 0,167 \end{array}$

Somit kann für den Inhalt der Lostrommel die gegebene Beschreibung nicht zutreffen, da die Wahrscheinlichkeit für ein Gewinnlos nicht $0,2$ beträgt.

Lösung 2

Scheitelpunktkoordinaten angeben

Die Funktion $f$ ist bereits in der Scheitelpunktform gegeben. Somit lauten die Scheitelpunktkoordinaten $S(-2 \mid -3).$

Graphen zeichnen

Der Graph der Funktion $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-2\mid-3)$ . Somit folgt:

Wertebereich: $y\geq -3$

Mit der gegebenen Funktionsgleichung $y=(x+2)^2-3$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x+2)^2-3\\[5pt] &=& x^2+4x+4-3\\[5pt] &=& x^2+4x+1\\[5pt] \end{array}$

Somit kann die Funktion $f$ auch durch die Gleichung $y=x^2+4x+1$ beschrieben werden.

Durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen der Funktion $g$ und der Funktion $f$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x)\\[5pt] x^2+4x+1&=& x^2-2x+1 \quad \scriptsize \mid \, -x^2\\[5pt] 4x+1&=& -2x+1 \quad \scriptsize \mid \, -1\\[5pt] 4x&=& -2x \quad \scriptsize \mid \, +2x\\[5pt] 6x&=& 0 \quad \scriptsize \mid \, :6\\[5pt] x&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Für die $y$ -Koordinate folgt durch Einsetzen in die Funktionsgleichung der Funktion $g$ :

$y= g(0)= 0^2-2\cdot 0+1=1$

Somit lauten die Koordinaten des Schnittpunktes $(0 \mid 1).$

Lösung 3

Volumen des Swimmingpools:

$V= 24\,000 \,\ell =24\,000 \,\text{dm}^3 =24 \,\text{m}^3$

Ein Quader mit einer Höhe von $2\,\text{m}$ und einem Volumen von $24\,\text{m}^3$ erfüllt für die Breite $b$ und die Länge $l$ die folgende Gleichung:

$24\,\text{m}^3=2\,\text{m}\cdot b\cdot l$

Es gibt viele Möglichkeiten, diese Gleichung zu erfüllen. Eine ist beispielsweise die Folgende:

$b=3\,\text{m}\quad l=4\,\text{m}$

$2$ Stunden entsprechen $120$ Minuten. Somit folgt für die Fördermenge $M_1$ der ersten Pumpe:

$\begin{array}[t]{rll} M_1&=& 50 \,\frac{\ell}{\text{min}} \cdot 120 \,\text{min}\\[5pt] &=& 6\,000 \,\ell \end{array}$

Damit gilt für die Fördermenge der zweiten Pumpe $M_2:$

$\begin{array}[t]{rll} M_2&=& 24\,000 \,\ell - 6\,000 \,\ell\\[5pt] &=& 18\,000 \,\ell \end{array}$

Daraus folgt, dass die zweite Pumpe in $2$ Stunden insgesamt $18\,000 \,\ell$ in den Pool fördern muss. Damit folgt für die Fördergeschwindigkeit $v$ der zweiten Pumpe:

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{18\,000 \,\ell}{120 \,\text{min}}\\[5pt] &=& 150\,\frac{\ell}{\text{min}} \\[5pt] \end{array}$

Somit muss die zweite Pumpe pro Minute $150$ Liter Wasser fördern, damit der Swimmingpool in der vorgegebenen Zeit vollständig befüllt wird.