Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Im Jahr 2018 wurden $1200$ Jugendliche (Jungen und Mädchen) im Rahmen einer Studie zum Umgang mit Medien befragt. Von den insgesamt befragten Jugendlichen waren $48\,\%$ Mädchen.

Es werden zwei Jugendliche zufällig ausgewählt. Vereinfacht kann angenommen werden, dass sich die Anteile der Jungen und Mädchen nicht ändern.

Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und gib an allen Pfaden die Wahrscheinlichkeiten an.

Formuliere im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $1-0,48^2$ berechnet werden kann.

Die Studie ergab, dass $97\,\%$ der befragten Jungen ein eigenes Smartphone besitzen. Ermittle die Anzahl der Jungen, die angeben, ein eigenes Smartphone zu besitzen.

Die befragten Mädchen nennen Instagram und WhatsApp als wichtige Apps auf ihrem Smartphone. Im Diagramm sind die Ergebnisse der Befragung dargestellt.

Balkendiagramm, das die Nutzung von Instagram und WhatsApp zeigt, mit WhatsApp als führendem Dienst.

Beurteile die Aussage:

„Mehr als doppelt so viele Mädchen nennen WhatsApp als wichtige App.“

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Wahlpflichtaufgabe 2

Die Abbildung zeigt eine geometrische Figur mit folgenden Eigenschaften:

Die Punkte $M_1$ , $M_2$ und $M_3$ sind die jeweiligen Mittelpunkte der Dreiecksseiten $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ und $\overline{AC}.$
Die Halbkreise über jeder Dreiecksseite haben jeweils den Radius $r=4,0\,\text{cm}.$

Diagramm mit drei überlappenden Kreisen und markierten Punkten M1, M2, M3.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche.

Gib das Verhältnis der Flächeninhalte des Vierecks $ABM_2M_3$ und des Dreiecks $M_2CM_3$ an. Begründe deine Angabe.

Begründe, dass $\overline{AB}$ ⊥ $\overline{M_1C}$ gilt.

Zeige, dass die Länge der Strecke $\overline{M_1C}$ mit dem Term $r\cdot\sqrt{3}$ berechnet werden kann.

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Wahlpflichtaufgabe 3

Die Abbildung zeigt modellhaft den Querschnitt eines Kanals. Die Profillinie des Kanals wird vereinfacht durch die Funktion $f$ mit $y=f(x)=0,2\cdot x^2-1,8$ im Intervall $-4\leq x\leq4$ beschrieben. Die Wasseroberfläche wird durch einen Abschnitt der $x$ -Achse dargestellt.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit

Abbildung

Ermittle die Breite des Kanals einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche.

Folgende Gleichungen und die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ stellen im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.

$\begin{array}[t]{rll} 0,2\cdot x^2-1,8&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+1,8 \\[5pt] 0,2\cdot x^2&=&1,8 &\quad \scriptsize \mid\;:0,2 \\[5pt] x^2&=&9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-3;3 \} \end{array}$

Formuliere dazu eine passende Aufgabenstellung und deute die Lösungsmenge im Sachzusammenhang.

Die Wassertiefe im Kanal ist von $1,80\,\text{m}$ auf $0,90\,\text{m}$ gesunken.
Beurteile die Aussage:

„Jetzt fließt nur noch halb so viel Wasser durch den Kanal wie vorher.“

Bestimme rechnerisch die Tiefe des Kanals.

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Lösung 1

Baumdiagramm zeichnen

$M:$ Ein Mädchen wird ausgewählt.

Ereignis formulieren

Der Term beschreibt das Gegenereignis dazu, dass zwei Mädchen ausgewählt werden. Das entspricht dem Ereignis, dass entweder ein Mädchen und ein Junge oder zwei Jungen ausgewählt wurden.

Anzahl der Jungen berechnen:

$:100$

$\cdot 52$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1200\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 12\\[5pt] 52\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 624 \end{array}$

$:100$

$\cdot 52$

$97\,\%$ der Jungen ermitteln:

$:100$

$\cdot 97$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 624\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 6,24\\[5pt] 97\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 605,28 \end{array}$

$:100$

$\cdot 97$

Von den 624 befragten Jungen besitzen also 605 Jungen ein Smartphone.

$45\,\%$ geben Instagram als wichtige App an. Das doppelte davon würde $90\,\%$ entsprechen.

Im Diagramm sind für WhatsApp als wichtige App jedoch nur $52\,\%$ dargestellt.

Die Aussage ist daher falsch.

Lösung 2

Flächeninhalt eines Kreis: $A=\pi\cdot r^2$

Die schraffierte Fläche besteht aus 1,5 Kreisen. Damit ergibt sich für den Flächeninhalt der schraffierten Fläche:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 1,5 \cdot \pi\cdot r^2&\quad \\[5pt] &=&1,5 \cdot \pi\cdot (4\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 75,4 \,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Viereck $ABM_2M_3$ kann in drei gleich große Dreiecke unterteilt werden, die alle kongruent sind zum Dreieck $M_2CM_3.$ Das Verhältnis ist daher $3:1.$

Das Dreieck $ABC$ ist gleichseitig. Da der Punkt $M_1$ in der Mitte der Strecke $AB$ liegt, ist die Strecke $M_1C$ die Höhe des Dreiecks. Damit steht die Strecke $M_1C$ senkrecht auf der Streke $AB.$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{M_1C}^2&=& \overline{M_1B}^2+\overline{BC}^2 \\[5pt] \overline{M_1C}^2&=& r^2+2r^2 \\[5pt] \overline{M_1C}^2&=& 3r^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{M_1C}&=& r\cdot \sqrt{3} \end{array}$

Lösung 3

Ablesen bei $y=-1$ ergibt, dass die Breite einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche $4\,\text{m}$ beträgt.

„Berechne die Breite des Kanals an der Wasseroberfläche.“

Die Lösung $\mathbb{L}=$ { $-3;3$ } bedeutet im Sachzusammenhang, dass der Kanal $6\,\text{m}$ breit ist.

Die Aussage ist falsch.

Die Querschnittsfläche des Kanals ist bei einer Wassertiefe von $1,80\,\text{m}$ mehr als doppelt so groß als bei einer Wassertiefe von $0,90\,\text{m}.$

Der Kanal verläuft im Intervall $[-4;4].$ Um die Tiefe zu bestimmen, muss die Höhe des Kanals am Rand berechnet und die Wassertiefe addiert werden.

$f(4)+1,8=0,2\cdot 4^2-1,8+1,8=3,2$

Der Kanal ist $3,20\,\text{m}$ tief.

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