Pflichtteil 2

Pflichtaufgabe 1

Bei einem Geldinstitut werden $1\,800$ Euro für zwei Jahre zu folgenden Zinssätzen angelegt.

1. Jahr Zinssatz: $1,3\,\%$

2. Jahr Zinssatz: $1,6\,\%$

Berechne das Guthaben nach dem 1. Jahr und das Guthaben nach dem 2. Jahr, wenn die Zinsen gutgeschrieben und mit verzinst werden.

In der Abbildung ist ein Kreiszylinder dargestellt.

Abbildung nicht maßstäblich

Zeichne ein Netz dieses Kreiszylinders.

Bei einer Ziehung der Lottozahlen $6$ aus $49$ wurden bereits die Zahlen $8,$ $13,$ $21,$ $25,$ $36$ gezogen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass als sechste Zahl die $20$ gezogen wird.

Ein Chip für eine Digitalkamera hat eine Speicherkapazität von $8$ Gigabyte (GB).
Gib diese Speicherkapazität in Megabyte (MB) an.

Das soziale Netzwerk „Facebook“ verkündete im Januar $2012$ die Absicht, an die Börse gehen $^1$ zu wollen. Unmittelbar danach protestierten $54$ Millionen der $800$ Millionen Mitglieder gegen diese Absicht. Dennoch ist „Facebook“ an die Börse gegangen.
Eine Zeitung stellt fest: „Es haben nicht genug Mitglieder protestiert, um den Gang an die Börse aufzuhalten.“
Beurteile diese Feststellung mithilfe einer mathematischen Betrachtung.

9 BE erreichbar

¹ „An die Börse gehen“ heißt, ein Unternehmen verkauft erstmalig Aktien.

Pflichtaufgabe 2

Gegeben sind die linearen Funktionen $f$ und $g$ mit $x\in\mathbb{R}.$

Die Funktion $f$ ist durch ihre Funktionsgleichung $y=f(x)=1,5x-4$ bestimmt.
Von der Funktion $g$ ist bekannt, dass sie die Nullstelle $x_0=2$ hat und ihr Graph durch den Punkt $P(0\mid-1)$ verläuft.

Zeichne die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ in ein und dasselbe Koordinatensystem mindestens im Intervall $-2\leq x\leq 5.$

Begründe, dass $y=\dfrac{1}{2}x-1$ eine Gleichung der Funktion $g$ ist.

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden einander im Punkt $S.$

Berechne die Koordinaten des Punktes $S$ mithilfe eines linearen Gleichungssystems.

In einem Tabellenkalkulationsprogramm werden Funktionswerte in der folgenden Wertetabelle mit der Formel $=1,5^*A3-4$ aus Zelle B3 durch Kopieren erzeugt.
Begründe, dass beim Prüfen der Formel in Zelle B7 nicht mehr die Formel aus Zelle B3 steht.

8 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 3

Im Vermessungswesen werden Streckenlängen und Winkelgrößen im Gelände ermittelt. Durch trigonometrische Berechnungen können daraus weitere interessierende Größen bestimmt werden.

Es wurde ein Gelände in Form eines Dreiecks mit den Eckpunkten $A,$ $B$ und $C$ vermessen, wobei sich folgende Messwerte ergaben.

$\overline{AB}=78,1\,\text{m};\quad$ $\overline{AC}=49,9\,\text{m};\quad$ $\sphericalangle BAC=28,2°$

Ermittle von diesem Gelände die Länge der Strecke $\overline{BC}$ sowohl rechnerisch als auch konstruktiv.

In der folgenden Abbildung ist ein Prinzip der Bestimmung von Entfernungen dargestellt.
Es wird der Winkel $\alpha$ für einen Abschnitt auf der Messlatte gemessen.

Abbildung nicht maßstäblich

Berechne die Entfernung $e$ für den Fall, dass zu einem Abschnitt von $14,0\,\text{dm}$ auf der Messlatte der Winkel $\alpha$ von $4,0°$ gemessen wird.

7 BE erreichbar

Lösung 1

Guthaben nach dem 1. Jahr

$\text{Startwert } K_0=1\,800\,€$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=1,3\,\%$

$\text{Zeit } n=1 \,\text{Jahr}$

Mit der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} K_1 &=& 1\,800\,€ \cdot \left(1+\dfrac{1,3\,\%}{100\,\%}\right)^1 \\[5pt] &=& 1\,800\,€ \cdot 1,013\\[5pt] &=& 1823,40\,€ \end{array}$

Das Guthaben nach dem ersten Jahr beträgt $1823,40\,€.$

Guthaben nach dem 2. Jahr berechnen

$\text{Startwert } K_0=1\,823,40\,€$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=1,6\,\%$

$\text{Zeit } n=1 \,\text{Jahr}$

Mit der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} K_1 &=& 1\,823,40\,€ \cdot \left(1+\dfrac{1,6\,\%}{100\,\%}\right)^1 \\[5pt] &=& 1\,823,40\,€ \cdot 1,016\\[5pt] &\approx& 1\,852,57\,€ \end{array}$

Das Guthaben nach dem zweiten Jahr beträgt $1852,57\,€.$

Die Länge der Rechteckseiten, die an die Kreise angrenzen, entsprechen dem Umfang der Kreise.

$u=\pi\cdot d=\pi\cdot 4\,\text{cm}\approx 12,6\,\text{cm}$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Noch verfügbare Kugeln: $49-5=44$

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit, die Kugel mit der 20 zu ziehen:

$P(20)= \dfrac{1}{44}\approx 0,0227=2,27\,\%$

$1\,\text{GB} = 1\,000\,\text{MB}$

$8\,\text{GB}=8 \cdot 1\,000 \,\text{MB} = 8\,000\,\text{MB}$

Die Speicherkapazität des Chips beträgt $8\,000$ Megabyte.

$54$ Millionen Mitglieder haben protestiert

$800$ Millionen Mitglieder gibt es insgesamt

Anteil der Protestierenden an der Gesamtzahl:

$\dfrac{54\,000\,000}{800\,000\,000}=\dfrac{54}{800}=0,0675=6,75\,\%$

Es haben $6,75\,\%$ der Mitglieder gegen den Börsengang protestiert.

Also hat die Mehrheit der Facebook-Mitglieder nicht protestiert. Die Feststellung der Zeitung trifft zu, mit der Einschränkung, dass „nicht genug“ eine persönliche Einschätzung bleibt und nicht mathematisch definiert werden kann.

Lösung 2

Falls die Gleichung zu der Geraden gehört, müssen beide bekannten Punkte auf der Geraden zu der Gleichung liegen.

Punktprobe mit $P\,(0 \mid -1)$ und der Nullstelle $x_0=2:$

$P(0\mid -1):\quad g(0)=\dfrac{1}{2}\cdot 0-1=-1$

$N(2\mid 0):\quad g(2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2-1=0$

Beide Punkte des Graphen von $g$ liegen auf dem Graphen der Funktion der Gleichung $y=\dfrac{1}{2}x-1.$ Damit ist $y=\dfrac{1}{2}x-1$ eine Gleichung der Funktion $g.$

Gleichsetzen der Funktionsterme und auflösen nach $x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[2pt] 1,5x-4&=&\dfrac{1}{2}x-1 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[2pt] 1,5x&=&\dfrac{1}{2}x+3 \quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}x \\[2pt] x&=& 3 \end{array}$

Einsetzen von $x=3$ in $f(x)$ oder in $g(x):$

$\begin{array}[t]{rll} y=f(3)&=& 1,5 \cdot 3 -4 \\[2pt] &=& 4,5-4\\[2pt] &=& 0,5 \end{array}$

Der Schnittpunkt beider Graphen ist $S(3 \mid 0,5).$

Würde in Zelle $B7$ die gleiche Formel wie in $B3$ stehen, so wäre auch der Wert in Zelle $C7$ der gleiche wie in Zelle $C3.$ Es gilt jedoch $B7=6,5.$

Beim Kopieren einer Formel in einem Tabellenkalkulations-Programm wird automatisch der Bezug hergestellt: Bezieht sich $B3$ auf $A3$ , muss sich $B7$ auf $A7$ beziehen.

Die Formel in Zelle $B7$ lautet daher: $=1,5 \cdot A7-4=1,5 \cdot 7-4=6,5$

Lösung 3

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ rechnerisch ermitteln

Skizze

Die fehlende Seite kann über den Kosinussatz berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$a\approx 41,6\,\text{m}$

Die Länge der Strecke $\overline{BC}$ beträgt $41,6\,\text{m}.$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ konstruktiv ermitteln

Es bietet sich an, das Dreieck im Maßstab $1:1\,000$ zu zeichnen. Dann gilt für die Seitenlängen:

$\overline{AB}=\dfrac{78,1\,\text{m}}{1\,000} = \dfrac{7\,810\,\text{cm}}{1\,000}=7,81\,\text{cm}$

$\overline{AC}=\dfrac{49,9\,\text{m}}{1\,000}=\dfrac{4\,990\,\text{cm}}{1\,000} = 4,99\,\text{cm}$

Die Strecke $\overline{BC}$ ist ungefähr $4,1\,\text{cm}$ lang. Beim Maßstab $1:1\,000$ entspricht dies $41\,\text{m}$ .

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Skizze

Die Länge der Strecke $e$ lässt sich mit dem Tangens berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan{\dfrac{\alpha}{2}}&=&\dfrac{7,0\,\text{dm}}{e} \quad \scriptsize \mid\; \cdot e\\[2pt] \tan{\dfrac{\alpha}{2}} \cdot e &=& 7,0\,\text{dm} \quad \scriptsize \mid\; : \tan{\dfrac{\alpha}{2}}\\[2pt] e&=& \dfrac{7,0\,\text{dm} }{\tan\frac{\alpha}{2}}\\[5pt] e&=& \dfrac{7,0\,\text{dm}}{\tan 2,0°}\\[5pt] e&\approx& 200,45\,\text{dm} \end{array}$

Die Entfernung $e$ beträgt $200,45\,\text{dm}$ für $\alpha=4,0°.$