Wahlpflichtteil

Wahlpflichtaufgabe 1

Messing ist eine Legierung, die aus Kupfer und Zink besteht.
Für eine Messingschmelze werden zunächst $15\,\text{kg}$ Zink und $35\,\text{kg}$ Kupfer bereitgestellt.

Berechne den prozentualen Anteil von Kupfer in dieser Messingschmelze.

Der Kupferanteil dieser Messingschmelze soll auf $75\,\%$ erhöht werden.
Ermittle, wie viel Kilogramm Kupfer hinzugefügt werden müssen.

Die Dichte von Zink beträgt $7,13\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$ und die Dichte von Kupfer $8,96\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}.$

Tom berechnet die Dichte der ursprünglichen Messingschmelze bestehend aus $15\,\text{kg}$ Zink und $35\,\text{kg}$ Kupfer, indem er wie folgt einen Mittelwert bildet.

$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{Messing}}&=& 7,13\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot\dfrac{15}{50}+8,96\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot\dfrac{35}{50} \\[5pt] &\approx& 8,41\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} \end{array}$

Weise rechnerisch unter Verwendung der Volumina nach, dass dieser Ansatz zur Berechnung der Dichte ein falsches Ergebnis liefert.

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Wahlpflichtaufgabe 2

Der Querschnitt einer Hängebrücke auf einem Spielplatz kann annähernd als Parabel betrachtet werden. Diese Parabel wird durch die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=f(x)=0,12x^2$ und $x\in\mathbb{R}$ beschrieben (siehe folgende Abbildungen).

Zeichne den Graphen der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem mindestens im Intervall $-3\leq x\leq3\quad (1\,\text{LE}\mathrel{\widehat{=}}1\,\text{cm})$ .
Berechne den Funktionswert $f(2,2)$ .

Die Spannweite der dargestellten Hängebrücke beträgt $4,40\,\text{m}$ .

Gib die Koordinaten zweier Punkte des Graphen der Funktion $f$ an, die für die Ermittlung des Durchhangs der Hängebrücke geeignet sind.

Ermittle den Durchhang der Hängebrücke.

Ein Konstrukteur plant für einen anderen Spielplatz eine Hängebrücke mit einer Spannweite von $5,00\,\text{m}$ und einem Durchhang von $0,50\,\text{m}.$ Der parabelförmige Querschnitt soll durch eine Funktion mit der Gleichung $y=ax^2$ beschrieben werden.
Ermittle $a.$

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Wahlpflichtaufgabe 3

Eine dreiseitige Pyramide werde von einem gleichseitigem Dreieck und drei zueinander kongruenten rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecken begrenzt.
Die folgende Abbildung zeigt ein Netz einer solchen Pyramide.

Begründe, dass der Winkel $\alpha$ stets eine Größe von $45°$ hat.

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei $6,0\,\text{cm}.$
Berechne den Flächeninhalt eines der rechtwinkligen Dreiecke.

Stellt man eine solche Pyramide auf eine der rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecksflächen, so erkennt man, dass das Volumen der Pyramide mit dem folgenden Ansatz berechnet werden kann:

$V=\dfrac{1}{6}a^3$ , wobei $a$ die Länge einer Kathete im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ist.

Erkläre, wie man auf diesen Ansatz kommt.

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Lösung 1

Gesamtgewicht: $15\,\text{kg}+35\,\text{kg}=50\,\text{kg}$

Gewicht an Kupfer: $35\,\text{kg}$

Prozentualen Anteil berechnen:

$\dfrac{35\,\text{kg}}{50\,\text{kg}}=\dfrac{70\,\text{kg}}{100\,\text{kg}}=0,7=70\,\%$

Der prozentuale Anteil an Kupfer in der Messingschmelze beträgt $70\,\%.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{35\,\text{kg}+x}{50\,\text{kg}+x}&=& 0,75 \quad \scriptsize \mid \, \cdot (50\,\text{kg}+x) \\[5pt] 35\,\text{kg}+x &=& 0,75\cdot (50\,\text{kg}+x)\\[5pt] 35\,\text{kg}+x&=& 37,5\,\text{kg}+0,75x \quad \scriptsize \mid -0,75x \\[5pt] 35\,\text{kg}+0,25x&=& 37,5\,\text{kg} \quad \scriptsize \mid \,-35\,\text{kg} \\[5pt] 0,25x&=& 2,5\,\text{kg} \quad \scriptsize \mid \, :0,25 \\[5pt] x&=& 10 \,\text{kg} \end{array}$

Es müssen $10 \,\text{kg}$ Kupfer hinzugefügt werden.

Berechne das Volumen von $15\,\text{kg}$ Zink mit der Formel $V=\dfrac{m}{\rho}:$

$V_{\text{Zink}}=\dfrac{m_{\scriptsize{\text{Zink}}}}{\rho_{\scriptsize{\text{Zink}}}}=\dfrac{15\,{\text{kg}}} {7,13\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}}=2,1\,\text{dm}^3$

Volumen von $35\,\text{kg}$ Kupfer berechnen:

$V_{\text{Kupfer}}=\dfrac{m_{\scriptsize{\text{Kupfer}}}}{\rho_{\scriptsize{\text{Kupfer}}}}=\dfrac{35\,\text{kg}} {8,96\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}}=3,9\,\text{dm}^3$

Dichte der Messingschmelze berechnen:

$\rho_{\text{Messing}}=\dfrac{m_{\scriptsize{\text{Kupfer+Zink}}}}{V_{\scriptsize{\text{Kupfer+Zink}}}}$ $=\dfrac{35\,\text{kg}+15\,\text{kg}}{3,9\,\text{dm}^3+2,1\,\text{dm}^3}$ $=\dfrac{50\,\text{kg}}{6\,\text{dm}^3}$ $=8,33\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$

Die Dichte der ursprünglichen Messingschmelze beträgt $8,33\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$ . Damit liefert Toms Ansatz zur Berechnung der Dichte mit $8,41\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$ ein falsches Ergebnis.

Lösung 2

Graphen der Funktion $\boldsymbol{f}$ zeichnen

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y}$
-3	1,08
-2	0,48
-1	0,12
0	0
1	0,12
2	0,48
3	1,08

Funktionswert berechnen

$y=f(2,2)=0,12 \cdot 2,2^2= 0,5808$

Geeignete Koordinaten angeben

Um den Durchhang der Hängebrücke zu ermitteln, wird die Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Punkt benötigt.

Tiefster Punkt: Scheitelpunkt $S(0\mid 0)$

Die Spannweite beträgt $4,40\,\text{m}$ . Also liegt der höchste Punkt bei $x=-2,20\,\text{m}$ und bei $x=2,20\,\text{m}.$ Aus a) ist $y=f(2,2)=0,58$ bekannt.

Folglich lauten die Koordinaten des höchsten Punktes $P\,(2,2 \mid 0,58).$

Durchhang ermitteln

Die $y$ -Achse steht für die Höhe des Durchhangs. Der $y$ -Wert beträgt beim höchsten Punkt $0,58$ und beim tiefsten Punkt $0$ . Also beträgt der Durchhang $0,58\,\text{m}.$

In ein Koordinatensystem übertragen, erstreckt sich die Parabel bei einer Spannweite von $5\,\text{m}$ von $x=-2,5$ bis $x=2,5$ .
Die Gleichung der Funktion hat die Form $y=a \cdot x^2$ , also liegt der Scheitelpunkt ihres Graphen bei $(0 \mid 0).$
Der Durchhang soll $0,5\,\text{m}$ betragen, also gibt es den Punkt $P\,(2,5 \mid 0,5)$ .

Einsetzen der Koordinaten von $P$ in $y=ax^2$ und umstellen nach $a$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& a \cdot x^2 \quad \scriptsize \mid\; : x^2\\[5pt] \dfrac{y}{x^2}&=& a\\[5pt] \dfrac{0,5}{2,5^2}&=& a \\[5pt] 0,08&=& a \end{array}$

Die Funktion lautet $y=0,08x^2$ .

Lösung 3

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt $180°.$ Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt $180°-90°=90°.$
Die verbleibenden $90°$ verteilen sich auf zwei Winkel. Diese sind bei einem gleichschenkligen Dreieck immer gleich groß: $90°:2=45°$ .

Gegeben ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit:

Seitenlänge Hypotenuse $c=6,0\,\text{cm}$
Winkel $\alpha=\beta=45°$
Kathete $a=$ Kathete $b$
$\gamma=90°$

Der Flächeninhalt im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck kann mit der Formel $A=\dfrac{c^2}{4}$ berechnet werden:

Damit folgt:

$A=\dfrac{c^2}{4}=\dfrac{(6\,\text{cm})^2}{4}=\dfrac{36\,\text{cm}^2}{4}$ $=9\,\text{cm}^2$

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet $V=\dfrac{1}{3} \cdot A \cdot h.$

Die Grundfläche eines der rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke kann über $A=\dfrac{c^2}{4}$ berechnet werden.

Für die Basis $c$ gilt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2+a^2\\[2pt] c^2&=& 2a^2 \end{array}$

Einsetzen in die Formel für die Grundfläche:

$A=\dfrac{2a^2}{4}=\dfrac{a^2}{2}$ .

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot A \cdot h \\[4pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot h\\[4pt] &=& \dfrac{a^2}{6} \cdot h \end{array}$

Die Pyramide wird so zusammengeklappt, dass die Seiten mit rechtem Winkel aneinander liegen. Die Seite $a$ steht somit senkrecht auf der Grundfläche $A$ .
Also ist $a$ die Höhe und es gilt: $a=h$ .

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{a^2}{6} \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; h=a \\[2pt] &=& \dfrac{a^2}{6} \cdot a \\[2pt] &=& \dfrac{a^3}{6} \end{array}$