Wahlpflichtaufgaben

Wahlpflichtaufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Bismarckturm Calbe. Mit $30\,\text{m}$ Höhe ist dieser der höchste Bismarckturm in Sachsen-Anhalt. Für den Bau dieses Turms waren insgesamt $1600\,\text{m}^3$ Mauerwerk erforderlich.
Vereinfacht wird angenommen, dass der Bismarckturm Calbe die Form eines Hohlzylinders hat, dessen Außendurchmesser $12\,\text{m}$ beträgt.

Abbildung 1

Der umbaute Raum ist ein veraltetes Maß für das Volumen, das ein Gebäude insgesamt einnimmt.
Zeige, dass der umbaute Raum dieses Bismarckturms etwas $3393\,\text{m}^3$ beträgt.

Berechne die Dicke des Mauerwerks.

Der Bismarckturm Calbe wird maßstäblich nachgebaut.
Der Außendurchmesser des Nachbaus beträgt $6\,\text{cm}.$
Ermittle die Höhe des Nachbaus und gib für den Nachbau den verwendeten Maßstab an.

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Wahlpflichtaufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $y=f(x)= \dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x$ und $x \in \mathbb{R}$ , $x \geq 0.$

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $f.$

Abbildung 2

Ermittle mithilfe der Abbildung 2 den Funktionswert $f(4)$ und bestätige diesen durch Rechnung.

In einem Geschäft werden gleichartige Kisten gestapelt. Jede Reihe enthält eine Kiste weniger als die darunter liegende Reihe (siehe Abbildung 3).

Zur Beschreibung der Anzahl der gestapelten Kisten in Abhängigkeit von der Anzahl der Reihen wird die Funktion $f$ verwendet.

Abbildung 3

Beurteile die Aussage:

In sechs Reihen werden genau 22 Kisten gestapelt.

Ermittle mithilfe der Abbildung 2 die Anzahl der Reihen, wenn 120 Kisten gestapelt werden sollen.

Gib im Sachzusammenhang die Bedeutung von $x$ und $y$ sowie die Veränderung im Definitionsbereich von $f$ an.

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Wahlpflichtaufgabe 3

Für die Berechnung des Energiebedarfs eines Menschen gibt es zwei Möglichkeiten:

(1)

Produkt aus Grundumsatz $G_U$ und PAL-Wert $^1$ (PAL)

(2)

Summe aus Grundumsatz $G_U$ und Leistungsumsatz $L_U$

Der Grundumsatz $G_U$ hängt von folgenden Parametern ab:

vom Körpergewicht $m$ in $\text{kg}$
von der Körpergröße $l$ in $\text{cm}$
vom Alter $t$ in Jahren

Er wird in Kilokalorien (kcal) angegeben.

Der Grundumsatz von Frauen kann vereinfacht mit folgender Gleichung berechnet werden:

$G_U= 655+ 9,6 \cdot m+1,8 \cdot l -4,7\cdot t$

Berechne den Grundumsatz $G_U$ einer 25-jährigen Frau mit einer Körpergröße von $165\,\text{cm}$ und einem Körpergewicht von $58\,\text{kg}.$

Beschreibe unter Berücksichtigung der angegebenen Parameter den Einfluss des Alters einer Frau auf ihren Grundumsatz.

Eine Schülerin hat bei einem PAL-Wert von $1,5$ einen Energiebedarf von $2172\,\text{kcal}.$ Ermittle den Leistungsumsatz $L_U$ dieser Schülerin.

Interpretiere den Term $G_U\cdot(\text{PAL}-1)$ im Sachzusammenhang.

_______________________
$^1$ Der PAL-Wert ist ein Maß für die körperliche Tätigkeit.

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Bildnachweise [nach oben]

[1]

Meleagros, Bismarkturm (Wartenberg), CC BY-SA 3.0 DE

Lösung 1

Skizze zur Veranschaulichung:

Da für den Außendurchmesser $d=12\,\text{m}$ gilt, folgt für den Außenradius: $r=12\,\text{m}:2=6\,\text{m}$

Damit kann das Volumen bzw. der umbaute Raum gezeigt werden:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&r^2\cdot \pi\cdot h \\[5pt] V&=&(6\,\text{m})^2\cdot \pi\cdot 30\,\text{m} \\[5pt] V&=&1\,080\pi\,\text{m}^3 \\[5pt] V&\approx&3\,393\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Die Dicke des Mauerwerks entspricht der Strecke $m.$

Volumen des Innenraums berechnen

$V_i=3\,393\,\text{m}^3-1\,600\,\text{m}^3=1\,793\,\text{m}^3$

Radius des Innenraums berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_i&=&r_i^{\,\,2}\cdot \pi\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{V_i}{\pi}&=&r_i^{\,\,2}\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:h \\[5pt] \dfrac{V_i}{\pi\cdot h}&=&r_i^{\,\,2}& \\[5pt] r_i^{\,\,2}&=&\dfrac{V_i}{\pi\cdot h} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] r_i&=&\sqrt{\dfrac{V_i}{\pi\cdot h}} &\\[5pt] r_i&=&\sqrt{\dfrac{1\,793\,\text{m}^3}{\pi\cdot 30\,\text{m}}} &\\[5pt] r_i&\approx&4,36\,\text{m} \end{array}$

Dicke des Mauerwerks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} m&=&r-r_i \\[5pt] m&=&6\,\text{m}-4,36\,\text{m} \\[5pt] m&=&1,64\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Das Mauerwerk hat eine Dicke von $1,64\,\text{m}.$

Höhe des Nachbaus ermitteln

$:12$

$\cdot 30$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 12\,\text{m} & \mathrel{\widehat{=}}& 6\,\text{cm}\\[5pt] 1\,\text{m} & \mathrel{\widehat{=}}& 0,5\,\text{cm}\\[5pt] 30\,\text{m} & \mathrel{\widehat{=}}& 15\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

$:12$

$\cdot 30$

Die Höhe des Nachbaus beträgt $15\,\text{cm}.$

Maßstab für den Nachbau angeben

Anhand des Dreisatzes lässt sich ablesen:
$1\,\text{m}$ des realen Baus entspricht $0,5\,\text{cm}$ des Nachbaus.

Daraus folgt:
$2\,\text{m}$ des realen Baus entsprechen $1\,\text{cm}$ des Nachbaus.

Umgerechnet in Zentimeter gilt also:
$200\,\text{cm}$ des realen Baus entsprechen $1\,\text{cm}$ des Nachbaus.

Daraus ergibt sich der Maßstab 1:200.

Lösung 2

Mithilfe der Abbildung 2 den Funktionswert ermitteln

$f(4)=10$

Funktionswert durch Rechnung bestätigen

$\begin{array}[t]{rll} f(4)&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4^2+\dfrac{1}{2}\cdot 4 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 16+2\\[5pt] &=&8+2\\[5pt] &=&10 \end{array}$

Dafür wird $x=6$ eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} f(6)&=&\dfrac{1}{2}\cdot 6^2+\dfrac{1}{2}\cdot 6 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 36+3 \\[5pt] &=&21 \end{array}$

Die Aussage ist falsch.
In sechs Reihen werden genau 21 Kisten gestapelt.

Es müssen 15 Reihen vorhanden sein, wenn 120 Kisten gestapelt werden sollen.

$x$ gibt die Anzahl der Reihen an.

$y$ gibt die Anzahl der gestapelten Kisten an.

Veränderung im Definitionsbereich: $x \in \mathbb{Z}$ , $x \geq 0$

Lösung 3

$\begin{array}[t]{rll} G_U&=&655+ 9,6 \cdot m+1,8 \cdot l -4,7\cdot t \\[5pt] G_U&=&655+ 9,6 \cdot 58+1,8 \cdot 165 -4,7\cdot 25 \\[5pt] G_U&=&1\,391,3 \\[5pt] \end{array}$

Der Grundumsatz der Frau liegt bei $1\,391,3\,\text{kcal}.$

Je höher das Alter einer Frau, umso geringer ist ihr Grundumsatz.

Grundumsatz berechnen (Formel (1))

$\begin{array}[t]{rll} E&=& G_U\cdot PAL&\quad \scriptsize \mid\;:PAL\\[5pt] \dfrac{E}{PAL}&=& G_U&\\[5pt] G_U&=& \dfrac{E}{PAL}&\\[5pt] G_U&=& \dfrac{2\,172\,\text{kcal}}{1,5}&\\[5pt] G_U&=& 1\,448\,\text{kcal} \end{array}$

Leistungsumsatz berechnen (Formel (2))

$\begin{array}[t]{rll} E&=& G_U+L_U&\quad \scriptsize \mid\;-G_U \\[5pt] E-G_U&=& L_U&\\[5pt] L_U&=&E-G_U & \\[5pt] L_U&=&2\,172\,\text{kcal}-1\,448\,\text{kcal} & \\[5pt] L_U&=&724\,\text{kcal} \end{array}$

Der Leistungsumsatz der Schülerin beträgt $724\,\text{kcal}.$

Zunächst wird der Term ausmultipliziert:

$G_U\cdot(\text{PAL}-1)=G_U\cdot\text{PAL}-G_U$

Aus Formel (1) zur Berechnung des Energiebedarfs folgt:

$G_U\cdot\text{PAL}-G_U=E-G_U$

Aus Teilaufgabe c), Berechnung des Leistungsumsatzes, erste Umformung folgt:

$E-G_U=L_U$

Somit stellt der Term $G_U\cdot(\text{PAL}-1)$ im Sachzusammenhang den Leistungsumsatz dar.